東南大學(xué)誤差處理與數(shù)據(jù)處理復(fù)習(xí)課..ppt

1 73 TheoryofError DataProcessing誤差理論與數(shù)據(jù)處理 ReviewLesson 復(fù)習(xí)課 2 73 期末考試時間 2015年1月6日周三14 00 15 40 100分鐘 地點(diǎn) 閉卷 請攜帶計(jì)算器 3 73 Thepurposesoferrorstudying研究誤差的意義 Understandthepropertiesoferrorsandinvestigatethesourcesoferrors soastoreduceorremovethem 認(rèn)識誤差的性質(zhì) 研究誤差的來源 以減小和消除誤差 Properlyhandlemeasuringanddataprocessing andcorrectlyanalyzetheresultsofmeasurement inordertoobtainoutcomesasclosetotruevaluesaspossible 正確處理測量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 合理分析所得結(jié)果 以便得到更接近于真值的數(shù)據(jù) Correctlyarrangetheexperiments designorselectinstrumentsandapplymeasuringmethods thusconstructtheoptimalsystemtoobtainthebestresult 正確組織實(shí)驗(yàn) 合理設(shè)計(jì)或選擇儀器和測量方法 以便在合理優(yōu)化的系統(tǒng)下得到理想結(jié)果 4 73 Definitions AbsoluteError絕對誤差 L L L0 C L L0 L RelativeError相對誤差 FiducialError儀器引用誤差 Correction修正值 修正值 真值 測得值 絕對誤差 測得值 真值 5 73 Thesourcesoferror 誤差來源 Thesourcesoferrorareeverywhere andalmosteverystepofthemeasuringprocedurebringsinerror 誤差無處不在 幾乎測量的每一個步驟都會導(dǎo)入誤差 Majorsourcesoferror誤差的主要來源 Device 設(shè)備 Environ ment 環(huán)境 Method 方法 People 人員 6 73 Classifications Classificationsoferrors誤差分類 Error AbsoluteError RelativeError AbnormalError SystemError RandomError Intermsofexpression按表示方式分類 Intermsofproperty按性質(zhì)分類 絕對誤差 相對誤差 系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差 粗大誤差 7 73 Correctness Precision Accuracy Highcorrectness高準(zhǔn)確度Lowprecision低精密度 Lowcorrectness低準(zhǔn)確度Highprecision高精密度 Lowcorrectness低準(zhǔn)確度Lowprecision低精密度 Highcorrectness高準(zhǔn)確度Highprecision高精密度 Correctness SystemError Precision RandomError Accuracy System RamdomError 8 73 SignificantDigit Foranyapproximatenumber theleftmostnon zerodigitiscalledthefirstsignificantdigit Fromthefirstsignificantdigittothelastdigit alldigits zeroornon zero arecalledsignificantdigits 對于任何近似數(shù) 從左邊起的第一個非零的數(shù)字稱為第一位有效數(shù)字 從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字為止的所有數(shù)字 不論零或者非零 都是有效數(shù)字 SignificantDigit有效數(shù)字 9 73 SignificantDigit 35 6Vs0 0356 0 0027 0 00270 2400 2 4x103or2 40 x103or2 400 x103 Standardexpression ax10n 1 a 10 L 20 53 0 01 2 053 0 001 x101 L 20 531 0 01 Forimportantmeasurements L 15 214 0 042 10 73 Examplesofrounding offoperation數(shù)字舍入運(yùn)算示例 Originaldata 3 141592 717294 510503 215506 3785017 6914995 43460 Roundedoffdata 3 1422 7174 5103 2166 3797 6915 435 11 73 Rulesofdatacomputation數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則 Forsummationandsubtraction thecomputingdatawiththefewestnumberofdecimaldigitsshouldbethereference andotherdatamaykeepanextradecimaldigit butthefinalresultshouldhavethefewestnumberofdecimaldigitsasthereference 在加減運(yùn)算時 各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn) 其余各數(shù)據(jù)可多保留一位小數(shù) 但最后結(jié)果應(yīng)保留最少的小數(shù)位數(shù) Formultiplicationanddivision thecomputingdatawiththefewestnumberofsignificantdigitsshouldbethereference andotherdatamaykeepanextrasignificantdigit butthefinalresultshouldhavethefewestnumberofsignificantdigitsasthereference 在乘除運(yùn)算時 各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為準(zhǔn) 其余各數(shù)據(jù)可以多保留一位有效位數(shù) 但最后的結(jié)果應(yīng)象參考數(shù)據(jù)一樣保留最少的有效位數(shù) Forcomputationofsquareandsquareroot thecomputingnumbersaretreatedthesamewayasinmultiplicationanddivision 在平方和開方運(yùn)算時 按照乘除運(yùn)算處理 12 73 NormalDistribution正態(tài)分布 Expectation期望值 Variance方差 Averageerror平均誤差 Probableerror或然誤差 13 73 Thefigureshowsnormaldistributioncurveandrelatedparameters 正態(tài)分布密度曲線和相應(yīng)的各種參數(shù)如圖所示 istheXvalueofinflexionpointA istheXvalueofpointB thegravitycenteroftherighthalfofthecurve lineparalleltoY axisatx evenlysplitstheareaoftherighthalfofthecurve 是曲線拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo) 是B點(diǎn)的橫坐標(biāo) 也就是右半部曲線下方面積的重心 在x 處與Y軸平行的直線等分曲線右半部分下方面積 NormalDistribution正態(tài)分布 14 73 PropertiesofNormalDistribution正態(tài)分布的特性 ThedistributionissymmetrictoY axis i e forerrorw thesameabsolutevalue positiveerrorandnegativeerrorappearw sameprobability分布曲線關(guān)于Y 軸對稱 就是說 絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同 對稱性 Errorw smallerabsolutevalueappearsw higherprobability絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大 單峰性 Undercertaincondition theabsolutevalueofrandomerrorsareboundedwithinacertainrange在一定的條件下 隨機(jī)誤差的絕對值不會查過一定界限 有界性 Theaverageofrandomerrorsgoesto0asthenumberofmeasurementincreases隨著測量次數(shù)增加 隨機(jī)誤差的平均值趨于0 抵償性 15 73 letbetheresultsofnmeasurements thenthearithmeticmeanisgivenasfollows 設(shè)為n次測量所得的值 則算術(shù)平均值按如下計(jì)算 ArithmeticMean算數(shù)平均值 Whenmeasuringthesameobjectwithequalprecision theresultsaredifferentduetorandomerrors andthearithmeticmeanshouldbeusedasthefinalmeasurementresult 對某一量進(jìn)行多次等精度測量 由于隨機(jī)誤差的存在 測量結(jié)果各不相同 應(yīng)以全部測量值的算術(shù)平均值作為最后測量結(jié)果 thesignificanceofarithmeticmean算術(shù)平均值的意義 16 73 ResidualError殘余誤差 17 73 單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 Standarddeviationofasinglemeasurement單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 Bessel sformula 貝塞爾公式 Peter sformula 別捷爾斯公式 18 73 StandardDeviationofArithmeticMean算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 Foraseriesofmultipleindependentmeasurements arithmeticmeanisusedastheresultofthemeasurement 對于一系列重復(fù)的獨(dú)立測量 我們把算數(shù)平均值作為測量結(jié)果 19 73 Normaldistribution 20 73 Extremeerrors Theerrorofarithmeticmean Whenthenumberofmeasurementsislarge thearithmeticmeanisalsonormallydistributed sosimilarlywehave Ifthenumberofmeasurementsnissmall weneedtouse StudentDistribution alsocalledtdistribution tocalculatetheextremeerrorofarithmeticmean istheconfidencecoefficientofStudentDistribution anditisdecidedbytheconfidenceprobabilityandfreedom Theextremeerrorsofarithmeticmean算術(shù)平均值的極限誤差 21 73 Measurementswithunequalprecision不等精度測量 Weightedaverageiscalculatedasfollows 加權(quán)平均值由下式計(jì)算 Theweightforeachresultcanbegivenasfollows 各結(jié)果的權(quán)重可由下式給出 22 73 Measurementswithunequalprecision不等精度測量 23 73 Thereforecanbetreatedastheresidualerrorsofequalprecisionmeasurementsthatallhavethesamestandarddeviationof Measurementswithunequalprecision不等精度測量 24 73 DetectionofSystemErrors系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) Residualerrortestmethod forlinearsystemerror 殘余誤差校核法 發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差 K n 2ifniseven K n 1 2ifnisodd Differentformulamethod不同公式比較法 If wesuspectthereissystemerror 25 73 1 3 method Detectionofabnormalerrors粗大誤差的判別 2 tmethod remove 26 73 SystemErroroffunction函數(shù)的系統(tǒng)誤差 Mathematicmodelofindirectmeasurement Thetotaldifferentialequationoffunctionyisgivenasfollows Forlinearfunction 27 73 RandomErroroffunction函數(shù)的隨機(jī)誤差 If let then Correlationcoefficient 28 73 Synthesisofsystemandrandomerrors 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 ai biandciaretheerrortransfercoefficientsforknownsystemerrors unknownsystemerrorsandrandomerrorsrespectively andRisthesumofcovarianceofallerrors 29 73 Reviewoflastlesson前課復(fù)習(xí) 1 Synthesisintermsofextremeerror通過極限誤差合成 nisthenumberofrepeatedmeasurements IfNormalandindependent Ifknownsystemerroriscorrected 30 73 2 Synthesisintermsofstandarddeviation通過標(biāo)準(zhǔn)差合成 Ifmeasurementisrepeatedntimes wehave 31 73 Section5Assignmentoferrors誤差的分配 Giventheallowableoverallerror sometimeweneedtoreasonablyassigneachindividualerror Becausefixederrorcanberemovedbycorrection onlyrandomerrorsandunknownsystemerrorsareconsidered Whenassigningerrors theunknownsystemerrorsaretreatedjustlikerandomerrors Assumeallerrorsarerandomerrorsandindependenttoeachother thenwehave arecalledpartialerrorsofthefunction orlocalerrors 局部誤差 Nowthequestionbecomes given howtoassignorcorrespondingsatisfying 32 73 Assignmentoferrors誤差分配 Whenassigningerrors wehavethefollowingsteps Assignerrorsaccordingtoequalcontributionrule 按等作用原則分配誤差Wemakeeachpartialerrorcontributeequallytotheoverallerror i e Intermsofextremeerror wehave 33 73 Minorerrors微小誤差 Accordingtotherulesofcomputationofsignificantdigits formeasurementofnormalprecision theerrorhas1significantdigit Inthiscircumstance ifthefollowingconditionissatisfiedafterapartialerrorisremoved Thenweconsiderithasnoeffectonthecomputationofthefinalerror Solvetheinequalitywehave Formeasurementwithhigherprecision 2significantdigitsareusedfortheerror andasaresultwehave 34 73 Rulestoacceptorignoreminorerrors Conclusion Forrandomerrorandunknownsystemerror thecriteriaforignoringminorerroristhatthestandarddeviationoftheignorederrorshouldbelessorequalto1 3 1 10oftheoverallstandarddeviationofthefinalresult 對于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差 微小誤差舍去準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須必須小于或等于測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1 3至1 10 Rulesofminorerrorareimportantforcomputingoverallerrorandchoosinginstrumentwithhigherprecision Whencomputingorassigningerrors identifiedminorerrorscanbeignoredforsimplicity Whenchoosinghigherprecisionstandardinstrument itserrorshouldbebetween1 10and3 10oftheerrorofthelowerprecisioninstrumentwhichistobeexamined 微小誤差取舍準(zhǔn)則在總誤差計(jì)算和選擇高一級儀器上都有重要意義 計(jì)算或分配誤差時 若發(fā)現(xiàn)微小誤差可予以忽略 選擇高一級精度的儀器時 其誤差應(yīng)為被檢器具允許總誤差的1 10 3 10 35 73 Uncertaintyofmeasurement測量不確定度 Becauseoftheexistenceoferror thetruevalueofsubjectisalmostimpossibletoobtain由于誤差的存在 被測量的真值幾乎不可能確定 Theuncertaintyofmeasurementdescribestheunsurenessoftheresult itistheestimateofthetruevaluewithincertainrange anditisaparameteroftheresultshowinghowdispersedisthevalueofthemeasurement測量的不確定度描述結(jié)果的不肯定性 是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計(jì) 是測量結(jié)果的一個參數(shù) 用以表示被測量值的分散性 Acompletemeasurementresultincludestheestimateofthemeasurementandparameterofdispersity一個完整的測量結(jié)果應(yīng)包含被測量值的估計(jì)與分散性參數(shù)兩部分 Measurementresult Measurementestimate Uncertainty 36 73 Section1 PrincipleofLeastSquareMethod第一節(jié) 最小二乘法原理 Quantitiestobemeasured 待測量 Unabletobemeasureddirectly 無法直接測量 問題 如何根據(jù)和測量方程解得待測量的估計(jì)值 Quantitiesthatcanbemeasureddirectly 可直接測量的量 Question Howtosolvetheestimatevaluesofaccordingtothemeasurementequationsand 37 73 測量值已經(jīng)出現(xiàn) 有理由認(rèn)為這n個測量值出現(xiàn)于相應(yīng)區(qū)間的概率P為最大 要使P最大 應(yīng)有 最小 由于結(jié)果只是接近真值的估計(jì)值 因此上述條件應(yīng)表示為 最小 PrincipleofLeastSquareMethod 38 73 LeastSquarePrincipleofequalprecisionmeasurement等精度測量的最小二乘原理 最小 最小 最小二乘原理 其他分布也適用 測量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和 或加權(quán)殘余誤差平方和 最小 PrincipleofLeastSquareMethod LeastSquarePrincipleofunequalprecisionmeasurement不等精度測量的最小二乘原理 39 73 令 則殘差方程的矩陣 Matrix 表達(dá)式為 等精度測量最小二乘原理的矩陣形式 PrincipleofLeastSquareMethod 不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式 40 73 NormalEquations SystemofAlgebraicEquationswithsuresolutions whicharetransformedfromtheerrorequationsaccordingtotheLeastSquarePrinciple 正規(guī)方程 誤差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到的有確定解的代數(shù)方程組 一 等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程 Section2 NormalEquations正規(guī)方程 展開矩陣方程組得到 41 73 Section2 NormalEquations正規(guī)方程 即 展開第一個偏微分方程得到 同理 展開第r個偏微分方程得到 即 偏導(dǎo)數(shù)為零 即 42 73 Section2 NormalEquations正規(guī)方程 這樣把所有t個方程全部展開得到正規(guī)方程組 寫成矩陣形式即為 正規(guī)方程的矩陣形式 繼續(xù)推導(dǎo) 正規(guī)方程的另一個矩陣形式 43 73 從正規(guī)方程的矩陣形式 等精度情況下待測量 的無偏估計(jì) NormalEquations正規(guī)方程 44 73 不等精度的正規(guī)方程 NormalEquations正規(guī)方程 將代入上式 得 不等精度情況下待測量 的無偏估計(jì) 45 73 最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系 為確定一個被測量X的估計(jì)值x 對它進(jìn)行n次直接測量 得n個數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)分別為 則測量的誤差方程為 NormalEquations正規(guī)方程 按照最小二乘原理可求得 結(jié)論 最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的 算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例 46 73 目的 給出估計(jì)量的精度 一 測量數(shù)據(jù)精度估計(jì) A 等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 第三節(jié)精度估計(jì)PrecisionEstimation 測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為 47 73 B 不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 精度估計(jì)PrecisionEstimation 48 73 二 最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) A 等精度測量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 精度估計(jì)PrecisionEstimation 設(shè) 則相應(yīng)的最小二乘估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差為 49 73 B 不等精度測量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 同理經(jīng)推導(dǎo)可得 其中各不定乘數(shù)由求得 精度估計(jì)PrecisionEstimation 50 73 一 函數(shù)與相關(guān) Function Correlation 函數(shù)關(guān)系 可以用明確的函數(shù)關(guān)系式精確地表示出來 函數(shù)關(guān)系是特殊的相關(guān)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系 這些變量之間既存在著密切的關(guān)系 又不能由一個 或幾個 自變量的數(shù)值精確地求出另一個因變量的數(shù)值 而是要通過試驗(yàn)和調(diào)查研究 才能確定它們之間的關(guān)系 Section1 BasicConceptofRegressionAnalysis第一節(jié) 回歸分析的基本概念 51 73 二 回歸分析的主要內(nèi)容 1 由數(shù)據(jù)確定變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式 回歸方程 RegressionEquation 或經(jīng)驗(yàn)公式 EmpiricalFormula 2 對回歸方程的可信度 Reliability 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) StatisticalTest 3 因素分析 FactorAnalysis 從對共同影響一個變量的許多變量 因素 中 找出哪些是重要因素 哪些是次要因素 Basicconceptofregressionanalysis 52 73 一元線性回歸 確定兩個變量之間的線性關(guān)系 即直線擬合 FittingStraightLine 問題 一 回歸方程的確定 例 確定某段導(dǎo)線的電阻與溫度之間的關(guān)系 Section2 UnitaryLinearRegression ULR 53 73 設(shè)得到的回歸方程 殘差方程為 對照第五章最小二乘法的矩陣形式 令 UnitaryLinearRegression 根據(jù)最小二乘原理可求得回歸系數(shù)和 54 73 則誤差方程的矩陣形式為 對照 設(shè)測得值的精度相等 則有 將測得值分別代入上式 可計(jì)算得 UnitaryLinearRegression 參考 參考 55 73 其中 UnitaryLinearRegression 56 73 UnitaryLinearRegression 二 回歸方程的穩(wěn)定性 stability 回歸方程的穩(wěn)定性是指回歸值的波動大小 波動愈小 回歸方程的穩(wěn)定愈好 的波動大小用來表示 6 21 由 6 21 式可見 回歸值的波動大小與四個因素有關(guān) 不僅與殘余標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān) 而且還取決于回歸分析中試驗(yàn)次數(shù)N和試驗(yàn)點(diǎn)的分離程度 以及自變量的取值位置 越小 N越大 試驗(yàn)點(diǎn)的分離度越大 以及的取值越接近中心點(diǎn) 回歸值的精度越高 反之則回歸值精度越低 57 73 問題 這條回歸直線是否符合y與x之間的客觀規(guī)律回歸直線的預(yù)報精度如何 方差分析法 分解N個觀測值與其算術(shù)平均值之差的平方和 從量值上區(qū)別多個影響因素 用F檢驗(yàn)法對所求回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 解決辦法 UnitaryLinearRegression 二 回歸方程的方差分析 VarianceAnalysis 及顯著性檢驗(yàn) SignificanceLevelTest 58 73 一 回歸方程的方差分析 1 引起變差的原因 A 自變量 independentvariable x取值的不同 B 其它因素 包括試驗(yàn)誤差 的影響 2 方差分析 總的離差平方和 SumofDeviationSquares 即N個觀測值之間的變差 可以證明 UnitaryLinearRegression 59 73 S U Q 其中 U 回歸平方和 regressionsumofsquares 反映總變差中由于x和y的線性關(guān)系而引起y變化的部分 Q 殘余平方和 residualsumofsquares 反映所有觀測點(diǎn)到回歸直線的殘余誤差 即其它因素對y變差的影響 UnitaryLinearRegression 60 73 二 回歸方程顯著性檢驗(yàn) F檢驗(yàn)法 基本思路 方程是否顯著取決于U和Q的大小 U越大Q越小說明y與x的線性關(guān)系愈密切 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F 對一元線性回歸 應(yīng)為 查F分布表 根據(jù)已知的自由度1和N 2找到確定對應(yīng)的顯著性水平 UnitaryLinearRegression 61 73 三 殘余方差與殘余標(biāo)準(zhǔn)差 殘余方差 排除了x對y的線性影響后 衡量y隨機(jī)波動的特征量 殘余標(biāo)準(zhǔn)差 含義 越小 回歸直線的精度越高 UnitaryLinearRegression 62 73 三 重復(fù)試驗(yàn)情況