平面向量的所有公式

精品文檔 1歡迎下載 平面向量的所有公式平面向量的所有公式 設(shè) a x y b x y 1 1 向量的加法 向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則 AB BC AC a b x x y y a 0 0 a a 向量加法的運(yùn)算律 交換律 a b b a 結(jié)合律 a b c a b c 2 2 向量的減法 向量的減法 如果 a b 是互為相反的向量 那么 a b b a a b 0 0 的反向量為 0 AB AC CB 即 共同起點(diǎn) 指向被減 a x y b x y 則 a b x x y y 3 3 數(shù)乘向量 數(shù)乘向量 實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量 記作 a 且 a a 當(dāng) 0 時(shí) a 與 a 同方向 當(dāng) 0 時(shí) a 與 a 反方向 當(dāng) 0 時(shí) a 0 方向任意 當(dāng) a 0 時(shí) 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 都有 a 0 注 按定義知 如果 a 0 那么 0 或 a 0 實(shí)數(shù) 叫做向量 a 的系數(shù) 乘數(shù)向量 a 的幾何意義就是將表示向量 a 的有向線段伸長(zhǎng)或 壓縮 當(dāng) 1 時(shí) 表示向量 a 的有向線段在原方向 0 或反方向 0 上伸長(zhǎng)為原 來的 倍 當(dāng) 1 時(shí) 表示向量 a 的有向線段在原方向 0 或反方向 0 上縮短為原 來的 倍 數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律 結(jié)合律 a b a b a b 向量對(duì)于數(shù)的分配律 第一分配律 a a a 數(shù)對(duì)于向量的分配律 第二分配律 a b a b 數(shù)乘向量的消去律 如果實(shí)數(shù) 0 且 a b 那么 a b 如果 a 0 且 a a 那么 4 4 向量的的數(shù)量積 向量的的數(shù)量積 定義 已知兩個(gè)非零向量 a b 作 OA a OB b 則角 AOB 稱作向量 a 和向量 b 的夾角 記作 a b 并規(guī)定 0 a b 定義 兩個(gè)向量的數(shù)量積 內(nèi)積 點(diǎn)積 是一個(gè)數(shù)量 記作 a b 若 a b 不共線 則 a b a b cos a b 若 a b 共線 則 a b a b 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 a b x x y y 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 a b b a 交換律 a b a b 關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律 a b c a c b c 分配律 精品文檔 2歡迎下載 向量的數(shù)量積的性質(zhì) a a a 的平方 a b a b 0 a b a b 向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn) 1 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 即 a b c a b c 例如 a b 2 a 2 b 2 2 向量的數(shù)量積不滿足消去律 即 由 a b a c a 0 推不出 b c 3 a b a b 4 由 a b 推不出 a b 或 a b 5 5 向量的向量積 向量的向量積 定義 兩個(gè)向量 a 和 b 的向量積 外積 叉積 是一個(gè)向量 記作 a b 若 a b 不共線 則 a b 的模是 a b a b sin a b a b 的方向是 垂直于 a 和 b 且 a b 和 a b 按這個(gè)次序構(gòu)成右手系 若 a b 共線 則 a b 0 向量的向量積性質(zhì) a b 是以 a 和 b 為邊的平行四邊形面積 a a 0 a b a b 0 向量的向量積運(yùn)算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 注 向量沒有除法 向量 AB 向量 CD 是沒有意義的 6 6 向量的三角形不等式 向量的三角形不等式 1 a b a b a b 當(dāng)且僅當(dāng) a b 反向時(shí) 左邊取等號(hào) 當(dāng)且僅當(dāng) a b 同向時(shí) 右邊取等號(hào) 2 a b a b a b 當(dāng)且僅當(dāng) a b 同向時(shí) 左邊取等號(hào) 當(dāng)且僅當(dāng) a b 反向時(shí) 右邊取等號(hào) 7 7 定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)公式 向量 P1P 向量 PP2 設(shè) P1 P2 是直線上的兩點(diǎn) P 是 l 上不同于 P1 P2 的任意一點(diǎn) 則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 向量 P1P 向量 PP2 叫做點(diǎn) P 分有向線段 P1P2 所成的比 若 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x y 則有 OP OP1 OP2 1 定比分點(diǎn)向量公式 x x1 x2 1 精品文檔 3歡迎下載 y y1 y2 1 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式 我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2 的定比分點(diǎn)公式 8 8 三點(diǎn)共線定理 三點(diǎn)共線定理 若 OC OA OB 且 1 則 A B C 三點(diǎn)共線 9 9 三角形重心判斷式 三角形重心判斷式 在 ABC 中 若 GA GB GC O 則 G 為 ABC 的重心 1010 向量共線的重要條件 向量共線的重要條件 若 b 0 則 a b 的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù) 使 a b a b 的重要條件是 xy x y 0 零向量 0 平行于任何向量 1111 向量垂直的充要條件 向量垂直的充要條件 a b 的充要條件是 a b 0 a b 的充要