高中數(shù)學(xué) 2.2.1 第2課時(shí) 分析法課件 新人教A版選修23.ppt

第2課時(shí)分析法 分析法1 定義 一般地 從要證明的 逐步尋求使它成立的 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 等 為止 這種證明方法叫做分析法 結(jié)論出發(fā) 充分條件 定理 定義 公理 2 推證過程 證 逆推 執(zhí) 果索因 定理 定義 公理 判斷 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 分析法就是從結(jié)論推向已知 2 分析法的推理過程要比綜合法優(yōu)越 3 分析法的過程是演繹推理 提示 1 錯(cuò)誤 分析法又叫逆推證法 但不是從結(jié)論推向已知 而是尋找使結(jié)論成立的充分條件的過程 2 錯(cuò)誤 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn) 3 正確 因?yàn)榉治龇ǖ拿恳徊蕉际菄?yán)密的邏輯推理 因此得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的 不同于合情推理中的 猜想 答案 1 2 3 知識點(diǎn)撥 1 分析法的特點(diǎn) 1 思維特點(diǎn) 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其推理過程實(shí)際上是逐步尋求結(jié)論成立的充分條件的過程 2 思維過程 由結(jié)果追溯原因 即結(jié)果 原因 3 優(yōu)點(diǎn) 容易探路且探路與表述合一 缺點(diǎn) 表述煩瑣且不習(xí)慣 容易出錯(cuò) 4 在實(shí)際解題時(shí) 常常先以分析法為主尋求解題思路 再用綜合法有條理地表述過程 2 分析法的證題思路分析法的基本思路是 執(zhí)果索因 由求證走向已知 即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需要求證的問題出發(fā) 一步一步探索下去 最后尋找到使結(jié)論成立的一個(gè)明顯成立的條件 或者是可以證明的條件 類型一用分析法證明不等式 典型例題 1 分析法又叫執(zhí)果索因法 若使用分析法證明 設(shè)a b c 且a b c 0 求證 索的因應(yīng)是 a a b 0b a c 0c a b a c 0d a b a c 0 2 2013 大慶高二檢測 已知a b c r 求證 解題探究 1 分析法的推論過程是什么 2 已知a b 0 則與的大小關(guān)系如何 探究提示 1 分析法的推論過程為 q p1 p1 p2 p2 p3 得到一個(gè)明顯成立的條件2 若a b 0 則 解析 1 選c 要證只需證b2 ac0 只需證 2a b a b 0 只需證 a c a b 0 故索的因應(yīng)為c 2 要證只需證 只需證 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 只需證 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 只需證 a b 2 b c 2 c a 2 0 而這是顯然成立的 所以成立 互動(dòng)探究 在題2條件不變的情況下 求證 證明 要證只需證 只需證只需證2 a2 b2 a2 2ab b2只需證a2 2ab b2 0 只需證 a b 2 0 而這是顯然成立的 所以 拓展提升 分析法證明不等式的方法與技巧 變式訓(xùn)練 2013 莆田高二檢測 求證 對于任意的正實(shí)數(shù)a b c 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取等號 證明 對于任意正實(shí)數(shù)a b c 要證成立 只需證即證即證 因?yàn)閷τ谌我庹龑?shí)數(shù)a b c 有 同理所以不等式 成立 且要使 的等號成立必須且且即當(dāng)a b c時(shí)等號成立 類型二用分析法證明立體幾何問題 典型例題 1 對于不重合的直線m l和平面 要證明 需要具備的條件是 a m l m l b m l m l c m l m l d m l l m 2 如圖所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分別是ab pc的中點(diǎn) 求證 mn cd 解題探究 1 面面垂直的判定定理內(nèi)容是什么 2 證明線線垂直的方法一般是哪幾種 探究提示 1 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線 那么這兩個(gè)平面互相垂直 2 在立體幾何中 證明線線垂直的方法一般有三種 1 若直線垂直于平面 則該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線 2 通過構(gòu)造直角三角形證明線線垂直 3 通過等腰三角形的 三線合一 定理證明線線垂直 解析 1 選d a 與兩相互垂直的直線平行的平面的位置關(guān)系不能確定 b 平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面的交線垂直 這兩個(gè)平面的位置關(guān)系也不能確定 c 這兩個(gè)平面平行或重合 d是成立的 故選d 2 取pd的中點(diǎn)為e 連接ne ae 因?yàn)閍m ne ab 且am ne 所以四邊形aenm為平行四邊形 所以mn ae 要證mn cd 只需證ae cd 只需證cd 平面pad 又因?yàn)閜a 平面abcd 所以pa cd 又因?yàn)閏d ad pa ad a 所以cd 平面pad 故mn cd 拓展提升 分析法證明立體幾何問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) 1 主要依據(jù) 立體幾何中直線 平面的位置關(guān)系 定義 判定定理 性質(zhì)定理以及一些推論 2 立體幾何中某些結(jié)論成立的充分條件很多 要結(jié)合題目背景加以認(rèn)真分析 3 分析法證明的模式 若p則q形式 是 要證明q命題為真 只需證命題p1為真 從而有 只需證命題p2為真 從而有 只需證命題p為真 而已知p為真 故q必為真 變式訓(xùn)練 如圖 p是 abc所在平面外的一點(diǎn) 并且pa pb pc兩兩垂直 ph 平面abc于h 求證h是 abc的垂心 解題指南 垂心是三條高線的交點(diǎn) 所以應(yīng)證明ah bc且bh ac即可 證明 連接ah bh 要證h是 abc的垂心 只需證ac hb且bc ah 只需證bc 平面pha ac 平面phb 只需證bc ap且bc ph ac pb且ac ph 只需證ap 平面pbc pb 平面pac 也就是要證ap pb ap pc pb pa pb pc 由條件知pa pb pc兩兩垂直 上式顯然成立 所以結(jié)論成立 即h是 abc的垂心 類型三綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 典型例題 1 已知a b c表示 abc的三邊長 m 0 求證 2 abc的三個(gè)內(nèi)角a b c成等差數(shù)列 a b c分別是a b c所對的邊 求證 a b 1 b c 1 3 a b c 1 解題探究 1 三角形abc的三邊為a b c 它們的邊的不等關(guān)系是什么 2 若三個(gè)角a b c成等差數(shù)列 則角b是多少度 探究提示 1 a b c且b c a且a c b 2 a b c成等差數(shù)列 則a c 2b 所以b 60 解析 1 要證明只需證明即可 所以因?yàn)閍 0 b 0 c 0 m 0 所以 a m b m c m 0 因?yàn)閍 b m c m b a m c m c a m b m abc abm acm am2 abc abm bcm bm2 abc bcm acm cm2 2abm am2 abc bm2 cm2 2abm abc a b c m2 因?yàn)?abc中任意兩邊之和大于第三邊 所以a b c 0 所以 a b c m2 0 所以2abm abc a b c m2 0 所以 2 方法一 分析法 要證 a b 1 b c 1 3 a b c 1 即證即證即證只需證c b c a a b a b b c 只需證c2 a2 ac b2 只需證b2 c2 a2 2ac cos60 只需證b 60 因?yàn)閍 b c成等差數(shù)列 所以b 60 所以 a b 1 b c 1 3 a b c 1 方法二 綜合法 因?yàn)?abc的三個(gè)內(nèi)角a b c成等差數(shù)列 所以b 60 由余弦定理知b2 c2 a2 2cacos60 得c2 a2 ac b2 兩邊同時(shí)加上ab bc得c b c a a b a b b c 兩邊同時(shí)除以 a b b c 得 所以即所以 a b 1 b c 1 3 a b c 1 拓展提升 1 分析法與綜合法的關(guān)系分析法與綜合法的關(guān)系可表示為下圖 從圖中可以看出 逆向書寫分析過程 同樣可以完成證明 這就是綜合法 由此使我們想到 用分析法探路 用綜合法書寫 也是一種很好的思維方式 2 分析綜合法分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法 分析法是倒溯 綜合法是順推 因此常將二者交互使用 互補(bǔ)優(yōu)缺點(diǎn) 從而形成分析綜合法 其證明模式可用框圖表示如下 其中p表示已知條件 定義 定理 公理等 q表示可證明的結(jié)論 變式訓(xùn)練 已知 a 0 b 0且a b 1 證明 解題指南 利用基本不等式 綜合利用分析法和綜合法證明 證明 欲證因?yàn)?所以只需證明4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 即證明4 ab 2 4 a b 2 2ab 25ab 4 0 即4 ab 2 33ab 8 0 即證ab 或ab 8 因?yàn)閍 0 b 0 a b 1 所以ab 8不可能成立 而1 a b 所以ab 所以原不等式成立 規(guī)范解答 用分析法證明不等式 典例 條件分析 規(guī)范解答 要證log n 1 n 2 0 lg n 1 0 所以只需證lg n 2 lgn lg2 n 1 4分又因?yàn)?所以只需證 6分因?yàn)閘gn 0 lg n 1 0 lg n 2 0 所以只需證即證lg n 2 lgn 2lg n 1 即證lg n 2 lgn lg n 1 2 8分 只需證lg n 2 n lg n 1 2 即證 n 2 n n 1 2 10分即證n2 2n n2 2n 1 也就是證0 1 上式顯然成立 故log n 1 n 2 logn n 1 成立 12分 失分警示 防范措施 1 牢記基本不等式基本不等式及不等式性質(zhì) 在證明不等式時(shí)經(jīng)常用到 要熟練掌握 如本例 處用基本不等式 將積轉(zhuǎn)化為和 為不等式證明奠定基礎(chǔ) 2 注意步驟的規(guī)范性和完整性解題時(shí)步驟要完整 規(guī)范 注意步與步之間的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性 減少失分 如本例若漏 處的任一地方 步驟就不完整 會(huì)導(dǎo)致失分 類題試解 若 10 因?yàn)?1 x 1 1 y 1 所以x2 1 y2 1 從而 式顯然成立 所以 1 分析法是從要證的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使結(jié)論成立的 a 充分條件b 必要條件c 充要條件d 等價(jià)條件 解析 選a 由分析法的定義可知 應(yīng)選a 2 欲證只需證明 a b c d 解析 選c 由分析法知欲證只需證即證 3 要證明 a 0 可選擇的方法有多種 其中最合理的是 a 綜合法b 類比法c 分析法d 歸納法 解析 選c 直接證明很難入手 由分析法的特點(diǎn)知用分析法最合理 4 函數(shù)f x ax b在 上是減函數(shù) 則a的取值范圍是 解析 要使f x ax b在r上是減函數(shù) 只需f x 0在