3.3三次函數(shù)專題

三次函數(shù)專題講義一、定義：定義1、形如的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”（從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名）。定義2、三次函數(shù)的導數(shù)，把叫做三次函數(shù)導函數(shù)的判別式。由于三次函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，所以三次函數(shù)的問題，已經(jīng)成為高考命題的一個新的熱點和亮點。二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性。 一般地，當時，三次函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；當時，三次函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間。（根據(jù)兩種不同情況進行分類討論）2、對稱中心。三次函數(shù)是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點，此點的橫坐標是其導函數(shù)極值點的橫坐標。證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為（m，n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，所以化簡得：上式對恒成立，故，得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）?？梢姡瑈f(x)圖象的對稱中心在導函數(shù)y的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點。3、三次方程根的問題。（1）當=時，由于不等式恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根。（2）當=時，由于方程有兩個不同的實根，不妨設(shè)，可知，為函數(shù)的極大值點，為極小值點，且函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。此時：若，即函數(shù)極大值點和極小值點在軸同側(cè)，圖象均與軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根。0 若，即函數(shù)極大值點與極小值點在軸異側(cè)，圖象與軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根。 若，即與中有且只有一個值為0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等。4、極值點問題。若函數(shù)f(x)在點x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值（或極小值），稱點x0為極大值點（或極小值點）。當時，三次函數(shù)在上的極值點要么有兩個。當時，三次函數(shù)在上不存在極值點。5、最值問題。 函數(shù)若，且，則：；。三、例題講解：例1、（函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍。解：式無解，式的解為， 因此的取值范圍是.例2、已知函數(shù)滿足（其中為常數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)；（3）在（2）的條件下，若，求函數(shù)的圖象與軸圍成的封閉圖形的面積解：（1）由，得取，得，解之，得， 從而，列表如下：100有極大值有極小值的單調(diào)遞增區(qū)間是和；的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由（1）知，；方程有且只有兩個不等的實數(shù)根，等價于或 8分常數(shù)或 （3）由（2）知，或而，所以令，得，所求封閉圖形的面積 例3、（恒成立問題）已知函數(shù)有極值（1）求的取值范圍；（2）若在處取得極值，且當時，恒成立，求的取值范圍解：（1）， 要使有極值，則方程有兩個實數(shù)解， 從而， （2）在處取得極值， ， ，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減時，在處取得最大值， 時，恒成立，即，或，即的取值范圍是例4、（信息遷移題）對于三次函數(shù)。定義：（1）的導數(shù)（也叫一階導數(shù)）的導數(shù)為的二階導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；定義：（2）設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。（1）己知， 求函數(shù)的“拐點”的坐標；（2）檢驗（1）中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點”對稱;（3）對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論（不必證明）。 解：（1）依題意，得： ，。 由 ，即。，又 ， 的“拐點”坐標是。 （2）由(1)知“拐點”坐標是。 而= =，由定義(2)知：關(guān)于點對稱。 （3）一般地，三次函數(shù)的“拐點”是，它就是的對稱中心。 或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點； 任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù) .例5（ 與線性規(guī)劃的交匯問題）設(shè)函數(shù), 其中,是的導函數(shù).(1)若,求函數(shù)的解析式;(2)若,函數(shù)的兩個極值點為滿足. 設(shè), 試求實數(shù)的取值范圍.解: ()據(jù)題意,由知,是二次函數(shù)圖象的對稱軸又, 故是方程的兩根.設(shè),將代入得比較系數(shù)得:故為所求.另解：，據(jù)題意得 解得故為所求.(2)據(jù)題意,則又是方程的兩根,且則則點的可行區(qū)域如圖的幾何意義為點P與點的距離的平方.觀察圖形知點，A到直線的距離的平方為的最小值故的取值范圍是例6：（1）已知函數(shù)f(x)=x3-x ,其圖像記為曲線C.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；證明：若對于任意非零實數(shù)x1 ,曲線C與其在點P1 （x1,f(x1)）處的切線交于另一點P2（x2,f(x2)），曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3（x3,f(x3)），線段P1 P2, P2 P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值；（2）對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),請給出類似于（）（ii）的正確命題，并予以證明。解法一：（1）（i）有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+).當x(,)和(，)時，f(x)0;當x(，)時，f(x)0. （）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）0恒成立，求a的取值范圍.6、已知函數(shù) （其中常數(shù)a，bR），是奇函數(shù).（）求的表達式；（）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值與最小值.7、已知在函數(shù)的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為 （1）求m、n的值； （2）是否存在最小的正整數(shù)k，使不等式對于恒成立？求出最小的正整數(shù)k，若不存在說明理由；20070329 （3）求證：8、已知函數(shù)（a-b）b)。（I）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。（II）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，9、已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2()求實數(shù)a,b的值；()設(shè)g（x）=f(x)+是上的增函數(shù)。KS*5U.C#O （i）求實數(shù)m的最大值； (ii)當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。KS*5U.C#O作業(yè)：1、解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)f(x)是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：；導方程兩根是0，2，（f(x)對稱中心的橫坐標是1）；在（0，2）上；在（，0）或（2，）上。由和性質(zhì)1可排除B、D；由和性質(zhì)1確定選C。2、解：函數(shù)的導方程是，兩根為1和1，由性質(zhì)2得：，。故選C。3、【解析】（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù).4、5、【解析】（）解：當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當x變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f(x)+0-f(x)極大值當?shù)葍r于，解不等式組得-5a2，則.當x變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：X0f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）0等價于即，解不等