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文檔簡介
- 1 - 目錄 (基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分) 第四章 導(dǎo)數(shù) . 2 第 22 課 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 . 2 第 23 課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) . 2 第 24 課 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 . 16 第 25 課 綜合應(yīng)用 . 25 - 2 - 第四章 導(dǎo)數(shù) 第 22課 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 曲線 x x 在點(diǎn)22,處的切線方程 為 202 若直線 是曲線 的一條切線,則實(shí)數(shù) b 已知直線 30ax 與 ( ) x x 在點(diǎn) (1,e)P 處的切線互相垂直 ,則 12 線 321 : 6 1 2C y a x x x 與曲線2: 1x 處 的 兩 條 切 線 互 相 垂 直 , 則 實(shí)數(shù) a 的值為 13e(南通調(diào)研一 ) 在平面直角坐標(biāo)系 ,記曲線 2(my x R, 2)m 在 1x 處的切線為直線l 若直線 l 在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 12,則 m 的值為 . 3 或 4 (鎮(zhèn)江期末) 曲線 )0(1 公切線(相同 的 切線)的條數(shù)為 . 1 (鹽城期中) 已知點(diǎn) P 是函數(shù) ( ) c o s ( 0 )3f x x x 圖象上 一點(diǎn),則曲線 ()y f x 在 點(diǎn) P 處 的切線斜率的最小值 為 . 32(南通調(diào)研二) 在平面直角坐標(biāo)系 , 若 曲線 在 (e 為自然對數(shù)的底數(shù) )處的切線與直線30ax y 垂直,則實(shí)數(shù) a 的值為 【答案】 e (金海南三校聯(lián)考) 在平面直角坐標(biāo)系 , P 是曲線 C: y=一點(diǎn),直線 l: x 2y c=0 經(jīng) 過點(diǎn)P,且與曲線 C 在點(diǎn) P 處的切線垂直,則實(shí)數(shù) c 的值為 . 4 23課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 3211 2 2 132f x a x a x a x a 的圖象經(jīng)過四個(gè)象限的充要條件是 已知函數(shù) ,0,3)( 2 ,其中 ,當(dāng)函數(shù) )(值域?yàn)?2,0 時(shí),則實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 1,2 (栟茶中學(xué)學(xué)測一 )設(shè)函數(shù) )( R 上存在導(dǎo)數(shù) )( 對任意的 有 2)()( ,且在),0( 上 ()x .若 2)()2( ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ( ,1 (泰州二模) 若函數(shù) 2( ) ( 2 )f x x x a 在區(qū)間 2,4 上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( , 2 5 , ) 635 16a - 3 - (南通調(diào)研二) 設(shè) 32( ) 4 ( 3 )f x x m x m x n (, )是 R 上的單調(diào)增函數(shù),則 m 的值為 【答案】 6 (蘇北三市調(diào)研三) 函數(shù) 2() xf x a x ( 1a ) 有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是 2e(1, e ) (栟茶中學(xué)學(xué)測一 )設(shè) ,函數(shù) ( ) x x a x. ( 1) 若 3a ,求曲線 ()y f x 在 1, 3P 處的切線方程; ( 2) 若 () 零點(diǎn) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍; ( 3) 若 ()兩個(gè)相異零點(diǎn) 12,證 : 212x x e . 解: 在區(qū)間 0, 上 , 11() x . ( 1) 當(dāng) 3a 時(shí), 1 3 2 , 則切線方程為 3 2 1 ,即 2 1 0 4 分 ( 2) 若 0a , ( ) x x 有唯一零點(diǎn) 1x . 6 分 若 0a ,則 ( ) 0 , () 0, 上的增函數(shù) , (1) 0 Q , ( ) (1 ) 0a a af e a a e a e , (1 ) ( ) 0af f e ,函數(shù) () 0, 有唯一零點(diǎn) . 8 分 若 0a ,令 ( ) 0 得 : 1 在區(qū)間 1(0, ) ( ) 0 ,函數(shù) () 在區(qū)間 1( , )a 上 , ( ) 0 ,函數(shù) () 故在區(qū)間 0, 上 , ()1( ) l n 1 l n 1 . 由 1 0即 0a ,解得 : 1 故所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1,e . 10 分 (3) 設(shè)120, 12( ) 0 , ( ) 0 ,f x f xQ 1 1 2 2l n 0 , l n 0x a x x a x 1 2 1 2l n l n ( )x x a x x ,1 2 1 2l n l n ( )x a x x 原不等式 21 2 1 2l n l n 2x x e x x 12( ) 2a x x 121 2 1 2l n l n 2x x x1 1 22 1 22 ( )ln x x xx x x - 4 - 令12x ,則 1t ,于是 1 1 22 1 22 ( ) 2 ( 1 )l n l n 1x x x x x t . 設(shè)函數(shù) 2 ( 1 )( ) l t t t ( 1)t, 求導(dǎo)得 : 2221 4 ( 1 )( ) 0( 1 ) ( 1 )t t t 故函數(shù) () 1, 上的增函數(shù) , ( ) (1) 0g t g , 即不等式 2( 1)tt t 成立 , 故所證不等式 212x x e成立 . 16 分 已知函數(shù) 32( ) ( )f x a x b x b a x (是不同時(shí)為零的常數(shù) ), 導(dǎo)函數(shù) 為 () ( 1) 當(dāng) 13a時(shí),若存在 3, 1x , 使得 ( ) 0 成立, 求 b 的取值范圍; ( 2) 求證:函數(shù) ()y f x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) ; ( 3) 若 函數(shù) ()在 1x 處的切線垂直于直線 2 3 0 ,關(guān)于 x 的方程 1()4f x t,在 1, ( 1) 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 解: (1) 當(dāng) 13a時(shí), 2 2 211( ) 2 ( ) ( )33f x x b x b x b b b , 其 對 稱 軸 為 直 線 2 分 當(dāng) 2( 3) 0 ,解得 2615b, 當(dāng) 2( 1) 0 ,無解,所以 b 的取值范圍為 26( , )15 4 分 因?yàn)?2( ) 3 2 ( )f x a x b x b a 解法 1 當(dāng) 0a 時(shí), 12x,適合題意 當(dāng) 0a 時(shí), 23 2 1 0 ,令 23 2 1 0x t x t 令 2( ) 3 2 1h x x t x t ,則 11( ) 024h 6 分 當(dāng) 1t 時(shí), (0 ) 1 0,所以 ()y h x 在 1( ,0)2內(nèi)有零點(diǎn); 當(dāng) 1t 時(shí), ( 1 ) 2 1 0 , 所以 ()y h x 在 1( 1, )2內(nèi)有零點(diǎn) 因此,當(dāng) 0a 時(shí), ()y h x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) - 5 - 綜上可知,函數(shù) ()y f x 在 ( 1,0) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 9 分 解法 2 (0)f b a , ( 1) 2f a b , 12()33 . 由 于不同時(shí)為零,所以 1( ) ( 1 ) 03 , 7 分 或 1( ) ( 1 ) 03 故結(jié)論成立 9 分 (3)因?yàn)?32( ) ( )f x a x b x b a x 為奇函數(shù),所以 0b ,所以 3()f x a x a x, 又 ()x 處的切線垂直于直線 2 3 0 ,所以 1a , 即 3()f x x x. 10 分 因?yàn)?33( ) 3 ( ) ( )f x x x ,所以 ()3( , ) ( , ) 、 上 是增函數(shù),在 33 , 33上是減函數(shù)由 ( ) 0解得 1, 0 11 分 當(dāng) 313t 時(shí), 1( ) 04f t t,即 3 1 04t t t ,解得 3323t ; 當(dāng) 3 03 t 時(shí), 1( ) 04f t t ,解得 3 03 t ; 當(dāng) 0t 時(shí),顯然不成立; 當(dāng) 303t 時(shí), 1( ) 04f t t即 3 1 04t t t ,解得 303t ; 當(dāng) 33t時(shí), 1( ) 04f t t 或 1 3 2 3()4 3 9 ,故 3332t或 839t 所以,所求 t 的取值范圍是 3 02 t,或 302t或 839t 16 分 (各題如有其他解法,請相應(yīng)給分 ) 已 知 二 次 函 數(shù) 2)( ( 其 中 ),3c 其 中 導(dǎo) 函 數(shù) )( 的 圖 象 如 圖 , 設(shè))( ( 1) 求函數(shù) )( 2x 處的切線斜率; ( 2) 若函數(shù) )(區(qū)間 )21,1( 實(shí)數(shù) m 的取值范圍; )( )0,4( )8,0( x y O - 6 - ( 3) 若函數(shù) )6,0(, 圖象總在函數(shù) )( 圖象的上方,求 c 的取值范圍 . 解: ( ) 2 8f x x 分 8 2 826)( (2) 1f ,所以函數(shù) )3(,3()( 點(diǎn) 處的切線斜率為 分 x 3)(1(2826)( 0x x ( 0, 1) 1 ( 1, 3) 3 ),3( )( + 0 0 + )( )(的單調(diào)遞增區(qū)間為( 0, 1)和 ),3( )(的單調(diào)遞減區(qū)間為( 1, 3) 分 要使函數(shù) )(區(qū)間 1(1, )2m上是單調(diào)函數(shù), 則1121 32 ,解得 1522m 分 由題意, 恒成立, 得 恒成立, 即 2 7 6 l nc x x x 恒成立, 設(shè) 2m i n( ) 6 l n 7 , 0 , 6 , ( )g x x x x x c g x 則3 分 x 2)(32(672762)(2 因?yàn)?為增函數(shù)時(shí)當(dāng) )(,0)(,)2,23(,0 當(dāng) 3( 0 , ) ( 2 , ) , ( ) 0 , ( )2x g x g x 和 時(shí) 為 減 函 數(shù) - 7 - )(的最小值為 )6()23( 的較小者 3 9 3 3 3 3 3( ) 6 l n 7 6 l n ,2 4 2 2 4 2( 6 ) 3 6 6 l n 6 4 2 6 6 l n 6 ,3 9 3 9( ) ( 6 ) 6 l n 6 l n 6 1 2 l n 2 0 ,2 4 2 4 ()( m 5 分 又已知 3c , 6 6 c 6 分 設(shè)函數(shù) 32( ) ( , )2bf x x x c x b c R ( 1) 2b , 1c ,求 ()y f x 的單調(diào)增區(qū)間; ( 2) 6b , ( ) ( )g x f x , 若 () 一切 0,2x 恒成立,求 k 的最小值 ()表達(dá)式; 解: ( 1) 3 2 2( ) ( 1 )f x x x x x x x 1 5 1 5( ) ( ) 022x x x 15 02 x 或 152x 2( ) 3 2 1 ( 1 ) ( 3 1 ) 0f x x x x x 1x 或 13x 所以 15( , 1)2 與 15( , )2 為 ()y f x 單調(diào)增區(qū)間; 同理 15( ) 02f x x 或 1502x ( ) 0 113x 所以 1(0, )3為 ()y f x 單調(diào)增區(qū)間 綜上 ()y f x 的單調(diào)增區(qū)間為 15( , 1)2 , 1(0, )3, 15( , )2 ( 2) ()g x 即 32| 3 |x x c x k x 當(dāng) 0x 時(shí),上式對一切 0,2x 恒成立; 當(dāng) (0,2x 時(shí),即 2| 3 |x x c k 對一切 (0,2x 恒成立 2 m a x( ) | 3 |h c x x c , (0,2x I)當(dāng) 94c時(shí), 2 m 3 |x x c 在 0x 時(shí)取得, ()h c c 94c時(shí), ( )若 0c - 8 - 則 9 204 c c m a x 9| 3 | 4 x x c ( ) 90424 2c 不會(huì)是最大值; 所以 2m a ) ,9 84| 3 | m a x , 994 ( ) x c c 由 I), 得9( ) ,8()99( ) 設(shè)函數(shù) ( ) 22l n +f x x x a x b=, ( )x f y x b . ( 1)求實(shí)數(shù) a 及0 ( 2)求證:對任意實(shí)數(shù) (0, )2函數(shù) () 解:( 1) ( ) 2 l n 2f x x x x a x . 0 0 0 02 2 20 0 0 02 l n 2 1 ,l n .x x x a xx x a x x b b 由( 2)得 0,代入( 1)得 0 1x ,于是 1a . - 9 - (淮安宿遷摸底) 已知函數(shù) ( ) (其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)) , 2( ) 1g x x a x , aR ( 1) 記函數(shù) ( ) ( ) ( )F x f x g x,且 0a ,求 () ( 2) 若對任意 12, 0,2 , 12,均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ( 1) 因?yàn)?2( ) ( ) e 1xF x f x g x x a x , 所以 e 1 1xF x x a x , 2 分 令 0 ,因?yàn)?0a ,得 1x 或 1 , 5 分 所以 ,1a 和 1, ; 6 分 ( 2) 因?yàn)閷θ我?12, 0,2 且 12,均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立, 不妨設(shè) 12,根據(jù) ( ) 在 0,2 上單調(diào)遞增, 所以有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 對 12恒成立, 8 分 所以2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x f x f x 對 12, 0,2 , 12恒成立, 即1 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g xf x g x f x g x 對 12, 0,2 , 12恒成立, 所以 ( ) ( )f x g x 和 ( ) ( )f x g x 在 0,2 都是單調(diào)遞增函數(shù), 11 分 當(dāng) ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立, 得 e 2 0x 在 0,2 恒成立,得 在 0,2 恒成立, - 10 - 因?yàn)?x 在 0,2 上單調(diào)減函數(shù),所以 x 在 0,2 上取得最大值 1 , 解得 1a 13 分 當(dāng) ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立, 得 e 2 0x 在 0,2 上恒成立,即 在 0,2 上恒成立, 因?yàn)?2在 0,遞減,在 上單調(diào)遞增, 所以 2在 0,2 上取得最小值 2 2, 所以 2 2a , 15 分 所以 實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 1, 2 2 16 分 (南通調(diào)研一) 若函數(shù) ()y f x 在0取得極大值或極小值,則稱0)y f x 的極值點(diǎn) 已知函數(shù) 3( ) 3 l n (f x a x x x a a R) ( 1) 當(dāng) 0a 時(shí),求 () ( 2) 若 ()( , )實(shí)數(shù) a 的取值范圍 (注: e 是自然對數(shù)的底數(shù)) - 11 - - 12 - (南京鹽城模擬一) 已知函數(shù) () xf x e , ()g x m x n. ( 1)設(shè) ( ) ( ) ( )h x f x g x. 若函數(shù) () 0x 處的切線過點(diǎn) (1,0) ,求 的值; 當(dāng) 0n 時(shí),若函數(shù) () ( 1, ) 上沒有零點(diǎn),求 m 的取值范圍; ( 2)設(shè)函數(shù) 1()( ) ( )f x g x,且 4 ( 0 )n m m,求證:當(dāng) 0x 時(shí), ( ) 1. 解:( 1)由題意,得 ( ) ( ( ) ( ) ) ( )x f x g x e m x n e m , 所以函數(shù) () 0x 處的切線斜率 1 , 2 分 又 (0) 1 ,所以函數(shù) () 0x 處的切線方程 (1 ) (1 )y n m x , 將點(diǎn) (1,0) 代入,得 2 . 4 分 ( 2)方法一:當(dāng) 0n 時(shí),可得 ( ) ( )x e m x e m ,因?yàn)?1x ,所以 1 當(dāng) 1, ( ) 0xh x e m ,函數(shù) () ( 1, ) 上單調(diào)遞增,而 (0) 1h , 所以只需 1( 1 ) 0 ,解得 1,從 而 11 . 6 分 當(dāng) 1,由 ( ) 0xh x e m ,解得 1 , ) , 當(dāng) ( 1, 時(shí), ( ) 0 , ()調(diào)遞減; 當(dāng) ( ) 時(shí), ( ) 0 , ()調(diào)遞增 . 所以函數(shù) () ( 1, ) 上有最小值為 ( l n ) l nh m m m m , 令 m m m,解得 ,所以 1 綜上所述, 1 , ) 10 分 方法二:當(dāng) 0n 時(shí), xe 當(dāng) 0x 時(shí),顯然不成立; - 13 - 當(dāng) 1x 且 0x 時(shí), 令 則 221x 當(dāng) 10x 時(shí), 0y ,函數(shù) 調(diào)遞減 ; 當(dāng) 01x時(shí), 0y ,函數(shù) 調(diào)遞減 ; 當(dāng) 1x 時(shí), 0y ,函數(shù) 調(diào)遞增又11x ,1,由題意知 1 , ) ( 3)由題意, 1 1 1 4()( ) ( ) 4xn x x g x e e 而 14( ) 14x 等價(jià)于 ( 3 4 ) 4 0xe x x , 令 ( ) ( 3 4 ) 4xF x e x x , 12 分 則 (0) 0F ,且 ( ) ( 3 1 ) 1xF x e x , 令 ( ) ( )G x F x ,則 ( ) ( 3 2 )xG x e x , 因 0x ,所以 ( ) 0 , 14 分 所以導(dǎo)數(shù) ()在 0, ) 上單調(diào)遞增,于是 ( ) ( 0 ) 0F x F, 從而函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增,即 ( ) ( 0 ) 0F x F 16 分 (鹽城期中) 已知函數(shù) xf x e , g x x m , . ( 1)若曲線 y f x 與 直線 y g x 相切,求實(shí)數(shù) m 的值; ( 2)記 h x f x g x,求 01, 上的 最大值; ( 3)當(dāng) 0m 時(shí), 試 比較 2 與 解:( 1)設(shè)曲線 xf x e 與 g x x m 相切于點(diǎn) 00,P x y,由 xf x e ,知 0=1 解 得0 0x , 2 分 又可求得 點(diǎn) P 為 01, , 所以 代入 g x x m ,得 1m . 4 分 ( 2) 因?yàn)?xh x x m e , 所以 ( 1 ) , 0 , 1 x x xh x e x m e x m e x . 當(dāng) 10m , 即 1m 時(shí), 0 ,此時(shí) 01, 上單調(diào)遞增, 所以 m a x 11h x h m e ; 6 分 當(dāng) 0 1 1m 即 12m時(shí), 當(dāng) 01, 時(shí), 0 , 當(dāng) 1,1 時(shí), 0 , 0 , 11h m e . (i)當(dāng) 1m m e , 即 21e 時(shí), m a x 0h x h m ; (當(dāng) 1m m e , 即 11em e時(shí), m a x 11h x h m e ; 8 分 - 14 - 當(dāng) 11m , 即 2m 時(shí) , 0 ,此時(shí) 01, 上單調(diào)遞減,所以 m i n 0h x h m . 綜上, 當(dāng)1em e 時(shí), m a x 1h x m e; 當(dāng)1em e 時(shí), x m. 10 分 (3)當(dāng) 0m 時(shí), 22 = , g x x , 當(dāng) 0x 時(shí),顯然 2g x ; 當(dāng) 0x 時(shí), 22 2l n = l n e e , ln x x , 記函數(shù) 221= l n l e x e , 12 分 則 221 1 1= e e , 可知 x 在 0,+ 上單調(diào)遞增,又由 10 , 20 知, x 在 0,+ 上有唯一實(shí)根 0x , 且 012x,則 0 2001=0x ,即 0 201xe x ( ), 當(dāng) 00,, 0x , x 單調(diào)遞減 ; 當(dāng) 0 +,時(shí), 0x , x 單調(diào)遞增, 所以 0 200= l x e x , 14 分 結(jié)合( )式0 201xe x , 知 002 , 所以 22 000000 0 01211= 2 = 0x xx x x ,則 2= l n 0xx e x , 即 2 , 所以 2 . 綜上, 2g x . 16 分 ( 說明 :若學(xué)生找出兩個(gè)函數(shù) 2 與 y g x 圖象的一條分隔線,如 1,然后去證 2 1與 1x g x ,且取等號的條件不一致,同樣給分 ) (南京鹽城二模) 已知函數(shù) f(x) 1 k(x 2)x ,其中 k 為常數(shù) ( 1)若 k 0,求曲線 y f(x)在點(diǎn) (1, f(1)處的切線方程; ( 2)若 k 5,求證: f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn); ( 3)若 k 為整數(shù),且當(dāng) x 2 時(shí), f(x) 0 恒成立,求 k 的最大值 (參考數(shù)據(jù) 解 : ( 1)當(dāng) k 0 時(shí), f(x) 1 因?yàn)?f (x) 1x,從而 f (1) 1 - 15 - 又 f (1) 1, 所以 曲線 y f(x)在點(diǎn) (1, f(1)處的切線方程 y 1 x 1, 即 x y 0 3 分 ( 2)當(dāng) k 5 時(shí), f(x) 10x 4 因?yàn)?f (x) x 10從而 當(dāng) x (0, 10), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減;當(dāng) x (10, )時(shí), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x 10 時(shí), f(x)有極小值 5 分 因 f(10) 3 0, f(1) 6 0,所以 f(x)在 (1, 10)之間有一個(gè)零點(diǎn) 因?yàn)?f( 4 104 0,所以 f(x)在 (10, 間有一個(gè)零點(diǎn) 從而 f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 8 分 ( 3) 方法一 :由題意知, 1+k(x 2)x 0 對 x (2, )恒成立, 即 k x 2 對 x (2, )恒成立 令 h(x) x 2 ,則 h(x) x 24(x 2)2 設(shè) v(x) x 24,則 v(x) x 2x 當(dāng) x (2, )時(shí), v(x) 0,所以 v(x)在 (2, )為增函數(shù) 因?yàn)?v(8) 8 24 4 20, v(9) 5 20, 所以存在 (8, 9), v( 0,即 24 0 當(dāng) x (2, , h(x) 0, h(x)單調(diào)遞減,當(dāng) x ( )時(shí), h(x) 0, h(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x , h(x)的最小值 h( 2 因?yàn)?42 ,所以 h( (4, 故所求的整數(shù) k 的最大值為 4 16 分 方法二 :由題意知, 1+k(x 2)x 0 對 x (2, )恒成立 f(x) 1+k(x 2)x , f (x) x 2 當(dāng) 2k2,即 k1時(shí), f(x) 0 對 x (2, )恒成立, 所以 f(x)在 (2, )上單調(diào)遞增 而 f(2) 1 0 成立,所以滿足要求 當(dāng) 2k 2,即 k 1 時(shí), - 16 - 當(dāng) x (2, 2k)時(shí), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng) x (2k, ), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x 2k 時(shí), f(x)有最小值 f(2k) 2 k 從而 f(x) 0 在 x (2, )恒成立, 等價(jià)于 2 k 0 令 g(k) 2 k,則 g(k) 1 0,從而 g(k) 在 (1, )為減函數(shù) 因?yàn)?g(4) 2 0, g(5) 3 0 , 所以使 2 k 0 成立的最大正整數(shù) k 4 綜合 ,知所求的整數(shù) k 的最大值為 4 16 分 第 24課 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 (蘇北四市期末) 如圖,有一個(gè)長方形地塊 邊 2 4 地塊的一角是濕地(圖中陰影部分),其邊緣線 以直線 對稱軸,以 A 為頂點(diǎn)的拋物線的一部分 現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線 一點(diǎn) P 的直線型隔離帶 E , F 分別在邊 (隔離帶不能穿越濕地,且占地面積忽略不計(jì)) 設(shè)點(diǎn) P 到邊 距離為 t (單位: , 面積為 S (單位:2 (1)求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域; (2)是否存在點(diǎn) P ,使隔離出的 積 S 超過 3 2并說明理由 ( 1) 如圖,以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) O , 在直線為 x 軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4) 1 分 設(shè)邊緣線 在拋物線的方程為 2y , 把 (2,4) 代入,得 242a=? ,解得 1a= , 所以拋物線的方程為 2 3 分 因?yàn)?2 , 4 分 所以過 2( , )Pt t 的切線 程為 22y tx t=- 5 分 令 0y= ,得 ( ,0)2 2x= ,得 2(2, 4 )F t 7 分 E F (第 18 題) P A B C D - 17 - 所以 21 ( 2 ) ( 4 )22tS t t , 8 分 所以 321 ( 8 1 6 )4S t t t ,定義域?yàn)?(0,2 9 分 ( 2) 21 3 4( 3 1 6 1 6 ) ( 4 ) ( )4 4 3S t t t t , 12 分 由 ( ) 0 ,得 403t, 所以 ()在 4(0, )3上是增函數(shù),在 4( ,23上是減函數(shù), 14 分 所以 S 在 (0,2 上有最大值 4 64()3 27S 又因?yàn)?6 4 1 7332 7 2 7 , 所以不存在點(diǎn) P ,使隔離出的 積 S 超過 3 2 16 分 (淮安宿遷摸底) 如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖已知 直徑,且 2 為圓心, C 為圓周上靠近 A 的一點(diǎn), D 為圓周上靠近 B 的一點(diǎn),且 現(xiàn)在準(zhǔn)備從 A 經(jīng)過 C 到D 建造一條觀光路線,其中 A 到 C 是圓弧 C 到 D 是線段 設(shè) ( ra d )A O C x ,觀光路線總長為 (km)y . ( 1) 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域; ( 2) 求觀光路線總長 的最大值 . (1)由題意知, 1AC x x , 2 分 2 x , 5 分 因?yàn)?C 為圓周上靠近 A 的一點(diǎn), D 為圓周上靠近 B 的一點(diǎn),且 /B , 所以 02x 所以 2 co sy x x , 0,2x 7 分 (2)記 2 c o sf x x x ,則 ( ) 1 2 s i nf x x , 9 分 令 ( ) 0 ,得6x , 11 分 列表 x (0,6) 6(6,2) () 0 f (x) 遞增 極大值 遞減
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