湖南省郴州市2016屆高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 24 頁） 2016 年湖南省郴州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分 1已知 z 是純虛數(shù)， 是實(shí)數(shù)，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 2已知命題 p， q，則 “ p 為假命題 ”是 “pq 是真命題 ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 3某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 ， 則正視圖中的 x 的值是（ ） A B C 2 D 3 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 的值為 30，則輸入的 n 為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 1），則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A ， B ， C ， D ， 6一個(gè)三位自然數(shù) 的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為 a， b， c，當(dāng)且僅當(dāng) a b 且 c b 時(shí)稱為 “凹數(shù) ”若 a， b， c4， 5， 6， 7， 8，且 a， b， c 互不相同，任取一個(gè)三位數(shù) ，則它為 “凹數(shù) ”的概率是（ ） A B C D 7要得到函數(shù) f （ x） =導(dǎo)函數(shù) f（ x）的圖象，只需將 f （ x）的圖象（ ） A向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變） B向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變） C向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變） D向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變） 8對一批產(chǎn)品的長度（單位： 行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間 20， 25）上的為一等品，在區(qū)間 15， 20）和區(qū)間 25， 30）上的為二等品，在區(qū)間10， 15）和 30， 35）上的為三等品用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī) 抽取一件，則其為二等品的概率為（ ） 若雙曲線 =1 的焦距為 10，點(diǎn) P（ 2， 1）在其漸近線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 第 3 頁（共 24 頁） C =1 D =1 10已知 e 是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù) f（ x） =ex+x 2 的零點(diǎn)為 a，函數(shù) g（ x） =x 2 的零點(diǎn)為 b，則下列不等式成立的是（ ） A f（ 1） f（ a） f（ b） B f（ a） f（ b） f（ 1） C f（ a） f（ 1） f（ b）D f（ b） f（ 1） f（ a） 11若（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5，則 a1+a2+a3+a4+ ） A 5 B 62 C 57 D 56 12已知定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且當(dāng) x0， 2時(shí)， y=f（ x）單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題： f（ 2） =0； y=f（ x）在 8， 10單調(diào)遞增； x=4 為函數(shù) y=f（ x）圖象的一條對稱軸； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的兩根為 x1+ 8 以上命題中不正確命題的序號為 （ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 . 13設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 的最大值為 14如圖，在邊長為 e（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 15已知 M： x2+4x 4y 1=0 及圓外一點(diǎn) P（ 5， 5），過 P 點(diǎn)作 M 的切線 點(diǎn)分別為 A， B，則弦 長為 第 4 頁（共 24 頁） 16對于兩個(gè)實(shí)數(shù) a， b， a， b表示 a， b 中的較小數(shù)設(shè) f （ x） =x， （ x 0），則不等式 f （ x） 解集是 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17在數(shù)列 ，前 n 項(xiàng)和為 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前項(xiàng)和 18已知 內(nèi)角為 A、 B、 C，其對邊分別為 a、 b、 c，已知 B 為銳角，向量，且 （ ）求角 B 的大小及當(dāng) 時(shí)， 外接圓半徑 R 的取值范圍； （ ）如果 b=2，求 S 最大值 19若 f（ x） = a 0）的圖象與直線 y=m（ m 0）相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為 的等差數(shù)列 （ 1）求 a 和 m 的值； （ 2） a、 b、 c 分別是 A、 B、 C 的對邊若（ ， ）是函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心，且 a=4，求 長的取值范圍 20如圖，在 ，記 ， B= ， ，點(diǎn) D 在 上，且 ， （ ）試用 表示 ； （ ）若以 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線為 x 軸（正方向?yàn)橄蛴遥┙⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得點(diǎn) A 落在 第一象限點(diǎn) P（ x， y）在 邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，設(shè) ，求 m n 的最大值 第 5 頁（共 24 頁） 21已知數(shù)列 ， ，且當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù) f（ x） = an 2 n ） x 取得極值 （ 1）若 n 1明數(shù)列 等差數(shù)列； （ 2）設(shè)數(shù)列 ， 前 n 項(xiàng)和為 不等式 n+4（ 1） m 的取值范圍 22已知函數(shù) （ ）若 x=3 是函數(shù) f（ x）的極值點(diǎn)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ ）若函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上為單調(diào)增函數(shù)，求 a 的取值范圍； （ ）設(shè) m， n 為正實(shí)數(shù)，且 m n，求證： 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年湖南省郴州市高 考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分 1已知 z 是純虛數(shù)， 是實(shí)數(shù)，那么 z 等于（ ） A 2i B i C i D 2i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 設(shè)出復(fù)數(shù) z，代入 ，它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為 a+a， bR）的形式 【解答】 解：由題意得 z= aR 且 a0） = = ， 則 a+2=0， a= 2有 z= 2i， 故選 D 【點(diǎn)評】 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題 2已知命題 p， q，則 “ p 為假命題 ”是 “pq 是真命題 ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【專題】 對 應(yīng)思想；綜合法；簡易邏輯 【分析】 根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論 【解答】 解：若 pq 是真命題，則 p， q 都是真命題，則 p 是假命題，即必要性成立， 若 p 是假命題，則 p 是真命題，此時(shí) pq 是真命題，不一定成立，即充分性不成立， 故 “ p 為假命題 ”是 “pq 是真命題 ”的必要不充分條件， 故選： B 第 7 頁（共 24 頁） 【點(diǎn)評】 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 3某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 ，則正視圖中的 x 的值是（ ） A B C 2 D 3 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，該幾何體為四棱錐 【解答】 解：該幾何體為四棱錐， 其底面為直角梯形，面積 S= （ 1+2） 2=3， 則該幾何體的體積 V= 3x= ， 故 x= 故選 A 【點(diǎn)評】 三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象力，識圖能力及計(jì)算能力 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 的值為 30，則輸入的 n 為（ ） 第 8 頁（共 24 頁） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點(diǎn)】 程序框圖 【專題】 計(jì)算題；圖表型；試驗(yàn)法；算法和程序框圖 【分析】 由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 k=1， S=0， 滿足條件 kn， S=2， k=2 滿足條件 kn， S=6， k=3 滿足條件 kn， S=14， k=4 滿足條件 kn， S=30， k=5 由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件 5n，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 30， 則輸入的 n 為 4 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題 5已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 1），則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A ， B ， C ， D ， 第 9 頁（共 24 頁） 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由條件求得 的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 【解答】 解： 函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 1）， 2 1， 求得 ，可得 = ， f（ x） =22x ）， 令 22x 2，求得 x， 故函數(shù)的增區(qū)間為 ， ， kZ 故選： A 【點(diǎn)評】 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題 6一個(gè)三位自然數(shù) 的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為 a， b， c，當(dāng)且僅當(dāng) a b 且 c b 時(shí)稱為 “凹數(shù) ”若 a， b， c4， 5， 6， 7， 8，且 a， b， c 互不相同，任取一個(gè)三位數(shù) ，則它為 “凹數(shù) ”的概率是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【專題】 計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 根據(jù)題意，分析 “凹 數(shù) ”的定義，根據(jù)十位數(shù)分類討論即可求出凹數(shù)的個(gè)數(shù)，再利用古典概型概率計(jì)算公式即可得到所求概率 【解答】 解：根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng) a b 且 c b 時(shí)稱為 “凹數(shù) ”， 在 4， 5， 6， 7， 8的 5 個(gè)整數(shù)中任取 3 個(gè)不同的數(shù)組成三位數(shù)，有 0 種取法， 在 4， 5， 6， 7， 8的 5 個(gè)整數(shù)中任取 3 個(gè)不同的數(shù)，將 4 放在十位上，再排 2 個(gè)數(shù)排在百、個(gè)位上，有 2 種情況， 將 5 放在十位上，再排 2 個(gè)數(shù)排在百、個(gè)位上，有 種情況， 將 6 放在十位上，再排 2 個(gè)數(shù)排在百、個(gè)位上，有 種情況， 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可 得 12+6+2=20 種， 故它為 “凹數(shù) ”的概率是 = 故選： C 第 10 頁（共 24 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題干中所給的 “凹數(shù) ”的定義，再利用古典概型概率計(jì)算公式即得答案 7要得到函數(shù) f （ x） =導(dǎo)函數(shù) f（ x）的圖象，只需將 f （ x）的圖象（ ） A向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變） B向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變） C向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變） D向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變） 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，由條件利用誘導(dǎo)公式，函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論 【解答】 解： f （ x） =f（ x） =22x+ ） =2（ x+ ） ， 將 f （ x）的圖象向左平移 個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到導(dǎo)函數(shù) f（ x）的圖象 故選： D 【點(diǎn)評】 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題 8對一批產(chǎn)品的長度（單位： 行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間 20， 25）上的為一等品，在區(qū)間 15， 20）和區(qū)間 25， 30）上的為二等品，在區(qū)間10， 15）和 30， 35）上的為三等品用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為 （ ） 第 11 頁（共 24 頁） A 考點(diǎn)】 頻率分布直方圖 【分析】 在頻率分布表中，由頻率與頻數(shù)的關(guān)系，計(jì)算可得各組的頻率，根據(jù)頻率的和等于 1 可求得二等品的概率 【解答】 解：由頻率分布直方圖知識可知：在區(qū)間 15， 20）和 25， 30）上的概率為 +1（ 5= 故選： D 【點(diǎn)評】 本小題主要考查樣本的頻率分布直方圖的知識和分析問題以及解決問題的能力統(tǒng)計(jì)初步在近兩年高考中每年都以小題的形式出現(xiàn)，基本上是 低起點(diǎn)題 9若雙曲線 =1 的焦距為 10，點(diǎn) P（ 2， 1）在其漸近線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 利用雙曲線 C： =1 的焦距為 10，點(diǎn) P（ 2， 1）在其漸近線上，建立方程組，求出 a， b 的值，即可求得雙曲線的方程 第 12 頁（共 24 頁） 【 解答】 解： 雙曲線 C： =1 的焦距為 10，點(diǎn) P（ 2， 1）在其漸近線上， a2+5， a=2b， b= ， a=2 雙曲線的方程為 =1 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 10已知 e 是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù) f（ x） =ex+x 2 的零點(diǎn)為 a，函數(shù) g（ x） =x 2 的零點(diǎn)為 b，則下列不等式成立的是（ ） A f（ 1） f（ a） f（ b） B f（ a） f（ b） f（ 1） C f（ a） f（ 1） f（ b）D f（ b） f（ 1） f（ a） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 首先判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再由定義知 f（ a） =0， f（ 1） =e+1 2 0， g（ b） =0， g（ 1）=0+1 2 0，從而可判斷 0 a 1 b；從而再利用單調(diào)性判斷大小關(guān)系 【解答】 解：易知函數(shù) f（ x） =ex+x 2 在 R 上是增函數(shù)， g（ x） =x 2 在（ 0， +）上也是增函數(shù)； 又 f（ a） =0， f（ 1） =e+1 2 0， g（ b） =0， g（ 1） =0+1 2 0， 0 a 1 b； 故 f（ a） f（ 1） f（ b）； 故選 C 【點(diǎn)評】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 11若（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5，則 a1+a2+a3+a4+ ） A 5 B 62 C 57 D 56 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理 第 13 頁（共 24 頁） 【分析】 在所給的等式中，分別令 x=1，可得 2；令 x=0，可得 a0+a1+a2+a3+a4+5，從而求得 a1+a2+a3+a4+值 【解答】 解： （ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） 5=a0+1 x） + 1 x） 2+1 x） 5， 令 x=1，可得 +22+23+24+25=62， 再令 x=0，可得 a0+a1+a2+a3+a4+5， a1+a2+a3+a4+ 57， 故選： C 【點(diǎn)評】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于基礎(chǔ)題 12已知定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且當(dāng) x0， 2時(shí)， y=f（ x）單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題： f（ 2） =0； y=f（ x）在 8， 10單調(diào)遞增； x=4 為函數(shù) y=f（ x）圖象的一條對稱軸； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的兩根為 x1+ 8 以上命題中不正確命題的序號為 （ ） A B C D 【考點(diǎn)】 奇偶性與單調(diào)性的綜合 【專題】 函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)條件，令 x= 2 便可得到 f（ 2） =2f（ 2），從而得出 f（ 2） =0，從而得出 f（ x）是周期為 4 的周期函數(shù)，而 f（ x）在 0， 2上單調(diào)遞減，從而得到 f（ x）在 8， 10上單調(diào)遞減容易得到 x=4 和 x= 4 為 f（ x）的對稱軸，從而便可以得到 ，即得到 x1+ 8，這樣便可得出不正確命題的序號 【解答】 解： f（ x）為 R 上的偶函數(shù)，且 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），令 x= 2 得： f（ 2） =2f（ 2）； f（ 2） =0， 正確； f（ x+4） =f（ x）； f（ x）為周期為 4 的周期函數(shù)； f（ x）在 0， 2上單調(diào)遞減， f（ x）在 0+42， 2+42=8， 10上單調(diào)遞減， 錯(cuò)誤； 第 14 頁（共 24 頁） f（ x）關(guān)于 y 軸對稱，即 x=0 是 f（ x）的一條對稱軸； x=4 為函數(shù) f（ x）圖象的一條對稱軸， 正確； x= 4 為 f（ x）的一條對稱軸， ； x1+ 8， 正確； 不正確的命題序號為 故選 B 【點(diǎn)評】 考查偶函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，周期函數(shù)的單調(diào)性，本題中 f（ x）的對稱軸為 x=4n，nZ，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 . 13設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 的最大值為 2 【考點(diǎn) 】 簡單線性規(guī)劃 【專題】 計(jì)算題；對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式 【分析】 由約束條件作出可行域，利用 z= 的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率求得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ 1， 2）， ， z= 的最大值為 2 故答案為： 2 【點(diǎn)評】 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 第 15 頁（共 24 頁） 14如圖，在邊長為 e（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 【考點(diǎn)】 幾何概型 【專題】 綜合題；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 利用定積分計(jì)算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率 【解答】 解：由題意， y= y=y=x 對稱， 陰影部分的面積為 2 （ e （ =2， 邊長為 e（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形的面積為 落到陰影部分的概率為 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到 15已知 M： x2+4x 4y 1=0 及圓外一點(diǎn) P（ 5， 5），過 P 點(diǎn)作 M 的切線 點(diǎn)分別為 A， B，則弦 長為 3 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【專題】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓 【分析】 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用半徑 r，圓心 M 到點(diǎn) P 的距離 及切線長組成直角三角形，即可求出弦長 【解答】 解：如圖所示， 第 16 頁（共 24 頁） M： x2+4x 4y 1=0 可化為（ x 2） 2+（ y 2） 2=9， 圓心為 M（ 2， 2），半徑為 r=3； 則圓心 M 到點(diǎn) P 的距離為 d=3 ， 切線長 = =3， 弦 長為 2 =2 =3 故答案為： 3 【點(diǎn)評】 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了勾股定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 16對于兩個(gè)實(shí)數(shù) a， b， a， b表示 a， b 中的較小數(shù)設(shè) f （ x） =x， （ x 0），則不等式 f （ x） 解集是 ， 2 【考點(diǎn)】 其他不等式的解法 【專題】 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法 及應(yīng)用 【分析】 先根據(jù)， a， b表示 a， b 中的較小數(shù)求得函數(shù) f（ x），再按分段函數(shù)的圖象解得用滿足 f（ x） 時(shí) x 的集合 【解答】 解：根據(jù)， a， b表示 a， b 中的較小數(shù)， 得到函數(shù) f（ x） =x， （ x 0）的圖象，如圖所示： 當(dāng) x= 或 2 時(shí)， y= ，由圖象可知， f （ x） 解集是 ， 2， 故答案為： ， 2 第 17 頁（共 24 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查了其他不等式的解法，是一道新定義題，首先要根據(jù)新定義求得函數(shù)圖象，再應(yīng)用函數(shù)圖象解決相關(guān)問題，這類問題的解決，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17在數(shù)列 ，前 n 項(xiàng)和為 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【專題】 綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 （ I）由 ，可得 n=1 時(shí)， 1=1； n2 時(shí)， n 1 （ = ，利用 “錯(cuò)位相減法 ”與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：（ I） ， n=1 時(shí)， 1=1； n2 時(shí)， n 1= =n n=1 時(shí)也成立 an=n （ = ， 數(shù)列 前項(xiàng)和 + + ， = + + ， 第 18 頁（共 24 頁） = + = = ， 【點(diǎn)評】 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式、 “錯(cuò)位相減法 ”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔 題 18已知 內(nèi)角為 A、 B、 C，其對邊分別為 a、 b、 c，已知 B 為銳角，向量，且 （ ）求角 B 的大小及當(dāng) 時(shí)， 外接圓半徑 R 的取值范圍； （ ）如果 b=2，求 S 最大值 【考點(diǎn)】 余弦定理；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；解三角 形；不等式的解法及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用 【分析】 （ ）由平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示可得 2 2 1） + ，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得 22B+ ） =0，結(jié)合 B 為銳角可求 B，由正弦定理即可得解 （ ）由余弦定理可得 ac=a2+4，利用基本不等式可得 ，根據(jù)三角形面積公式即可求其最大值 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ） ， 2 2 1） + ， 22B+ ） =0（ B 為銳角） 2B= B= ， R= 1， 2 （ ）由 = ，可得： ac=a2+4， 第 19 頁（共 24 頁） a2+ ， S = ， 即 S 【點(diǎn)評】 本題主要考查了平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題 19若 f（ x） = a 0）的圖象與直 線 y=m（ m 0）相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為 的等差數(shù)列 （ 1）求 a 和 m 的值； （ 2） a、 b、 c 分別是 A、 B、 C 的對邊若（ ， ）是函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心，且 a=4，求 長的取值范圍 【考點(diǎn)】 正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦； y=x+）中參數(shù)的物理意義 【專題】 綜合題；解三角形 【分析】 （ 1）由題意，函數(shù) f（ x）的周期為 ，且最 大（或最?。┲禐?m，利用三角恒等變換可化簡 f（ x），從而可求結(jié)果； （ 2）由（ ， ）是函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心可求 A，利用正弦定理可把周長化為三角函數(shù)，進(jìn)而可求答案； 【解答】 解：（ 1） = ， 由題意，函數(shù) f（ x）的周期為 ，且最大（或最?。┲禐?m，而 m 0， ， a=1， ； （ 2） （ 是函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心， ， 又 A 為 內(nèi)角， ， ，則由正弦定理得： ， 第 20 頁（共 24 頁） ， ， b+c+a（ 8， 12 【點(diǎn)評】 該題考查正弦定理、兩角和與差的正弦函數(shù)、倍角公式等知識，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力 20如圖，在 ，記 ， B= ， ，點(diǎn) D 在 上，且 ， （ ）試用 表示 ； （ ）若以 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線為 x 軸（正方向?yàn)橄蛴遥┙⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得點(diǎn) A 落在第一象限點(diǎn) P（ x， y）在 邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，設(shè) ，求 m n 的最大值 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用；不等式 【分析】 （ ）可設(shè) （ 0 1），從而 ，這便可得到 ，而 ，根據(jù)條件即可得到 ，從而便可求出，這樣便可解出 ，從而用 表示出向量 ； （ ）根據(jù)題意便可求出點(diǎn) B， A， C 三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量 的坐標(biāo)，這樣根據(jù)便可求出 ，從而得到 ，這樣即可求出 ，從而由線性規(guī)劃的知識即可求出 m n 的最大值 第 21 頁（共 24 頁） 【解答】 解：（ ） 由題意不妨設(shè) ，則 ； ； ； 又 ； ； = = ，； = ； 解得 ； ； （ ）由題意知 ； ； = ； 又 P（ x， y）， ； ； ； 點(diǎn) P（ x， y）在 邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，由線性規(guī)劃知識知，當(dāng)點(diǎn) P 處于點(diǎn) A（ ）位置時(shí) m n 最 大，且最大值為 1 【點(diǎn)評】 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法：，以及向量夾角的余弦公式，完全平方式的運(yùn)用，能求平面直角坐標(biāo)系下 第 22 頁（共 24 頁） 點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，以及線性規(guī)劃的方法求變量的最值 21已知數(shù)列 ， ，且當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù) f（ x） = an 2 n ） x 取得極值 （ 1）若 n 1明數(shù)列 等差數(shù)列； （ 2）設(shè)數(shù)列 ， 前 n 項(xiàng)和為 不等式 n+4（ 1） m 的取值范圍 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 （ 1）通過對 f（ x） = an 2 n ） x 求導(dǎo)，利用 ，計(jì)算可知 =，進(jìn)而可知數(shù)列 首項(xiàng)、公差均為 1 的等差數(shù)列； （ 2）通過（ 1）可知 bn=n，裂項(xiàng)可知 ，并項(xiàng)相加得 ，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求 f（ n）= 的最小值，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論 【解