淺談數(shù)列求和的若干方法 數(shù)學(xué)論文.doc

內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文目錄摘要1ABSTRACT11引言22公式法23錯(cuò)項(xiàng)相消法34倒序相加法45通項(xiàng)分析法56待定歸納法67裂項(xiàng)法78. 逐差法89. 組合數(shù)法910導(dǎo)數(shù)求和法1011數(shù)學(xué)歸納法1112遞推數(shù)列求和法1213無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和法12小結(jié)14參考文獻(xiàn)14致謝1515摘要:初學(xué)者對(duì)這部分的內(nèi)容有畏難情緒，以至沒(méi)有學(xué)好此內(nèi)容.關(guān)于數(shù)列求和前人也作過(guò)不少文章，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)列求和出現(xiàn)了新題型，數(shù)列求和的若干方法不但解決了數(shù)列的一般求和也很好的處理了遞推問(wèn)題.要解決一類問(wèn)題，數(shù)列求和是從它們的本質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，去尋找最一般的方法，從而得出的結(jié)論比較具有針對(duì)性，可以普遍推廣.本章的內(nèi)容規(guī)律性比較強(qiáng)，只要抓住它們的不同特點(diǎn)，相應(yīng)的歸類就比較容易地解答.根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，給出了數(shù)列通項(xiàng)與求和的一般形式，很好地解決了數(shù)列求和的若干問(wèn)題，為學(xué)好本章起到很大的幫助作用.關(guān)鍵詞：數(shù)列；前項(xiàng)和；通項(xiàng)公式；遞推求和ABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .Key words : series ； pre-n and ; formula ; recursive summation1引言 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列外，大部分求和都需要技巧，下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.2公式法對(duì)于以下數(shù)列可利用公式直接求和.（1）等差數(shù)列： （其中：前n項(xiàng)和，：首項(xiàng)，：末項(xiàng)，d：公差，n：項(xiàng)數(shù)，下同）（2）等比數(shù)列： (3) 自然數(shù)的和（4）自然數(shù)的平方和（5）自然數(shù)的立方和例1 求和分析：由得 ，令=1、2、3、得 把以上各式兩邊相加得： 因此，例2 求和：解：設(shè)所求之和為，則，這是公比為的等比數(shù)列前項(xiàng)之和.（1）、若即則有（2）、若即則有3錯(cuò)項(xiàng)相消法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)之積形成，那么此數(shù)列可采用錯(cuò)項(xiàng)相減消法. 例3 求和 解：由原式乘以公比得： 原式與上式相減，得 例4 設(shè)求數(shù)列、的前項(xiàng)和分析：這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有，而=1或不等于1，對(duì)數(shù)列求和方法上有本質(zhì)的不同，所以解題時(shí)需要進(jìn)行討論.解：若，若，此時(shí)，該數(shù)列可以看成等差數(shù)列1、2、3與等比數(shù)列、的積構(gòu)成的數(shù)列，且公比，在上述等號(hào)兩邊同時(shí)乘，有兩式相減得所以，從而得4倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列與首末兩項(xiàng)等距的 兩項(xiàng)之和等于兩項(xiàng)之和，可采用正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和.例5 已知為等差數(shù)列，求解：令 將上式中各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)就得到：上兩式相加的由等差數(shù)列性質(zhì)得：所以得所以例6 求和：解：令將上式中各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，得：上述2式左右兩邊分別相加，并利用，得所以5通項(xiàng)分析法對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)求和或變形，進(jìn)行分析，從而決定使用哪種方法求和.例7 求數(shù)列1，的前項(xiàng)和，（）解：當(dāng)=1時(shí)， 則當(dāng)時(shí)， ，（為偶數(shù)）和，（為奇數(shù)）可見(jiàn)當(dāng)|時(shí)， ，所以=6待定歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的某一問(wèn)題，首先應(yīng)對(duì)結(jié)論的代數(shù)形式做一個(gè)正確推測(cè)，并將結(jié)論用待定系數(shù)設(shè)出來(lái)，隨之令其滿足數(shù)學(xué)歸納法的各個(gè)步驟，從中得到得到待定系數(shù)的方程，求出待定系數(shù)，即可使問(wèn)題得解.例8 求數(shù)列，的前項(xiàng)和因?yàn)閿?shù)列它是關(guān)于的多項(xiàng)式，與之類似的數(shù)列求和問(wèn)題我們熟悉的有 以上各式中，左端的通項(xiàng)公式及右端的和展開(kāi)后都是關(guān)于的多項(xiàng)式，對(duì)其次數(shù)進(jìn)行比較便可得到這樣的結(jié)論：若數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的多項(xiàng)式，則其前項(xiàng)和是比通項(xiàng)公式高一次的多項(xiàng)式，對(duì)本題而言，因?yàn)橥?xiàng)公式 是關(guān)于的三次多項(xiàng)式，所以我們猜想該數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的四次多項(xiàng)式，故可設(shè)即，時(shí)上式均成立，有 即又因?yàn)樗员容^上兩式同類項(xiàng)系數(shù)可得 解方程得 ,故7裂項(xiàng)法顧名思義，裂項(xiàng)法就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后相加時(shí)各項(xiàng)相消，達(dá)到求和目的的一種方法.通項(xiàng)分解如： 例9 求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積，用分子湊分母的方法，化簡(jiǎn)分式，然后再拆項(xiàng)，有解：+例10 求和解： =8逐差法針對(duì)一類高階等差數(shù)列求和的問(wèn)題.某些數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律不十分明顯.我們可以逐次求出它的各階差數(shù)列，如果某一階差數(shù)列正好是等差數(shù)列或者為等比數(shù)列，那么可以利用這些數(shù)列的有限和得出原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后再求出其前項(xiàng)和.例11 求數(shù)列的前項(xiàng)和考慮數(shù)列的各差數(shù)列：原數(shù)列：一階差數(shù)列：二階差數(shù)列：由于二階差數(shù)列是等比數(shù)列，可用逐差法求數(shù)列的通項(xiàng)，然后再求出其前項(xiàng)和.解：設(shè)原數(shù)列為，一階差數(shù)列為，二階差數(shù)列為 那么 以上個(gè)式子相加，有 因?yàn)?，所?又 所以 數(shù)列的前項(xiàng)和為 9組合數(shù)法 原數(shù)列各項(xiàng)可寫成組合數(shù)的形式，然后再利用公式求解.例12 求，由知可以利用“組合數(shù)法”求和 解 10導(dǎo)數(shù)求和法通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù).關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征.例13 求和：解：當(dāng)=1時(shí)，Sn=1+2+3+ =當(dāng)1時(shí)，兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)得（即 11數(shù)學(xué)歸納法有些題目通過(guò)求出的的前項(xiàng)之和，猜想出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.例14 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，滿足3求解：因?yàn)橛桑?，得3（所以 而所以 3得 同理 求 得推測(cè)下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（1）、當(dāng)=1時(shí)，結(jié)論顯然成立（2）、假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即由題設(shè)有知又因?yàn)樗?有則時(shí)結(jié)論亦成立.由（1）（2）知，對(duì)于總成立.12遞推數(shù)列求和法遞推數(shù)列求和是較難的一類，針對(duì)這類題，一般先要研究通項(xiàng)公式，而求通項(xiàng)公式又往往是難點(diǎn)，通項(xiàng)求出就可以從本質(zhì)上去求和，下面介紹地推數(shù)列通項(xiàng)的方法.例15 已知數(shù)列中求解：要求，首先尋找因 故所以是以2為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列.所以所以 =所以13極限求和當(dāng)數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，這就是我們高等數(shù)學(xué)要學(xué)的一個(gè)重要組成部分級(jí)數(shù)，那它的和怎么求啦？有些我們可以直接運(yùn)用公式，有些我們還是可以裂項(xiàng)，然后再求極限.例16 求數(shù)列的前項(xiàng)和解：由題設(shè)可知此數(shù)列為遞縮等比數(shù)列，公比，故前項(xiàng)和故 例17 求數(shù)列解：因?yàn)樗?=所以結(jié)束語(yǔ)數(shù)列求和問(wèn)題雖然很難，但我總可以通過(guò)找出共同的特點(diǎn)和規(guī)律或進(jìn)行恒等變換得到解決的途徑.以上幾種方法是求數(shù)列較適用的方法，是從根本上去認(rèn)識(shí)數(shù)列求和.類型較全，公式簡(jiǎn)單易懂，對(duì)學(xué)好數(shù)列的求和有很大的幫助.參考文獻(xiàn) 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室，高一數(shù)學(xué)上冊(cè).北京人民教育出版社； 瀘海運(yùn)、付延衛(wèi)、田春林等.創(chuàng)新方案.北京：中國(guó)青年出版社； 葉鋒，淺談數(shù)列的求和.成都教育出版社2006.6； 廣冬雁、李居強(qiáng)、劉利琴，數(shù)列求和十法.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）； 李增旺、宋勝利.名師一號(hào).北京：人民日?qǐng)?bào)出版社；6 劉玉璉、 數(shù)學(xué)分析講義（下冊(cè)）M，北京：高考教育出版社，2003；7陳傳璋，數(shù)學(xué)分析講義下冊(cè)J,北京：高考教育出版社，2004.致謝經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的奮斗，我的學(xué)年論文終于完成了，在此我要感謝我的指導(dǎo)老師曾德強(qiáng)老師，沒(méi)有他就沒(méi)有我這篇論文的一些思想，沒(méi)有他我很多地方的數(shù)學(xué)思維是不可能有的，他使我的數(shù)學(xué)水平提過(guò)了一個(gè)檔次，明白了如何寫數(shù)學(xué)論文，如何查找文獻(xiàn)等等，也