江蘇省各地市高三歷次模擬數(shù)學(xué)試題分類匯編：第4章導(dǎo)數(shù)

- 1 - 目錄 （基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） 第四章 導(dǎo)數(shù) . 2 第 22 課 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 . 2 第 23 課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) . 2 第 24 課 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 . 16 第 25 課 綜合應(yīng)用 . 25 - 2 - 第四章 導(dǎo)數(shù) 第 22課 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 曲線 x x 在點(diǎn)22，處的切線方程 為 202 若直線 是曲線 的一條切線，則實(shí)數(shù) b 已知直線 30ax 與 ( ) x x 在點(diǎn) (1,e)P 處的切線互相垂直 ，則 12 線 321 : 6 1 2C y a x x x 與曲線2: 1x 處 的 兩 條 切 線 互 相 垂 直 ， 則 實(shí)數(shù) a 的值為 13e(南通調(diào)研一 ) 在平面直角坐標(biāo)系 ，記曲線 2(my x R， 2)m 在 1x 處的切線為直線l 若直線 l 在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 12，則 m 的值為 . 3 或 4 （鎮(zhèn)江期末） 曲線 )0(1 公切線（相同 的 切線）的條數(shù)為 . 1 （鹽城期中） 已知點(diǎn) P 是函數(shù) ( ) c o s ( 0 )3f x x x 圖象上 一點(diǎn)，則曲線 ()y f x 在 點(diǎn) P 處 的切線斜率的最小值 為 . 32（南通調(diào)研二） 在平面直角坐標(biāo)系 ， 若 曲線 在 (e 為自然對數(shù)的底數(shù) )處的切線與直線30ax y 垂直，則實(shí)數(shù) a 的值為 【答案】 e （金海南三校聯(lián)考） 在平面直角坐標(biāo)系 ， P 是曲線 C： y=一點(diǎn)，直線 l： x 2y c=0 經(jīng) 過點(diǎn)P，且與曲線 C 在點(diǎn) P 處的切線垂直，則實(shí)數(shù) c 的值為 . 4 23課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 3211 2 2 132f x a x a x a x a 的圖象經(jīng)過四個(gè)象限的充要條件是 已知函數(shù) ,0,3)( 2 ，其中 ,當(dāng)函數(shù) )(值域?yàn)?2,0 時(shí)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 1,2 (栟茶中學(xué)學(xué)測一 )設(shè)函數(shù) )( R 上存在導(dǎo)數(shù) )( 對任意的 有 2)()( ,且在),0( 上 ()x .若 2)()2( ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ( ,1 （泰州二模） 若函數(shù) 2( ) ( 2 )f x x x a 在區(qū)間 2,4 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( , 2 5 , ) 635 16a - 3 - （南通調(diào)研二） 設(shè) 32( ) 4 ( 3 )f x x m x m x n (， )是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，則 m 的值為 【答案】 6 （蘇北三市調(diào)研三） 函數(shù) 2() xf x a x ( 1a ) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是 2e(1, e ) (栟茶中學(xué)學(xué)測一 )設(shè) ,函數(shù) ( ) x x a x. （ 1） 若 3a ，求曲線 ()y f x 在 1, 3P 處的切線方程； （ 2） 若 () 零點(diǎn) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3） 若 ()兩個(gè)相異零點(diǎn) 12,證 : 212x x e . 解： 在區(qū)間 0, 上 , 11() x . （ 1） 當(dāng) 3a 時(shí)， 1 3 2 ， 則切線方程為 3 2 1 ，即 2 1 0 4 分 （ 2） 若 0a , ( ) x x 有唯一零點(diǎn) 1x . 6 分 若 0a ,則 ( ) 0 , () 0, 上的增函數(shù) , (1) 0 Q , ( ) (1 ) 0a a af e a a e a e , (1 ) ( ) 0af f e ,函數(shù) () 0, 有唯一零點(diǎn) . 8 分 若 0a ,令 ( ) 0 得 : 1 在區(qū)間 1(0, ) ( ) 0 ,函數(shù) () 在區(qū)間 1( , )a 上 , ( ) 0 ,函數(shù) () 故在區(qū)間 0, 上 , ()1( ) l n 1 l n 1 . 由 1 0即 0a ,解得 : 1 故所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1,e . 10 分 (3) 設(shè)120, 12( ) 0 , ( ) 0 ,f x f xQ 1 1 2 2l n 0 , l n 0x a x x a x 1 2 1 2l n l n ( )x x a x x ,1 2 1 2l n l n ( )x a x x 原不等式 21 2 1 2l n l n 2x x e x x 12( ) 2a x x 121 2 1 2l n l n 2x x x1 1 22 1 22 ( )ln x x xx x x - 4 - 令12x ,則 1t ,于是 1 1 22 1 22 ( ) 2 ( 1 )l n l n 1x x x x x t . 設(shè)函數(shù) 2 ( 1 )( ) l t t t ( 1)t, 求導(dǎo)得 : 2221 4 ( 1 )( ) 0( 1 ) ( 1 )t t t 故函數(shù) () 1, 上的增函數(shù) , ( ) (1) 0g t g ， 即不等式 2( 1)tt t 成立 , 故所證不等式 212x x e成立 . 16 分 已知函數(shù) 32( ) ( )f x a x b x b a x (是不同時(shí)為零的常數(shù) )， 導(dǎo)函數(shù) 為 () （ 1） 當(dāng) 13a時(shí)，若存在 3, 1x ， 使得 ( ) 0 成立， 求 b 的取值范圍； （ 2） 求證：函數(shù) ()y f x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) ； （ 3） 若 函數(shù) ()在 1x 處的切線垂直于直線 2 3 0 ，關(guān)于 x 的方程 1()4f x t，在 1, ( 1) 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 解： (1) 當(dāng) 13a時(shí)， 2 2 211( ) 2 ( ) ( )33f x x b x b x b b b ， 其 對 稱 軸 為 直 線 2 分 當(dāng) 2( 3) 0 ，解得 2615b， 當(dāng) 2( 1) 0 ，無解，所以 b 的取值范圍為 26( , )15 4 分 因?yàn)?2( ) 3 2 ( )f x a x b x b a 解法 1 當(dāng) 0a 時(shí)， 12x，適合題意 當(dāng) 0a 時(shí)， 23 2 1 0 ，令 23 2 1 0x t x t 令 2( ) 3 2 1h x x t x t ，則 11( ) 024h 6 分 當(dāng) 1t 時(shí)， (0 ) 1 0，所以 ()y h x 在 1( ,0)2內(nèi)有零點(diǎn)； 當(dāng) 1t 時(shí)， ( 1 ) 2 1 0 ， 所以 ()y h x 在 1( 1, )2內(nèi)有零點(diǎn) 因此，當(dāng) 0a 時(shí)， ()y h x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) - 5 - 綜上可知，函數(shù) ()y f x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 9 分 解法 2 (0)f b a ， ( 1) 2f a b ， 12()33 . 由 于不同時(shí)為零，所以 1( ) ( 1 ) 03 ， 7 分 或 1( ) ( 1 ) 03 故結(jié)論成立 9 分 (3)因?yàn)?32( ) ( )f x a x b x b a x 為奇函數(shù)，所以 0b ，所以 3()f x a x a x， 又 ()x 處的切線垂直于直線 2 3 0 ，所以 1a ， 即 3()f x x x. 10 分 因?yàn)?33( ) 3 ( ) ( )f x x x ,所以 ()3( , ) ( , ) 、 上 是增函數(shù)，在 33 , 33上是減函數(shù)由 ( ) 0解得 1, 0 11 分 當(dāng) 313t 時(shí)， 1( ) 04f t t，即 3 1 04t t t ，解得 3323t ； 當(dāng) 3 03 t 時(shí)， 1( ) 04f t t ，解得 3 03 t ； 當(dāng) 0t 時(shí)，顯然不成立； 當(dāng) 303t 時(shí)， 1( ) 04f t t即 3 1 04t t t ，解得 303t ； 當(dāng) 33t時(shí)， 1( ) 04f t t 或 1 3 2 3()4 3 9 ，故 3332t或 839t 所以，所求 t 的取值范圍是 3 02 t，或 302t或 839t 16 分 (各題如有其他解法，請相應(yīng)給分 ) 已 知 二 次 函 數(shù) 2)( （ 其 中 ),3c 其 中 導(dǎo) 函 數(shù) )( 的 圖 象 如 圖 ， 設(shè))( （ 1） 求函數(shù) )( 2x 處的切線斜率； （ 2） 若函數(shù) )(區(qū)間 )21,1( 實(shí)數(shù) m 的取值范圍； )( )0,4( )8,0( x y O - 6 - （ 3） 若函數(shù) )6,0(, 圖象總在函數(shù) )( 圖象的上方，求 c 的取值范圍 . 解： ( ) 2 8f x x 分 8 2 826)( (2) 1f ，所以函數(shù) )3(,3()( 點(diǎn) 處的切線斜率為 分 x 3)(1(2826)( 0x x （ 0， 1） 1 （ 1， 3） 3 ),3( )( + 0 0 + )( )(的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， 1）和 ),3( )(的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 1， 3） 分 要使函數(shù) )(區(qū)間 1(1, )2m上是單調(diào)函數(shù)， 則1121 32 ，解得 1522m 分 由題意， 恒成立， 得 恒成立， 即 2 7 6 l nc x x x 恒成立， 設(shè) 2m i n( ) 6 l n 7 , 0 , 6 , ( )g x x x x x c g x 則3 分 x 2)(32(672762)(2 因?yàn)?為增函數(shù)時(shí)當(dāng) )(,0)(,)2,23(,0 當(dāng) 3( 0 , ) ( 2 , ) , ( ) 0 , ( )2x g x g x 和 時(shí) 為 減 函 數(shù) - 7 - )(的最小值為 )6()23( 的較小者 3 9 3 3 3 3 3( ) 6 l n 7 6 l n ,2 4 2 2 4 2( 6 ) 3 6 6 l n 6 4 2 6 6 l n 6 ,3 9 3 9( ) ( 6 ) 6 l n 6 l n 6 1 2 l n 2 0 ,2 4 2 4 ()( m 5 分 又已知 3c ， 6 6 c 6 分 設(shè)函數(shù) 32( ) ( , )2bf x x x c x b c R （ 1） 2b ， 1c ，求 ()y f x 的單調(diào)增區(qū)間； （ 2） 6b ， ( ) ( )g x f x ， 若 () 一切 0,2x 恒成立，求 k 的最小值 ()表達(dá)式； 解： （ 1） 3 2 2( ) ( 1 )f x x x x x x x 1 5 1 5( ) ( ) 022x x x 15 02 x 或 152x 2( ) 3 2 1 ( 1 ) ( 3 1 ) 0f x x x x x 1x 或 13x 所以 15( , 1)2 與 15( , )2 為 ()y f x 單調(diào)增區(qū)間； 同理 15( ) 02f x x 或 1502x ( ) 0 113x 所以 1(0, )3為 ()y f x 單調(diào)增區(qū)間 綜上 ()y f x 的單調(diào)增區(qū)間為 15( , 1)2 ， 1(0, )3， 15( , )2 （ 2） ()g x 即 32| 3 |x x c x k x 當(dāng) 0x 時(shí)，上式對一切 0,2x 恒成立； 當(dāng) (0,2x 時(shí)，即 2| 3 |x x c k 對一切 (0,2x 恒成立 2 m a x( ) | 3 |h c x x c ， (0,2x I）當(dāng) 94c時(shí)， 2 m 3 |x x c 在 0x 時(shí)取得， ()h c c 94c時(shí)， （ ）若 0c - 8 - 則 9 204 c c m a x 9| 3 | 4 x x c （ ） 90424 2c 不會(huì)是最大值； 所以 2m a ) ,9 84| 3 | m a x , 994 ( ) x c c 由 I）， 得9( ) ,8()99( ) 設(shè)函數(shù) ( ) 22l n +f x x x a x b=, ( )x f y x b . （ 1）求實(shí)數(shù) a 及0 （ 2）求證：對任意實(shí)數(shù) (0, )2函數(shù) () 解：（ 1） ( ) 2 l n 2f x x x x a x . 0 0 0 02 2 20 0 0 02 l n 2 1 ,l n .x x x a xx x a x x b b 由（ 2）得 0，代入（ 1）得 0 1x ，于是 1a . - 9 - （淮安宿遷摸底） 已知函數(shù) ( ) （其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)） ， 2( ) 1g x x a x ， aR （ 1） 記函數(shù) ( ) ( ) ( )F x f x g x，且 0a ，求 () （ 2） 若對任意 12, 0,2 ， 12，均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （ 1） 因?yàn)?2( ) ( ) e 1xF x f x g x x a x ， 所以 e 1 1xF x x a x ， 2 分 令 0 ，因?yàn)?0a ，得 1x 或 1 ， 5 分 所以 ,1a 和 1, ； 6 分 （ 2） 因?yàn)閷θ我?12, 0,2 且 12，均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立， 不妨設(shè) 12，根據(jù) ( ) 在 0,2 上單調(diào)遞增， 所以有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 對 12恒成立， 8 分 所以2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x f x f x 對 12, 0,2 ， 12恒成立， 即1 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g xf x g x f x g x 對 12, 0,2 ， 12恒成立， 所以 ( ) ( )f x g x 和 ( ) ( )f x g x 在 0,2 都是單調(diào)遞增函數(shù)， 11 分 當(dāng) ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立， 得 e 2 0x 在 0,2 恒成立，得 在 0,2 恒成立， - 10 - 因?yàn)?x 在 0,2 上單調(diào)減函數(shù)，所以 x 在 0,2 上取得最大值 1 ， 解得 1a 13 分 當(dāng) ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立， 得 e 2 0x 在 0,2 上恒成立，即 在 0,2 上恒成立， 因?yàn)?2在 0,遞減，在 上單調(diào)遞增， 所以 2在 0,2 上取得最小值 2 2， 所以 2 2a ， 15 分 所以 實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 1, 2 2 16 分 （南通調(diào)研一） 若函數(shù) ()y f x 在0取得極大值或極小值，則稱0)y f x 的極值點(diǎn) 已知函數(shù) 3( ) 3 l n (f x a x x x a a R) （ 1） 當(dāng) 0a 時(shí)，求 () （ 2） 若 ()( , )實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （注： e 是自然對數(shù)的底數(shù)） - 11 - - 12 - （南京鹽城模擬一） 已知函數(shù) () xf x e ， ()g x m x n. （ 1）設(shè) ( ) ( ) ( )h x f x g x. 若函數(shù) () 0x 處的切線過點(diǎn) (1,0) ，求 的值； 當(dāng) 0n 時(shí)，若函數(shù) () ( 1, ) 上沒有零點(diǎn)，求 m 的取值范圍； （ 2）設(shè)函數(shù) 1()( ) ( )f x g x，且 4 ( 0 )n m m，求證：當(dāng) 0x 時(shí)， ( ) 1. 解：（ 1）由題意，得 ( ) ( ( ) ( ) ) ( )x f x g x e m x n e m ， 所以函數(shù) () 0x 處的切線斜率 1 ， 2 分 又 (0) 1 ，所以函數(shù) () 0x 處的切線方程 (1 ) (1 )y n m x ， 將點(diǎn) (1,0) 代入，得 2 . 4 分 （ 2）方法一：當(dāng) 0n 時(shí)，可得 ( ) ( )x e m x e m ，因?yàn)?1x ，所以 1 當(dāng) 1， ( ) 0xh x e m ，函數(shù) () ( 1, ) 上單調(diào)遞增，而 (0) 1h ， 所以只需 1( 1 ) 0 ，解得 1，從 而 11 . 6 分 當(dāng) 1，由 ( ) 0xh x e m ，解得 1 , ) ， 當(dāng) ( 1, 時(shí)， ( ) 0 ， ()調(diào)遞減； 當(dāng) ( ) 時(shí)， ( ) 0 ， ()調(diào)遞增 . 所以函數(shù) () ( 1, ) 上有最小值為 ( l n ) l nh m m m m ， 令 m m m，解得 ，所以 1 綜上所述， 1 , ) 10 分 方法二：當(dāng) 0n 時(shí)， xe 當(dāng) 0x 時(shí)，顯然不成立； - 13 - 當(dāng) 1x 且 0x 時(shí)， 令 則 221x 當(dāng) 10x 時(shí)， 0y ，函數(shù) 調(diào)遞減 ； 當(dāng) 01x時(shí)， 0y ，函數(shù) 調(diào)遞減 ； 當(dāng) 1x 時(shí)， 0y ，函數(shù) 調(diào)遞增又11x ，1，由題意知 1 , ) （ 3）由題意， 1 1 1 4()( ) ( ) 4xn x x g x e e 而 14( ) 14x 等價(jià)于 ( 3 4 ) 4 0xe x x ， 令 ( ) ( 3 4 ) 4xF x e x x ， 12 分 則 (0) 0F ，且 ( ) ( 3 1 ) 1xF x e x ， 令 ( ) ( )G x F x ，則 ( ) ( 3 2 )xG x e x ， 因 0x ，所以 ( ) 0 ， 14 分 所以導(dǎo)數(shù) ()在 0, ) 上單調(diào)遞增，于是 ( ) ( 0 ) 0F x F， 從而函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增，即 ( ) ( 0 ) 0F x F 16 分 （鹽城期中） 已知函數(shù) xf x e ， g x x m ， . （ 1）若曲線 y f x 與 直線 y g x 相切，求實(shí)數(shù) m 的值； （ 2）記 h x f x g x，求 01， 上的 最大值； （ 3）當(dāng) 0m 時(shí)， 試 比較 2 與 解：（ 1）設(shè)曲線 xf x e 與 g x x m 相切于點(diǎn) 00,P x y，由 xf x e ，知 0=1 解 得0 0x ， 2 分 又可求得 點(diǎn) P 為 01， ， 所以 代入 g x x m ，得 1m . 4 分 （ 2） 因?yàn)?xh x x m e ， 所以 ( 1 ) , 0 , 1 x x xh x e x m e x m e x . 當(dāng) 10m ， 即 1m 時(shí)， 0 ，此時(shí) 01， 上單調(diào)遞增， 所以 m a x 11h x h m e ； 6 分 當(dāng) 0 1 1m 即 12m時(shí)， 當(dāng) 01， 時(shí)， 0 ， 當(dāng) 1,1 時(shí)， 0 ， 0 ， 11h m e . (i)當(dāng) 1m m e ， 即 21e 時(shí)， m a x 0h x h m ； (當(dāng) 1m m e ， 即 11em e時(shí)， m a x 11h x h m e ； 8 分 - 14 - 當(dāng) 11m ， 即 2m 時(shí) ， 0 ，此時(shí) 01， 上單調(diào)遞減，所以 m i n 0h x h m . 綜上， 當(dāng)1em e 時(shí)， m a x 1h x m e； 當(dāng)1em e 時(shí)， x m. 10 分 (3)當(dāng) 0m 時(shí)， 22 = ， g x x ， 當(dāng) 0x 時(shí)，顯然 2g x ； 當(dāng) 0x 時(shí)， 22 2l n = l n e e ， ln x x ， 記函數(shù) 221= l n l e x e ， 12 分 則 221 1 1= e e ， 可知 x 在 0,+ 上單調(diào)遞增，又由 10 ， 20 知， x 在 0,+ 上有唯一實(shí)根 0x ， 且 012x，則 0 2001=0x ，即 0 201xe x （ ）， 當(dāng) 00,， 0x ， x 單調(diào)遞減 ； 當(dāng) 0 +，時(shí)， 0x ， x 單調(diào)遞增， 所以 0 200= l x e x ， 14 分 結(jié)合（ ）式0 201xe x ， 知 002 ， 所以 22 000000 0 01211= 2 = 0x xx x x ，則 2= l n 0xx e x ， 即 2 ， 所以 2 . 綜上， 2g x . 16 分 （ 說明 ：若學(xué)生找出兩個(gè)函數(shù) 2 與 y g x 圖象的一條分隔線，如 1，然后去證 2 1與 1x g x ，且取等號的條件不一致，同樣給分 ） （南京鹽城二模） 已知函數(shù) f(x) 1 k(x 2)x ，其中 k 為常數(shù) （ 1）若 k 0，求曲線 y f(x)在點(diǎn) (1， f(1)處的切線方程； （ 2）若 k 5，求證： f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)； （ 3）若 k 為整數(shù)，且當(dāng) x 2 時(shí)， f(x) 0 恒成立，求 k 的最大值 （參考數(shù)據(jù) 解 ： （ 1）當(dāng) k 0 時(shí)， f(x) 1 因?yàn)?f (x) 1x，從而 f (1) 1 - 15 - 又 f (1) 1， 所以 曲線 y f(x)在點(diǎn) (1， f(1)處的切線方程 y 1 x 1， 即 x y 0 3 分 （ 2）當(dāng) k 5 時(shí)， f(x) 10x 4 因?yàn)?f (x) x 10從而 當(dāng) x (0， 10)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x (10， )時(shí)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x 10 時(shí)， f(x)有極小值 5 分 因 f(10) 3 0， f(1) 6 0，所以 f(x)在 (1， 10)之間有一個(gè)零點(diǎn) 因?yàn)?f( 4 104 0，所以 f(x)在 (10， 間有一個(gè)零點(diǎn) 從而 f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 8 分 （ 3） 方法一 ：由題意知， 1+k(x 2)x 0 對 x (2， )恒成立， 即 k x 2 對 x (2， )恒成立 令 h(x) x 2 ，則 h(x) x 24(x 2)2 設(shè) v(x) x 24，則 v(x) x 2x 當(dāng) x (2， )時(shí)， v(x) 0，所以 v(x)在 (2， )為增函數(shù) 因?yàn)?v(8) 8 24 4 20， v(9) 5 20， 所以存在 (8， 9)， v( 0，即 24 0 當(dāng) x (2， ， h(x) 0， h(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x ( )時(shí)， h(x) 0， h(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x ， h(x)的最小值 h( 2 因?yàn)?42 ，所以 h( (4， 故所求的整數(shù) k 的最大值為 4 16 分 方法二 ：由題意知， 1+k(x 2)x 0 對 x (2， )恒成立 f(x) 1+k(x 2)x ， f (x) x 2 當(dāng) 2k2，即 k1時(shí)， f(x) 0 對 x (2， )恒成立， 所以 f(x)在 (2， )上單調(diào)遞增 而 f(2) 1 0 成立，所以滿足要求 當(dāng) 2k 2，即 k 1 時(shí)， - 16 - 當(dāng) x (2， 2k)時(shí)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x (2k， )， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x 2k 時(shí)， f(x)有最小值 f(2k) 2 k 從而 f(x) 0 在 x (2， )恒成立， 等價(jià)于 2 k 0 令 g(k) 2 k，則 g(k) 1 0，從而 g(k) 在 (1， )為減函數(shù) 因?yàn)?g(4) 2 0， g(5) 3 0 ， 所以使 2 k 0 成立的最大正整數(shù) k 4 綜合 ，知所求的整數(shù) k 的最大值為 4 16 分 第 24課 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 （蘇北四市期末） 如圖，有一個(gè)長方形地塊 邊 2 4 地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線 以直線 對稱軸，以 A 為頂點(diǎn)的拋物線的一部分 現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線 一點(diǎn) P 的直線型隔離帶 E ， F 分別在邊 （隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)） 設(shè)點(diǎn) P 到邊 距離為 t （單位： ， 面積為 S （單位：2 (1)求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域； (2)是否存在點(diǎn) P ，使隔離出的 積 S 超過 3 2并說明理由 （ 1） 如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) O ， 在直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4) 1 分 設(shè)邊緣線 在拋物線的方程為 2y ， 把 (2,4) 代入，得 242a=? ，解得 1a= ， 所以拋物線的方程為 2 3 分 因?yàn)?2 ， 4 分 所以過 2( , )Pt t 的切線 程為 22y tx t=- 5 分 令 0y= ，得 ( ,0)2 2x= ，得 2(2, 4 )F t 7 分 E F （第 18 題） P A B C D - 17 - 所以 21 ( 2 ) ( 4 )22tS t t ， 8 分 所以 321 ( 8 1 6 )4S t t t ，定義域?yàn)?(0,2 9 分 （ 2） 21 3 4( 3 1 6 1 6 ) ( 4 ) ( )4 4 3S t t t t ， 12 分 由 ( ) 0 ，得 403t， 所以 ()在 4(0, )3上是增函數(shù)，在 4( ,23上是減函數(shù)， 14 分 所以 S 在 (0,2 上有最大值 4 64()3 27S 又因?yàn)?6 4 1 7332 7 2 7 ， 所以不存在點(diǎn) P ，使隔離出的 積 S 超過 3 2 16 分 （淮安宿遷摸底） 如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖已知 直徑，且 2 為圓心， C 為圓周上靠近 A 的一點(diǎn)， D 為圓周上靠近 B 的一點(diǎn)，且 現(xiàn)在準(zhǔn)備從 A 經(jīng)過 C 到D 建造一條觀光路線，其中 A 到 C 是圓弧 C 到 D 是線段 設(shè) ( ra d )A O C x ，觀光路線總長為 (km)y . （ 1） 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域； （ 2） 求觀光路線總長 的最大值 . (1)由題意知， 1AC x x ， 2 分 2 x ， 5 分 因?yàn)?C 為圓周上靠近 A 的一點(diǎn)， D 為圓周上靠近 B 的一點(diǎn)，且 /B ， 所以 02x 所以 2 co sy x x ， 0,2x 7 分 (2)記 2 c o sf x x x ,則 ( ) 1 2 s i nf x x ， 9 分 令 ( ) 0 ，得6x ， 11 分 列表 x (0，6) 6(6，2) () 0 f (x) 遞增 極大值 遞減