數(shù)形結(jié)合也有簡繁之分.doc

數(shù)形結(jié)合也有簡繁之分文章來源：現(xiàn)代教育報(bào)思維訓(xùn)練 作者：謝生苗 點(diǎn)擊數(shù)：746 更新時(shí)間：2007-3-1 8:22:06 華羅庚先生的“數(shù)形結(jié)合百般好”的思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中已深入人心，但如何結(jié)合才能更好或最好地探究，還沒有引起我們足夠的重視，以致對(duì)許多數(shù)形結(jié)合問題的解決還缺少反思與優(yōu)化. 數(shù)形結(jié)合的核心與靈魂是“結(jié)合”.解題時(shí)，由于觀察與聯(lián)想的視角不同，會(huì)出現(xiàn)不同的“結(jié)合”，“結(jié)合”得好就得到好的解題方法，“結(jié)合”得不好就使解題過程繁瑣且易出錯(cuò)，“結(jié)合”的優(yōu)劣反映出了我們的基礎(chǔ)與能力，也反映出我們思維靈活性與創(chuàng)造性的水平，“結(jié)合”的優(yōu)化選擇，應(yīng)是數(shù)形結(jié)合法研究的重要一環(huán).為便于說明，我們先看幾例：【例1】已知方程mx=x+m有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 視角一：視方程mx=x+m兩邊的代數(shù)式為兩個(gè)函數(shù)，分別畫出函數(shù)y=mx，y=x+m的圖象（如圖1），由于兩個(gè)函數(shù)中都含有m，故需進(jìn)一步對(duì)m進(jìn)行分類討論，情況復(fù)雜.圖1僅表示m0時(shí)的示意圖. 視角二：由m0，先將原方程變形，得x-1=x，再視方程x-1=x兩邊的代數(shù)式為兩個(gè)函數(shù)，分別畫出函數(shù)y=x-1，y=x的圖象（如圖2），由圖易看出： 當(dāng)01或-10，即m1時(shí)，圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 視角三：用分離參數(shù)法，先將原方程化為=m. 分別作出函數(shù)y=，y=m的圖象（如圖3），由圖易看出，當(dāng)m1時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 視角四：用分離參數(shù)法，先將原方程化為. 當(dāng)x0時(shí)，得1-=，當(dāng)x0時(shí)，得-1-=. 分別作出函數(shù)y=，y=的圖象（如圖4），由圖易看出，當(dāng)01或-11或m-1時(shí)，兩函 數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 可見，例1的各解雖同是數(shù)形結(jié)合，但大有簡繁之分，視角二優(yōu)于視角一，視角一中兩函數(shù)中的都含有m，因而他們的圖象也是變化的，雖可以通過討論而獲得結(jié)論，但討論時(shí)容易因考慮不周而產(chǎn)生漏解，視角三雖看圖直觀明了，但圖象不易作出，而視角四既比視角三作圖方便，又比視角二簡單，不用討論，這是因?yàn)橐暯嵌€有一個(gè)函數(shù)中含有m，而視角四中已不含m，所以這里以視角四為最理想.【例2】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx且2f（1）4，1f（-1）2，求f（-2）的取值范圍.這是我們常出錯(cuò)的題，其代數(shù)解法有待定系數(shù)法、特征函數(shù)法、三角代換法等，而眾所周知的數(shù)形結(jié)合法是線性規(guī)劃法. 這類問題可看作一個(gè)條件極值問題，即變量a、b在 2a+b4 1a-b2 這兩個(gè)約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)y=4a-2b的最大（?。┲祮栴}.約束條件2a+b4，1a-b2的解集是非空集，在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域是由直線：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所圍成的封閉圖形（圖5中的陰影部分）. y的大小又可以看作直線b=2a-y在b軸上截距的大小，從圖中易知當(dāng)直線b=2a-y經(jīng)過A（，），C（3，1）時(shí)截距分別為最小f（-2）=5和最大f（-2）=10. 所以5f（-2）10. 其實(shí)還可有如下數(shù)形結(jié)合法： 要求f（-2）的取值范圍，只要確定f（-2）的最大（?。┲?，即找到f（x）的圖象在x=-2時(shí)的最高點(diǎn)F與最低點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，為此只要確定f（x）經(jīng)過E、F時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，由于f（x）=ax2+bx是經(jīng)過原點(diǎn)（c=0）的拋物線系，所以只要再有兩點(diǎn)就可確定，由已知2f（1）4，1f（-1）2，知f（x）在x=1時(shí)的最高點(diǎn)B（1，4），最低點(diǎn)A（1，2），f（x）在x=-1時(shí)的最高點(diǎn)D（-1，2），最低點(diǎn)C（-1，1），（如圖6），由拋物線的圖象特征易知經(jīng)過F點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過O、B、D的圖象C2，經(jīng)過E點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過O、A、C的圖象C1，于是： 將B（1，4），D（-1，2）坐標(biāo)代入f（x）=ax2+bx得 解得a=3，b=1. 故圖象經(jīng)過O、B、D的函數(shù)為C2f（x）=3x2+x，所以 fmax（-2）=10. 將A（1，2），C（-1，1）的坐標(biāo)代入f（x）=ax2+bx得 故圖象經(jīng)過O、A、C的函數(shù)為C1f（x）=x2+x，fmin（-2）=5. 所以5f（-2）10.【例3】正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cAk2.本題的難度較大，用代數(shù)方法一時(shí)是無從下手的.若能數(shù)形結(jié)合，揭示其條件a+A=b+B=c+C=k中隱含的幾何背景聯(lián)想到三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形，則可得如下簡捷的證法. 證明：如圖7， 作邊長為k的正三角形PQR，分別在各邊上取點(diǎn)L、M、N，使得QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c， 如果再觀察a+A=b+B=c+C=k這個(gè)代數(shù)條件，從三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形，聯(lián)想到四數(shù)相等a+A=b+B=c+C=k的幾何圖形是正方形.則又可作邊長k的正方形（圖8）. 由面積關(guān)系知其結(jié)論aB+bC+cAk2顯然成立. 僅舉三例，可見一斑，不但數(shù)形結(jié)合的確好，而且同是數(shù)形結(jié)合，也有不好與好之分，只有把握住“結(jié)合” 這一數(shù)形結(jié)合法的核心，才能把在由數(shù)到形這一變換、操作過程中的圖形選擇的多樣性，變成解題的靈活性和創(chuàng)造性.在實(shí)際學(xué)習(xí)中要結(jié)合具體問題掌握一些常規(guī)的操作策略，例如要畫的若是函數(shù)圖象，那就要設(shè)法讓要畫圖象的函數(shù)盡可能少含參變量，最好不含參變量，如果一定要含有，也要設(shè)法讓它在較低次的函數(shù)（如一次函數(shù)）或在簡單函數(shù)中含有.只有這樣，才能從一個(gè)新的層面上去理解、掌握、運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合法. 在數(shù)形結(jié)合法的學(xué)習(xí)中，我們還應(yīng)進(jìn)一步看到運(yùn)算、證明的簡捷化與嚴(yán)格化是密切相關(guān)的，“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)步都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)展密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的復(fù)雜的