大學(xué)高數(shù)吉米多維奇

文登學(xué)校2006年數(shù)學(xué)二試題分析、詳解和評(píng)注一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）曲線 的水平漸近線方程為 【分析】 直接利用曲線的水平漸近線的定義求解即可.【詳解】 . 故曲線的水平漸近線方程為 .【評(píng)注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在，為什么？（2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則.【分析】本題為已知分段函數(shù)連續(xù)反求參數(shù)的問題.直接利用函數(shù)的連續(xù)性定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，函數(shù)在 處連續(xù)，則 ，又因?yàn)?.所以 .【評(píng)注】遇到求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性問題，一般從定義入手.本題還考查了積分上限函數(shù)的求導(dǎo)，洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小代換等多個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，屬基本題型.（3）廣義積分.【分析】利用湊微分法和牛頓萊布尼茲公式求解.【詳解】 .【評(píng)注】 本題屬基本題型，對(duì)廣義積分，若奇點(diǎn)在積分域的邊界，則可用牛頓萊布尼茲公式求解，注意取極限.（4） 微分方程的通解是【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】 原方程等價(jià)為，兩邊積分得，整理得.（）【評(píng)注】 本題屬基本題型.（5）設(shè)函數(shù)由方程確定，則 【分析】本題為隱函數(shù)求導(dǎo)，可通過方程兩邊對(duì)求導(dǎo)（注意是的函數(shù)），一階微分形式不變性和隱函數(shù)存在定理求解.【詳解】 方法一：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得.又由原方程知，.代入上式得.方法二：方程兩邊微分，得，代入，得.方法三：令，則，故.【評(píng)注】 本題屬基本題型.求方程確定的隱函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微分時(shí)，不必寫出其導(dǎo)數(shù)或微分的一般式（6）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.【評(píng)注】 本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.類似題2005年考過.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)選(). 【評(píng)注】 對(duì)于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時(shí)，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日定理求解：因?yàn)?，所以單調(diào)增加，即，又，則，即.（8）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù). B 【分析】由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去計(jì)算，然后選擇正確選項(xiàng).【詳解】取.則當(dāng)時(shí)，而，所以為連續(xù)的偶函數(shù)，則選項(xiàng)（）正確，故選（）.【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.（9）設(shè)函數(shù)可微，則等于（A）.（B）（C）（D） C 【分析】題設(shè)條件兩邊對(duì)求導(dǎo),再令即可.【詳解】兩邊對(duì)求導(dǎo),得.上式中令，又，可得，故選（C）.【評(píng)注】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬基本題型. （10）函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是（A）（B）（C）（D） D 【分析】本題考查二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)及非齊次方程的特解與對(duì)應(yīng)齊次微分方程特征根的關(guān)系.故先從所給解分析出對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齊次項(xiàng)形式.【詳解】由所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為 .則對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為 .故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為 .又為原微分方程的一個(gè)特解，而為特征單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)應(yīng)具有形式（為常數(shù)）.所以綜合比較四個(gè)選項(xiàng)，應(yīng)選（D）.【評(píng)注】對(duì)于由常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解反求微分方程的問題，關(guān)鍵是要掌握對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征根和對(duì)應(yīng)特解的關(guān)系以及非齊次方程的特解形式. （11）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . 【分析】 本題考查將坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的累次積分，首先由題設(shè)畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】 由題設(shè)可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（）.【評(píng)注】 本題為基本題型，關(guān)鍵是首先畫出積分區(qū)域的圖形.（12）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因?yàn)椋?，若，則.故選（）. 【評(píng)注】 本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.（13）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). A 【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().【評(píng)注】 對(duì)于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進(jìn)行討論.（14）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）.【評(píng)注】（）每一個(gè)初等變換都對(duì)應(yīng)一個(gè)初等矩陣，并且對(duì)矩陣施行一個(gè)初等行（列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.（）牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.三 、解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小.【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于的多項(xiàng)式，要聯(lián)想到的泰勒級(jí)數(shù)展開式，比較的同次項(xiàng)系數(shù)，可得的值.【詳解】將的泰勒級(jí)數(shù)展開式代入題設(shè)等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .【評(píng)注】題設(shè)條件中含有高階無窮小形式的條件時(shí)，要想到用麥克勞林公式或泰勒公式求解.要熟練掌握常用函數(shù)的泰勒公式.（16）（本題滿分10分）求 .【分析】題設(shè)積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法.【詳解】.令，則，所以 .【評(píng)注】被積函數(shù)中為兩種不同類型函數(shù)乘積且無法用湊微分法求解時(shí)，要想到用分部積分法計(jì)算；對(duì)含根式的積分，要想到分式有理化及根式代換.（17）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域， 計(jì)算二重積分 【分析】 由于積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故可先利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡化所求積分，又積分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，則將其化為極坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】 積分區(qū)域如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. 【評(píng)注】只要見到積分區(qū)域具有對(duì)稱性的二重積分計(jì)算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計(jì)算.（18）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. （）的計(jì)算需利用（）的結(jié)果.【詳解】 （）因?yàn)?，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.【評(píng)注】 對(duì)于有遞推關(guān)系的數(shù)列極限的證明問題，一般利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則來證明.（19）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時(shí)，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.【評(píng)注】 本題也可用拉格朗日中值定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明.證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項(xiàng)，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導(dǎo)驗(yàn)證的增減性，并求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（或極限值），作比較即得所證. 本題也可用拉格朗日中值定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明.（20）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（I）驗(yàn)證；（II）若，求函數(shù)的表達(dá)式. 【分析】 利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法求出代入即可得（I）.按常規(guī)方法解（II）即可.【詳解】 （I） 設(shè)，則.，.將代入得.（II） 令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.【評(píng)注】 本題為基礎(chǔ)題型，著重考查多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可降階方程的求解.（21）（本題滿分12分）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點(diǎn)引L的切線，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.【分析】 （I）利用曲線凹凸的定義來判定；（II）先寫出切線方程，然后利用 在切線上 ； （III）利用定積分計(jì)算平面圖形的面積. 【詳解】 （I）因?yàn)?故曲線L當(dāng)時(shí)是凸的.（II）由（I）知，切線方程為，設(shè)，則，即整理得 .將代入?yún)?shù)方程，得切點(diǎn)為（2，3），故切線方程為，即.（III）由題設(shè)可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)的方程，則由參數(shù)方程可得，即.由于（2，3）在L上，則.于是. 【評(píng)注】 本題為基本題型，第3問求平面圖形的面積時(shí)，要將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.【分析】 （I）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（II）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】 （I） 設(shè)是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，其中 .則有.則是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解，且線性無關(guān).（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個(gè)2階子式，所以.因此.（II） 因?yàn)?又，則 .對(duì)原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解.選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).【評(píng)注】 本題綜合考查矩陣的秩，初等變換，方程組系數(shù)矩陣的秩和基礎(chǔ)解系的關(guān)系以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第一部分比較新穎. 這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會(huì)越來越多.（23）（本題滿分9分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】 ()因?yàn)榫?