2011高三數(shù)學(xué)一輪熱身AB組 11.2《空間圖形的基本關(guān)系與公理》

第二節(jié)第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理空間圖形的基本關(guān)系與公理 A A 組組 1 以下四個(gè)命題中 正確命題的個(gè)數(shù)是 不共面的四點(diǎn)中 其中任意三點(diǎn)不共線 若點(diǎn) A B C D 共面 點(diǎn) A B C E 共面 則 A B C D E 共面 若直線 a b 共面 直線 a c 共面 則直線 b c 共面 依次首尾相接的四條線段必共面 解析 正確 可以用反證法證明 從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn) A B C 但是 若 A B C 共線 則結(jié)論不正確 不正確 共面不具有傳遞性 不正確 因?yàn)榇藭r(shí)所得 的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上 答案 1 2 給出下列四個(gè)命題 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn) 那么這兩個(gè)平面重合 兩條直線可以確定一個(gè)平面 若 M M l 則 M l 空間中 相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi) 其中真命題的個(gè)數(shù)為 解析 根據(jù)平面的基本性質(zhì)知 正確 答案 1 3 2009 年高考湖南卷改編 平行六面體 ABCD A1B1C1D1中 既與 AB 共面也與 CC1共面的 棱的條數(shù)為 解析 根據(jù)兩條平行直線 兩條相交直線確定一個(gè)平面 可得 CD BC BB1 AA1 C1D1符合條件 答案 5 4 正方體 ABCD A1B1C1D1中 P Q R 分別是 AB AD B1C1的中點(diǎn) 那么 正方體的 過 P Q R 的截面圖形是 解析 邊長(zhǎng)是正方體棱長(zhǎng)的倍的正六邊形 答案 正六邊形 2 2 5 原創(chuàng)題 已知直線 m n 及平面 其中 m n 那么平面 內(nèi)到兩條直線 m n 距離相等 的點(diǎn)的集合可能是 1 一條直線 2 一個(gè)平面 3 一個(gè)點(diǎn) 4 空集 其中正確的是 解析 如圖 1 當(dāng)直線 m 或直線 n 在平面 內(nèi)且 m n 所在平面與 垂直時(shí)不可能有符 合題意的點(diǎn) 如圖 2 直線 m n 到已知平面 的距離相等且兩直線所在平面與已知平面 垂直 則已知平面 為符合題意的點(diǎn) 如圖 3 直線 m n 所在平面與已知平面 平行 則 符合題意的點(diǎn)為一條直線 答案 1 2 4 6 如圖 已知平面 且 l 設(shè)梯形 ABCD 中 AD BC 且 AB CD 求證 AB CD l 共點(diǎn) 相交于一 點(diǎn) 證明 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 是梯形 ABCD 的兩腰 AB CD 必定相交于一點(diǎn) 如圖 設(shè) AB CD M 又 AB CD M 且 M M 又 l M l 即 AB CD l 共點(diǎn) B B 組組 1 有以下三個(gè)命題 平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn) 直線 l 在平面 內(nèi) 可以用符號(hào) l 表示 若平面 內(nèi)的一條直線 a 與平面 內(nèi)的一條直線 b 相交 則 與 相交 其中所有正 確命題的序號(hào)是 解析 表示線與面的關(guān)系用 或 表示 故 錯(cuò)誤 答案 2 2010 年黃岡調(diào)研 下列命題中正確的是 若 ABC 在平面 外 它的三條邊所在的直線分別交 于 P Q R 則 P Q R 三點(diǎn)共線 若三條直線 a b c 互相平行且分別交直線 l 于 A B C 三點(diǎn) 則這四條直線 共面 空間中不共面的五個(gè)點(diǎn)一定能確定 10 個(gè)平面 解析 在 中 因?yàn)?P Q R 三點(diǎn)既在平面 ABC 上 又在平面 上 所以這三點(diǎn)必在 平面 ABC 與 的交線上 即 P Q R 三點(diǎn)共線 故 正確 在 中 因?yàn)?a b 所以 a 與 b 確定一個(gè)平面 而 l 上有 A B 兩點(diǎn)在該平面上 所以 l 即 a b l 三線共面于 同理 a c l 三線也共面 不妨設(shè)為 而 有兩條公共的直線 a l 與 重合 即 這些直線共面 故 正確 在 中 不妨設(shè)其中有四點(diǎn)共面 則它們最多只能確定 7 個(gè)平面 故 錯(cuò) 答案 3 對(duì)于空間三條直線 有下列四個(gè)條件 三條直線兩兩相交且不共點(diǎn) 三條直線兩兩平行 三條直線共點(diǎn) 有兩條直線平行 第三條直線和這兩條直線都相交 其中使三條直線共面的充分條件有 解析 易知 中的三條直線一定共面 中兩條直線平行可確定一個(gè)平面 第三條直線 和這兩條直線相交于兩點(diǎn) 則第三條直線也在這個(gè)平面內(nèi) 故三條直線共面 答案 4 2008 年高考浙江卷改編 對(duì)兩條不相交的空間直線 a 與 b 必存在平面 使得 a b a b a b a b 解析 不相交的直線 a b 的位置有兩種 平行或異面 當(dāng) a b 異面時(shí) 不存在平面 滿足 又只有當(dāng) a b 時(shí) 才成立 答案 5 正方體 AC1中 E F 分別是線段 C1D BC 的中點(diǎn) 則直線 A1B 與直線 EF 的位置關(guān)系是 解析 直線 AB 與直線外一點(diǎn) E 確定的平面為 A1BCD1 EF 平面 A1BCD1 且兩直線不 平行 故兩直線相交 答案 相交 6 2010 年湖南郴州調(diào)研 設(shè) 是三個(gè)不重合的平面 l 是直線 給出下列四個(gè)命 題 若 l 則 l 若 l l 則 若 l 上有兩點(diǎn)到 的距離相等 則 l 若 則 其中正確命題的序號(hào)是 解析 錯(cuò)誤 l 可能在平面 內(nèi) 正確 l l n l n n 則 錯(cuò)誤 直線可能與平面相交 正確 故填 答案 7 2009 年高考廣東卷改編 給定下列四個(gè)命題 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面平行 那么這兩個(gè)平面相互平行 若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線 那么這兩個(gè)平面相互垂直 垂直于同一直線的兩條直線相互平行 若兩個(gè)平面垂直 那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂 直 其中 為真命題的是 解析 當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí) 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平 行于另一個(gè)平面 故 不對(duì) 由平面與平面垂直的判定定理可 知 正確 空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行 相 交也可以異面 故 不對(duì) 若兩個(gè)平面垂直 只有在一個(gè)平面 內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直 故 正確 答案 8 2009 年高考寧夏 海南卷改編 如圖所示 正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1 線 段 B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) E F 且 EF 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 2 2 AC BE EF 平面 ABCD 三棱錐 A BEF 的體積為定值 異面直線 AE BF 所成的角為定值 解析 AC 平面 BB1D1D 又 BE 平面 BB1D1D AC BE 故 正確 B1D1 平面 ABCD 又 E F 在直線 D1B1上運(yùn)動(dòng) EF 平面 ABCD 故 正確 中由于點(diǎn) B 到直線 B1D1的距離不變 故 BEF 的面 積為定值 又點(diǎn) A 到平面 BEF 的距離為 故 VA BEF為定 2 2 值 當(dāng)點(diǎn) E 在 D1處 F 為 D1B1的中點(diǎn)時(shí) 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 可得 A 1 1 0 B 0 1 0 E 1 0 1 F A 0 1 1 B 1 1 2 1 2 1 E F 1 2 1 2 A B 又 cos A B E F 3 2 AE 2 BF 6 2 E F 3 2 2 6 2 3 2 AE 與 BF 成 30 角 當(dāng) E 為 D1B1中點(diǎn) F 在 B1處時(shí) 此時(shí) E F 0 1 1 A B 0 0 1 1 2 1 2 1 E 1 2 1 2 1 F A B 1 A cos A B 故 錯(cuò) E F E 3 2 E F 2 3 6 3 3 2 答案 9 2008 年高考陜西卷改編 如圖 l A B A B 到 l 的距離分別是 a 和 b AB 與 所成的角分別是 和 AB 在 內(nèi)的射影分別是 m 和 n 若 a b 則 與 的大小關(guān)系為 m 與 n 的大小關(guān)系為 解析 AB 與 成的角為 ABC AB 與 成的角為 BAD sin sin ABC a AB sin sin BAD b AB a b sin sin n 答案 m n 10 如圖 已知正方體 ABCD A1B1C1D1中 E F 分別為 D1C1 B1C1的中點(diǎn) AC BD P A1C1 EF Q 若 A1C 交平面 DBFE 于 R 點(diǎn) 試確定 R 點(diǎn)的位置 解 在正方體 AC1中 連結(jié) PQ Q A1C1 Q 平面 A1C1CA 又 Q EF Q 平面 BDEF 即 Q 是平面 A1C1CA 與平面 BDEF 的公共點(diǎn) 同理 P 也是平面 A1C1CA 與平面 BDEF 的公共點(diǎn) 平面 A1C1CA 平面 BDEF PQ 又 A1C 平面 BDEF R R A1C R 平面 A1C1CA R 平面 BDEF R 是 A1C 與 PQ 的交點(diǎn) 如圖 11 如圖 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1中 M 為 AB 的中點(diǎn) N 為 BB1的中點(diǎn) O 為平面 BCC1B1的中心 1 過 O 作一直線與 AN 交于 P 與 CM 交于 Q 只寫作法 不 必證明 2 求 PQ 的長(zhǎng) 解 1 連結(jié) ON 由 ON AD 知 AD 與 ON 確定一個(gè)平面 又 O C M 三點(diǎn)確定一個(gè)平面 如圖所示 三個(gè)平面 和 ABCD 兩兩相交 有三條交線 OP CM DA 其中交線 DA 與交線 CM 不平行且共面 DA 與 CM 必相交 記交點(diǎn)為 Q OQ 是 與 的交線 連結(jié) OQ 與 AN 交于 P 與 CM 交于 Q 故直線 OPQ 即為所求作的直線 2 在 Rt APQ 中 易知 AQ 1 又易知 APQ OPN 2 AN AP AP PN AQ NO 5 2 5 3 PQ AQ2 AP2 14 3 12 2008 年高考四川卷 如圖 平面 ABEF 平面 ABCD 四邊 形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形 BAD FAB 90 BC 綊 AD BE 綊 FA G H 分別為 FA FD 的中點(diǎn) 1 2 1 2 1 證明 四邊形 BCHG 是平行四邊形 2 C D F E 四點(diǎn)是否共面 為什么 3 設(shè) AB BE 證明 平面 ADE 平面 CDE 解 1 證明 由題設(shè)知 FG GA FH HD 所以 GH 綊 AD 又 BC 綊 AD 故 GH 綊 BC 所以四邊形 BCHG 是平行四邊形 1 2 1 2 2 C D F E 四點(diǎn)共面 理由如下 由 BE 綊 AF G 是 FA 的中點(diǎn)知 BE 綊 GF 所以 EF BG 1 2 由 1 知 BG CH 所以 EF CH 故 EC FH 共面 又點(diǎn) D 在直線 FH 上 所以 C D