【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）利用MATLAB語言進(jìn)行光學(xué)衍射現(xiàn)象的仿真

利用 第 1 頁 共 12 頁 利用 衍射現(xiàn)象的仿真 儲(chǔ)林華 （ 安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院 安徽 安慶 246011） 指導(dǎo)教師：張杰 摘要 ： 光的衍射是光的波動(dòng)性的一種重要表現(xiàn)，因此對(duì)光的衍射現(xiàn)象的研究，不僅具有重要的理論意義，而且在光學(xué)儀器研制和成像分析等諸多實(shí)際應(yīng)用方面均有重要價(jià)值，但是其衍射光強(qiáng)的計(jì)算非常復(fù)雜，對(duì)實(shí)驗(yàn)條件的要求非常高，通常情況下很難得到滿意的效果，嚴(yán)重影響了光學(xué)的教學(xué)。本文從衍射的相關(guān)理論知識(shí)出發(fā)，首先介紹了惠更斯 后重點(diǎn) 討論了單色光經(jīng)各種對(duì)稱光學(xué)衍射元件（單縫，雙縫，光柵，圓孔）的夫瑯和費(fèi)衍射情況，并分別給出了它們?cè)诮蛊矫嫔系难苌涔鈴?qiáng)計(jì)算公式，最后利用科學(xué)計(jì)算軟件 得到的圖樣細(xì)致逼真，使整個(gè)物理過程變得直觀形象，且與實(shí)驗(yàn)所得到的衍射圖樣進(jìn)行了比較，兩者吻合得很好，從而為光學(xué)的理論分析和實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了一種新的途徑。 關(guān)鍵詞 ： 光的衍射，光柵衍射，圓孔衍射， 算機(jī)仿真 0 引言 光的衍射現(xiàn)象是光具有波動(dòng)性的重要特征，因此對(duì)衍射現(xiàn)象的研究無論在理論上還是在實(shí)踐中都有很重要的 意義。對(duì)光的衍射現(xiàn)象的研究，始于 17 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)著名的荷蘭科學(xué)家惠更斯提出了光是一種波的假說，并根據(jù)波動(dòng)理論提出了光的傳播理論 即惠更斯原理 1，根據(jù)這一原理，他解釋了光的反射定律和折射定律，給出了折射率的意義，光在兩種介質(zhì)中的速度比。到了 19世紀(jì)，法國年輕的科學(xué)家菲涅耳，根據(jù)疊加原理把惠更斯原理進(jìn)一步具體化，給出了光在傳播過程中光強(qiáng)學(xué)計(jì)算公式，這就是著名的惠更斯 2。但由于在實(shí)際應(yīng)用過程中，障礙物形狀的不規(guī)則性，導(dǎo)致光強(qiáng)的計(jì)算公式幾乎無解析解，只能進(jìn)行一些數(shù)值計(jì)算。 針對(duì)衍射計(jì)算中出現(xiàn)的困 難，近代的研究人員想到運(yùn)用科學(xué)的計(jì)算軟件 用其較強(qiáng)的繪圖和圖象功能，編寫計(jì)算程序，使得多種衍射元件（單縫，雙縫，光柵，矩孔，圓孔）下的衍射現(xiàn)象得以在計(jì)算機(jī)中形象地被模擬仿真。這種做法，條件限制較少，對(duì)于衍射的實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種的補(bǔ)充，起到了很不錯(cuò)的效果；但值得指出的是，許多前人撰寫的論文，總是在系統(tǒng)化，可視化，條理化方面不夠理想，本文將在他們工作的基礎(chǔ)上，將此課題進(jìn)一步做得完美。 1惠更斯 菲涅耳原理 早在十七世紀(jì)后期，荷蘭科學(xué)家惠更斯就提出了光是一種波動(dòng)的假說，并闡述了關(guān)于波面?zhèn)鞑サ囊环N理論 ，既惠更斯原理。該原理認(rèn)為，傳播中的波面上任何一點(diǎn)都可以認(rèn)為是一個(gè)新的次波源，由于這些次波源發(fā)出的次波是球面波，這些次波的公共包絡(luò)面就是下一時(shí)刻的波面，根據(jù)這一原理，他解釋了光的反射定律和折射定律，并給出了折射率的意義，光在兩種介質(zhì)中的速度比。 利用 第 2 頁 共 12 頁 菲涅耳根據(jù)疊加原理把惠更斯原理進(jìn)一步具體化了，他假設(shè)各次波是球面波，但這些球面只是等相面而不是等幅面，球面上各點(diǎn)振幅與傳播方向有關(guān)，這就避免了次波的后向的傳播；同時(shí)，他認(rèn)為，下一時(shí)刻空間任一點(diǎn)的振動(dòng)由各次波到達(dá)該點(diǎn)的振動(dòng)疊加所決定，此定理稱為惠更斯 菲涅耳定理。如右圖（ 1）所示。菲涅耳假設(shè)： 點(diǎn)貢獻(xiàn) dU(p)正比于 Q 點(diǎn)附近一個(gè)小面元的面積 正比于 Q 點(diǎn)的復(fù)振幅 U(Q)，正比于 r (假定次波是球面波 )，以及正比于一個(gè)與傳播方向有關(guān)的函數(shù) f()(是 點(diǎn)的傳播方向上的夾角 )，即 ： ( ) ( )() j k f ed u p c d 其中 C 是一個(gè)與 r， Q， 無關(guān)的比例系數(shù)， f( )叫傾斜因子，它隨 增加而緩慢減少于是，按照疊加原理，有： ( ) ( )( ) ( ) j k fu p d u p c e d （ 1） 這就是惠更斯 菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，積分表示整個(gè)波面 S 上各點(diǎn)所發(fā)的次波傳播到 P 點(diǎn)的作用的疊加 。 從上面的表述，我們可以看到菲涅耳的思想比惠更斯有了更大的進(jìn)步，他著眼于下一時(shí)刻空間各點(diǎn)的振動(dòng)情況，而惠更斯只著眼于下一時(shí)刻波面的形狀與位置，因此惠更斯只能定性地描述光的傳播方向，而菲涅耳卻能定量地描述衍射后的光強(qiáng)分布。 2. 夫朗禾費(fèi)衍射現(xiàn)象研究 光的衍射現(xiàn)象根據(jù)光源到衍射屏以及觀察屏的距離遠(yuǎn)近，可以分為近場(chǎng)衍射和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射。如果光源到衍射屏以及觀察屏的距離為有限值，則稱為近場(chǎng)衍射（菲涅耳衍射）；如果光源到衍射屏以及觀察屏的距離為無窮遠(yuǎn)，則稱遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，由于這種衍射最先由夫朗禾費(fèi)在探索天體成像時(shí)作了系統(tǒng)的研究，故亦稱為夫朗禾費(fèi)衍射。一般情況下，利用（ 1）式進(jìn)行光強(qiáng)計(jì)算時(shí)，菲涅耳衍射情況比較復(fù)雜，而夫朗禾費(fèi)衍射情況比較簡(jiǎn)單 ,本文僅討論后者 。 孔的夫朗禾費(fèi)衍射 在 面上，有一以 O 為圓心、 圖 2所示。 現(xiàn)用一束平行于 Z 軸的光線照射 ,經(jīng)圓孔衍射后到達(dá)焦平面上，于是按照（ 1）式， ( ) ( )() Qj k fu p c e d 圓 孔200( ) ( ) QR j k fc e d 圖 1 波面上各點(diǎn)復(fù)振幅的傳播 圖 2 圓孔衍射示意圖 (a) (b) 利用 第 3 頁 共 12 頁 設(shè)從圓心 點(diǎn)的距離為 從圓孔中任一點(diǎn) 點(diǎn)的距離 00s i n c o s s i r o o r 于是 ,由于程差0 比0與波長(zhǎng) 可以比擬，因此，可以把振幅中的 ： 02 ()00() QR j k r ru p c e d d （ 2） 其中：00( ) ( ) jk fc c 為常數(shù)，將 2）式中得： 2 c o s s i n 21002 ( )() R xu p c e d d c 其中：12 s ，由此，可知 22 2 2 4 12 ( )( ) ( ) p u p c （ 3） 根據(jù) (3)式可以畫出焦平面的光強(qiáng)分布圖樣，如下圖 (3)所示： (a) (b) 圖 3 圓孔衍射圖樣 其中，圖（ b）是 夫 朗 禾 費(fèi) 衍 射 圖樣的照片。顯然，這是一個(gè)圓對(duì)稱圖形，中心為主極大，在 0 0 0 ,x I I R ， ，其他各點(diǎn)的光強(qiáng)可通過 R 來表示，由圖 (2)可知： s i 當(dāng) ： 00 . 6 1 1 . 2 2 , 0 ,fR x I 時(shí) ，為第一暗環(huán)； 利用 第 4 頁 共 12 頁 0 . 8 1 8 0 . 0 1 7 5 , 0時(shí) ， x = 1 . 6 3 5 , I 01 . 1 1 6 2 . 2 3 3 , 0 ,fR x I 時(shí) ，為第二暗環(huán)； 01 . 6 1 9 3 . 2 3 8 , 0fR x I 時(shí) ， 為第三暗環(huán)。 這就是夫朗禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)分布，它的中心永遠(yuǎn)是亮的，并且在中心亮斑處的光能占總光能的約 84%，中心亮斑的半徑也是確定的，為 或角半徑為 。 縫的夫朗禾費(fèi)衍射 圖 4 單縫夫朗禾費(fèi)衍射示意圖 設(shè)波長(zhǎng)為 的平面波射向縫寬 AB=射經(jīng)透鏡 上，取 )所示，根據(jù)惠 菲原理，在焦平面上任一點(diǎn) ( ) ( )() j k fu p c e d 狹 縫把狹縫細(xì)分為垂直于 X 軸的許多小面元，面積為 L 是縫的長(zhǎng)度，由于是平面波入射，故 U（ Q）為常數(shù)，在角度不大的情況下，0( ) 1 , s i nf r r x ，由于0，故在振幅中的 有相位因子中的0 s i nr r x 不可略去，故： 0 2 s i ( ) ( ) bj k r j k p c L u Q e d 把積分求出，得： s i n s i n 22 2( ) ( ) s i n ( s i n )s i n s i n 2k j k p e e k 令： s i n s i 則： s i n()u p c b 2 2 2 2 2 20( ) ( ) s i n s i nI u p u p c b I (4) 其中，0 時(shí)的光強(qiáng)，即：衍射斑中心點(diǎn)的光強(qiáng)， 的物理意義是狹縫的邊緣與中心的光利用 第 5 頁 共 12 頁 線在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的相位差，以 或 作橫坐標(biāo)，以0 (4)式作圖可得夫朗禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)分布，如下圖所示： （ a）單縫衍射的光強(qiáng)分布 - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 2000 . 20 . 40 . 60 . 81(b)單縫衍射圖樣 圖 5 單縫衍射光強(qiáng)分布及圖樣 計(jì)算表明，在 之間的主極大集中了 90%的能量，主極大的半角寬為 s in b ，把狹縫改為矩孔，即在 x， 光強(qiáng)表達(dá)式為： 2 2 2 20 s i n s i 其中， 是在 對(duì)應(yīng)的量，矩孔衍射圖樣如圖 (6)所示 ， 利用 第 6 頁 共 12 頁 圖 6 矩孔衍射圖樣 雙縫的夫朗禾費(fèi)衍射 以上考慮的是一個(gè)縫的衍射，如果有兩個(gè)相鄰的縫，由于衍射，通過兩個(gè)縫的光在觀察屏上會(huì)相遇。試驗(yàn)結(jié)果告訴我們，在兩條縫的衍射光相互交疊的區(qū)域，不是簡(jiǎn)單的呈現(xiàn)光強(qiáng)的疊加，而是出現(xiàn)了由光強(qiáng)重新分布而產(chǎn)生的明暗相間的條紋， 稱為光的干涉。 顯然，光的干涉與光的衍射一樣，都是波的疊加原理所必然導(dǎo)致的結(jié)果。 現(xiàn)在，我們?nèi)匀挥没?菲原理來分析兩條縫所產(chǎn)生的夫朗禾費(fèi)衍射的結(jié)果，如圖 (7)所示： 圖 7 雙縫衍射示意圖 如圖 (7)，衍射屏上 A， B 處各有一條寬為 b 的縫，縫間距為 d， 由于透鏡的作用，這兩條縫的衍射光在焦平面 它們的相位分布不同，把坐標(biāo)原點(diǎn)分別放在 A 與 ，由式： 2 s i b jk p c e d x 可得： 2 ( ) s i n22() Ab dj k p c e d x 2 ( ) s i n 22() Bb dj k p c e d x 令： 為單縫中心與雙縫中心的光在 ： 利用 第 7 頁 共 12 頁 2 s i ) ( ) ( ) ( )b j k x j r j p u p u P C e d x e e = s i n ( )jr b e e 于是，總光強(qiáng)為： 220( ) ( ) s i n ( ) ( )j r j r j r j rI u p u p I e e e e = 2 2 204 s i n c o （ 5） 這就是夫朗禾費(fèi)雙縫衍射的光強(qiáng)分布的表達(dá)式，設(shè) d=5b， 即： r=5 ，將式 (5)作圖，可得下圖所示的光強(qiáng)分布圖樣： - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 2001234圖 8 雙縫衍射光強(qiáng)分布圖樣 顯然，這是由 22 與 24r 相乘而得的圖樣，在有雙縫時(shí)，原來的單縫衍射圖形不是平均地增加到原來的兩倍，而是在 時(shí)，增加到原來的四倍，在 s i n ( 2 1 ) / 2 處，降為零。 多縫夫朗禾費(fèi)衍射 上面關(guān)于雙縫衍射的討論，可以進(jìn)一步推廣到更多的縫，如圖 (9)，有 N 條等間距的縫，縫寬均為d， 則相鄰縫的對(duì)應(yīng)程差為 ，相位差為： 2 s d ，由 (4)式知： 20 0 0( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )j r j r j r j r ju p u p e e u p e e u p e 利用 第 8 頁 共 12 頁 圖 9 多縫夫朗禾費(fèi)衍射示意圖 如果把坐標(biāo)原點(diǎn)放在第一個(gè)縫的中心，則0()p ()0 ()p e 則是另一個(gè)縫的衍射振幅，根據(jù)這個(gè)思想，立即可以把上式推廣到多縫： 12( ) ( ) ( ) ( ) u p u p u p = 2 ( 1 )1 ( ) (1 )j j N ju p e e e =11()1 e 于是，光強(qiáng)分布為： 11(1 ) (1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) (1 )j N j N u p u p u p u = 2 2 2 20 s i n s i n ( / 2 ) s i n ( / 2 ) （ 6） 設(shè) d=5b， N=4， 按 (5)式畫出光強(qiáng)分布如下圖所示： 圖 10 多縫衍射光強(qiáng)分布圖 進(jìn)而若 N=100，則可得到的衍射圖樣為： 利用 第 9 頁 共 12 頁 - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 200200040006000800010000圖 11 光柵衍射圖樣 分析：多縫衍射與雙縫衍射都是單縫衍射的結(jié)果。它們的區(qū)別在于多縫是干涉的結(jié)果，使極大值變細(xì)，峰值變高；而在兩個(gè)極大值之間出現(xiàn) (N 1)個(gè)光強(qiáng)為零的 值和 (N 2)個(gè)次峰。當(dāng) 主極大變得十分尖銳，可以用來計(jì)量和分光，這種 N 很大的能產(chǎn)生多縫衍射的光學(xué)元件稱為光柵， 3 利用 這里使用的軟件 它是一個(gè)功能十 分強(qiáng)大的應(yīng)用軟件，可以在很多學(xué)科中得到應(yīng)用，它集數(shù)值計(jì)算，符號(hào)計(jì)算，數(shù)據(jù)可視化，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真于一體，與其他計(jì)算機(jī)語言相比它更加靈活，更加接近科技人員的思維方式，因而編程效率更高。 真方法 下面我們應(yīng)用 真模擬光的夫朗禾費(fèi)衍射（各種衍射屏）圖樣和強(qiáng)度分布曲線。仿真模擬首先是根據(jù)光的衍射光強(qiáng)分布的理論公式 I(x， y)及實(shí)驗(yàn)參數(shù)建立光強(qiáng)數(shù)據(jù)矩陣 B(x， y)，然后運(yùn)用 用 圓孔衍 射的程序 % 圓孔衍射 % r,f,r= f=600; 00; x= 0; y=0; x1,x,y); 2+2)./f); 利用 第 10 頁 共 12 頁 x=1000000*(2*pi*r/*0)* I=(2*,x)./x). 2; ,1,1); x1,); 0 0 0 1) 2,1,2); I*255) 圓孔衍射圖樣照片見圖 3（ b）所示。 光柵衍射程序 % 光柵衍射 % b， d， f， N) b=d=f=600; 00; N=1/2/100; x=0; x./f); 000000*(pi*b/*0)* (d/b); I=().2).*(.*(.2); ,1,1); x,I); , 1 ,2); 0) *255); 行后得到 的圖樣分別見圖 5（ b），圖 8，圖 11 所示。 矩孔衍射的程序 % 矩孔衍射 % a,b,f,a=b=f=600; 00; x= 0; y= 0; X,Y=x,y); X./f); ./f); 000000*(pi*b/*0)* 000000*(p