高三數(shù)學(xué)文科函數(shù)y=fx對稱性與周期性關(guān)系例題解析人教

高三數(shù)學(xué)文科函數(shù)y = f (x)對稱性與周期性關(guān)系例題解析一. 本周教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)對稱性與周期性關(guān)系【典型例題】1. 定義在R上的函數(shù)，若總有成立，則函數(shù)的圖象是關(guān)于直線成軸對稱圖形。反之，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，則必有推論，對于定義在R上的函數(shù)，若有，則圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，反之亦真。證明：若對，總有，設(shè)點(diǎn)，在的圖象上，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，由，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由的任意性知的圖象關(guān)于直線對稱，反之證明略。推論，由顯然例1 已知，滿足且，當(dāng)時(shí)，比較與的大小。解：由知關(guān)于對稱，故，又由知，則在遞減，在上遞增。當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)， ，即例2 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式為 。解：依條件，設(shè)，則，故例3 若的圖象關(guān)于直線對稱，則 。A. B. C. D. 解：由得即 例4 設(shè)對任意，滿足且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則此六個(gè)實(shí)根之和為 。A. 18B. 12C. 9D. 0解：依條件知圖象關(guān)于直線對稱，方程六個(gè)根必分布在對稱軸兩側(cè)，且兩兩對應(yīng)以（3，0）點(diǎn)為對稱中心，故，所以，選A。例5 設(shè)滿足（1），（2）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，定義域，則下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 解：由條件知圖象關(guān)于直線成軸對稱，又及時(shí)遞增 ，故選C2. 對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于兩條直線與對稱，則為R上的周期函數(shù)。（2）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于直線與點(diǎn)對稱，則為R上的周期函數(shù)。證：（1）因圖象關(guān)于及對稱，則，故得證（2）由圖象關(guān)于對稱，有 又由圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，有， ，即以代有 由和 以代有又由式 得證特別地，圖象關(guān)于直線對稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)推論，定義在R上的函數(shù)滿足（1）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。證：（1）（2） 例1 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，求時(shí)，的解析式。解：由（1）（2）知，對任則，例2 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)解析式，求上的解析式。解：設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則又為偶函數(shù)，知從而另法：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例3 函數(shù)定義在R上，且對一切滿足，設(shè)，問方程在區(qū)間中至少有幾個(gè)實(shí)根。解：依條件為函數(shù)的周期，均為的根，因此在區(qū)間上至少有二個(gè)根 由周期性可知也為的根所以方程在區(qū)間中至少有例4 若偶函數(shù)，滿足（1）圖象關(guān)于直線對稱，（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，求證以為最小正周期。證：依條件知為函數(shù)的周期，假設(shè)函數(shù)還存在比更小的周期2，且令，則（1）若，則與在上是減函數(shù)矛盾（2）若，即時(shí)，與在上是減函數(shù)矛盾，所以是的最小正周期。例5 已知是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，又知（1）（是常數(shù)）；（2）試求的值。分析：條件（2）即，即關(guān)于點(diǎn)對稱又由是偶函數(shù)，故是以為周期的周期函數(shù)解：由條件（2）知，令，則，故，即為以4為周期的周期函數(shù)，又由，所以一. 選擇題（每小題5分，共50分）1. 函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的定義域?yàn)锽，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 2. 函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3. 已知，且，則滿足（ ）A. B. C. D. 4. 定義在R上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，給出下列不等式：（1）（2）（3）（4）其中正確的不等式序號是（ ）A. （1）（2）（4）B. （1）（4）C. （2）（4）D. （1）（3）5. 偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 不能確定6. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足有，且，若，則（ ）A. 2B. 4C. D. 7. 已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，則（ ）A. 0.5B. 1C. 1.5D. 9. 函數(shù)是（0，2）上的增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. D. 10. 設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 二. 填空題（每小題4分，共24分）11. 定義在R上的函數(shù)滿足，則 。12. 已知函數(shù)，則 。13. 設(shè)，且，那么函數(shù)的最大值是 。14. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，它們的定義域都為，當(dāng)時(shí)，它們的圖象如下圖，則不等式的解集為 。15. 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。16. 設(shè)函數(shù)，給出下列命題：（1）時(shí)，為奇函數(shù)（2），時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根（3）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱（4）方程至多兩個(gè)實(shí)數(shù)根上述四個(gè)命題中所有正確的命題序號為 。三. 解答題（共76分）17. 已知集合，集合，其中，設(shè)全集，求實(shí)數(shù)的取值范圍。18. 求函數(shù)的值域。（滿分12分）19. 已知兩個(gè)函數(shù)，（1）若都有成立，求的取值范圍；（2）若都有成立，求的取值范圍。（滿分12分）20. 已知奇函數(shù)（1）確定的值，并證明在R上為增函數(shù)；（2）若方程在上有解，證明。（滿分12分）21. 已知函數(shù)滿足，其中，且。（1）對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求的取值范圍。（滿分14分）參考答案一. 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D二. 11. 7 12. 13. 0 14. 15. 16. 三.17. 解：A： B： 設(shè)，則 ，若，則， 若，則在上 綜上所述：18. 解： 定義域：R設(shè)，則且 （） 函數(shù)在上 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的值域?yàn)?9. 解： 令得， 3 + 0 0 + 極大值 極小值 111在上，在上（1） 都有成立 （2） 都有成立 ，即 20. 解：（1） 為R上的奇函數(shù) 設(shè) 在R上且，在上 在R上（2） 在