2.萬(wàn)有引力定律

3.2 萬(wàn)有引力定律一、太陽(yáng)與行星間的引力1、引入：開(kāi)普勒第一、第二定律的提出是在1609年；第三定律又用了十年的時(shí)間才發(fā)現(xiàn)的，提出是在1619年。上學(xué)期學(xué)過(guò)牛頓三定律，是牛頓在1687年發(fā)表在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書中。牛頓說(shuō)：慣性系中，物體不受力或者受到的合力為0，物體將保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)。地球圍繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)上章的知識(shí)，我們可以想到：太陽(yáng)與地球之間一定有什么力，提供了地球圍繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。那么，這種力的形式是什么呢？就是我們今天研究的問(wèn)題。2、太陽(yáng)對(duì)地球的引力：太陽(yáng)對(duì)地球的引力用字母表示，它提供了地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以。這里出現(xiàn)了周期的平方。利用開(kāi)普勒第三定律將周期代入，可得，其中k是一個(gè)與地球無(wú)關(guān)，只與太陽(yáng)有關(guān)的常數(shù)。因此，可知太陽(yáng)對(duì)地球的引力。3、地球?qū)μ?yáng)的引力：在太陽(yáng)與地球之間的引力問(wèn)題上，太陽(yáng)與地球的地位完全對(duì)等，比如站在太陽(yáng)上看，地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)；站在地球上看，太陽(yáng)圍繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，在它們之間的作用力表達(dá)形式上，各自質(zhì)量的地位也應(yīng)對(duì)等。根據(jù)前面的推導(dǎo)，有，依據(jù)對(duì)稱性，可以得到：。4、太陽(yáng)與地球之間的引力：依據(jù)牛頓第三定律，。那么應(yīng)該正比于什么呢？可以猜到。這里有個(gè)難點(diǎn)，為什么不是正比于，而是正比于呢？比如有一個(gè)函數(shù)記為。從某一個(gè)方面，發(fā)現(xiàn)，括號(hào)中是與x、y無(wú)關(guān)的其它變量。從另一個(gè)方面，發(fā)現(xiàn)，括號(hào)中是與x、z無(wú)關(guān)的其它變量。那么還是呢？可以這樣看，式子的括號(hào)中一定包含一個(gè)z，但是不包含x了；式子的括號(hào)中一定包含一個(gè)y，但是不包含x；將兩個(gè)式子乘起來(lái)，得到，其中括號(hào)內(nèi)是與x、y、z都無(wú)關(guān)的變量。這時(shí)就能發(fā)現(xiàn)，而不是。將前面的看成x，看成y，看成z，就可以得到，而不是。還可以這樣類比，長(zhǎng)方體的體積V正比于長(zhǎng)*寬；V也正比于長(zhǎng)*高。而我們知道體積V等于長(zhǎng)*寬*高，而不是等于長(zhǎng)2*寬*高。將太陽(yáng)與地球的引力寫成等式形式，即。其中G是一個(gè)與地球和太陽(yáng)無(wú)關(guān)的一個(gè)比例常數(shù)。【討論】：太陽(yáng)與地球間的引力公式，這個(gè)形式可以不假思索的推廣到任意的兩個(gè)物體間嗎？即對(duì)任意兩個(gè)物體A、B，有沒(méi)有呢？具體點(diǎn)，（1）下標(biāo)A、B可以是太陽(yáng)、火星嗎？（2）下標(biāo)A、B可以是地球、月亮嗎？（3）下標(biāo)A、B可以是地球和地面上的人或者蘋果嗎？【回答】：（1）可以。（2）不可以。因?yàn)閯偛诺耐茖?dǎo)中，使用了開(kāi)普勒第三定律，是開(kāi)普勒從行星的觀測(cè)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)的，至少在當(dāng)時(shí)的開(kāi)普勒心中，這個(gè)規(guī)律只是適用于行星與太陽(yáng)之間。因此，地球和月亮之間，不能不假思索的認(rèn)為也有這個(gè)關(guān)系。（3）不可以。因?yàn)閯偛诺耐茖?dǎo)中，利用了圓周運(yùn)動(dòng)的向心力的表達(dá)式。地球和之上的人或者蘋果，沒(méi)有發(fā)生圓周運(yùn)動(dòng)，因此也不能直接的不假思索的認(rèn)為對(duì)地面和之上的人也是適合的。牛頓大膽的猜想，行星與太陽(yáng)之間的這種引力是一切物體間都具有的。這種力的表達(dá)形式可以推廣到一切物體間。這個(gè)猜測(cè)很大膽，但是有一件事情讓牛頓對(duì)自己的這種猜測(cè)有了信心。二、月地檢驗(yàn)月亮圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，周期T=27.3天，月地間距等于米，也就是等于60倍的地球半徑。由這些觀察數(shù)據(jù)可以得到月亮繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度：。牛頓猜想1：如果提供向心力的這個(gè)月地間的引力是的形式，那么。牛頓猜想2：地面上物體受到的重力實(shí)際就是地球與這個(gè)物體間的萬(wàn)有引力，因此有：，可得：。代入上式可得： 使用這樣的猜想，計(jì)算出的結(jié)果與觀測(cè)值相等，因此讓牛頓相信這個(gè)猜想是正確的。三、萬(wàn)有引力定律1、萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，跟它們的距離r的二次方成反比。2、計(jì)算公式：其中G稱為萬(wàn)有引力常數(shù)，為，是自然界中幾個(gè)最重要的常量之一。它的數(shù)值具體是多少，決定了我們這個(gè)宇宙是什么樣子的。它表示兩個(gè)質(zhì)量為1kg的物體相距1m時(shí)，之間的萬(wàn)有引力為。3、意義：萬(wàn)有引力讓我們知道，天上的力與地上的力是相同的，支配自然、宇宙的法則是簡(jiǎn)單的，是可以被人類所認(rèn)識(shí)的。4、適用條件：（1）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。比如，求地球和太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力大小，可以把它們當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)看待。（2）兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩個(gè)球心間的距離比如，地面上的物體受到地球的萬(wàn)有引力，這個(gè)物體相比地球可以看成質(zhì)點(diǎn)，但是地球不能看作質(zhì)點(diǎn)，不過(guò)地球可以看作是質(zhì)量均勻的球體，因此，r是此物體與地心間的距離。（3）當(dāng)研究物體不能看作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可以把物體假想分割成無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的引力，然后求合力。這種思想是牛頓發(fā)明的微積分的基本思想。他也正是使用這個(gè)思想，證明了兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，r應(yīng)該取作兩個(gè)球心間的距離。四、萬(wàn)有引力常數(shù)的測(cè)量1798年，英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許第一次在實(shí)驗(yàn)室里利用扭秤裝置，比較準(zhǔn)確地測(cè)出了引力常量。下圖為實(shí)驗(yàn)裝置圖。實(shí)驗(yàn)原理扭秤裝置把微小力轉(zhuǎn)變成力矩來(lái)反映（一次放大），扭轉(zhuǎn)角度通過(guò)光標(biāo)的移動(dòng)來(lái)反映（二次放大），從而確定物體間的萬(wàn)有引力。T形架在兩端質(zhì)量為m的兩個(gè)小球受到質(zhì)量為m的兩大球的引力作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)，引力的力矩為FL。同時(shí)，金屬絲發(fā)生扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生一個(gè)相反的力矩，當(dāng)這兩個(gè)力的力矩相等時(shí)，T形架處于