湖北省黃岡市2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 20 頁） 2015年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，則 MN 為（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 2已知 a， b， c R，那么下列命題中正確的是（ ） A若 a b，則 若 ，則 a b C若 0，則 D若 0，則 3已知點(diǎn)（ 3， 1）和點(diǎn)（ b， 4）均在直線 3x 2y a=0 上，則 值為（ ） A B 35 C 35 D 4下列命題錯(cuò)誤的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi) 所有直線都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 5已知等比數(shù)列 公比 q 1，則下面說法中不正確的是（ ） A +等比數(shù)列 B對于 k N*， k 1， 1+ 2對于 n N*，都有 0 D若 對于任意 n N*，都有 下列命題中，真命題的是（ ） A已知 f（ x） =，則 f（ x）的最小值是 2 B已知數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an=n+ ，則 最小項(xiàng)為 2 C已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 x+y=2，則 最大值是 1 D已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x+y 的最小值是 2 7在數(shù)列 ， ， ， =1，則 ） A B C D 5 8函數(shù) y=一條對稱軸為 x= ，則直線 l： by+c=0 的傾斜角為（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 9已知直四棱柱 ，底面 正方形， E 為 中點(diǎn)，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 第 2 頁（共 20 頁） 10設(shè)兩條直線的方程分別為 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是關(guān)于 x 的方程 x2+x+c=0 的兩個(gè)實(shí)根，且 0 c ，則這兩條直線間距離的最大值和最小值分別為（ ） A B C D 11如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有 n（ n 1， n N*）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案 中總的點(diǎn)數(shù)記為 + + + =（ ） A B C D 12已知曲線 =1 與直線 y=2x+m 有兩個(gè)交點(diǎn)，則 m 的取值范圍是（ ） A（ ， 4） （ 4， +） B（ 4， 4） C（ ， 3） （ 3， +） D（3， 3） 二 13一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，若其正視圖、側(cè)視圖的輪廓都是邊長為 1 的菱形，俯視圖是邊長為 1 的正方形，則該幾何體的體積為 14已知 0 x 1，則函數(shù) y= + 的最小值為 15已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 = 的取值范圍是 16在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形 頂點(diǎn)分別為 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0），點(diǎn) P（ 0， p）在線段 （異于端點(diǎn)），設(shè) a， b， c， p 均為非零實(shí)數(shù)，直線 別交 點(diǎn) E， F，一同學(xué)已正確算的 方程：（ ） x+（ ） y=0，請你求 方程：（ ） x+（ ） y=0 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知兩條直線 =0， a 1） x+y+b=0，求滿足下列條件的 a， b 值 第 3 頁（共 20 頁） （ ） 點(diǎn)（ 3， 1）； （ ） 原點(diǎn)到這兩直線的距離相等 18設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c， a= B 為鈍角 （ 1）求 B A 的值； （ 2）求 取值范圍 19設(shè)數(shù)列 足 2+3n 1， n N* （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)； （ 2）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 20某客運(yùn)公司用 A， B 兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次 A， B 兩種車輛的載客量分別為 36 人和 60 人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為 1600元 /輛和 2400 元 /輛公司擬組建一個(gè)不超過 21 輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求 B 型車不多于 A 型車 7 輛若每天要以不少于 900 人運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且 使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備 A 型車、 B 型車各多少輛？ 21對于函數(shù) f（ x），若存在 R，使 f（ =立，則稱 f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）當(dāng) a=1， b= 2 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)； （ 2）若對任意實(shí)數(shù) b，函數(shù) f（ x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求 a 的范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，若 y=f（ x）圖象上 A、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù) f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)，且 A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=對稱，求 b 的最小值 22如圖，在底面是正方形的四棱錐 P ， 面 點(diǎn) E， C 中點(diǎn)， G 為 一點(diǎn) （ ）求證： （ ）確定點(diǎn) G 在線段 的位置，使 平面 說明理由； （ ）當(dāng)二面角 B D 的大小為 時(shí)，求 底面 成角的正切值 第 4 頁（共 20 頁） 2015年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試 題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，則 MN 為（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出 M 中 y 的范圍確定出 M，求出 N 中不等式的解集，找出解集的整數(shù)解確定出 N，求出 M 與 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中 y=x R，得到 1 y 1，即 M= 1， 1， 由 N 中不等式變形得：（ x 2）（ x+1） 0，且 x+1 0， x Z， 解得： 1 x 2， x Z， N=0， 1， 2， 則 MN=0， 1 故選： B 2已知 a， b， c R，那么下列命題中正確的是（ ） A若 a b，則 若 ，則 a b C若 0，則 D若 0，則 【考點(diǎn)】 不等關(guān)系與不等式 【分析】 根據(jù)不等式的性質(zhì)，對 A、 B、 C、 D 四個(gè)選項(xiàng)通過舉反例進(jìn)行一一驗(yàn)證 【解答】 解： A若 a b，則 ），若 c=0，則 A 不成立； B若 ，則 a b（錯(cuò)），若 c 0，則 B 不成立； C若 0，則 （對），若 0，則 D若 0，則 （錯(cuò)），若 ，則 D 不成立 故選 C 3已知點(diǎn)（ 3， 1）和點(diǎn)（ b， 4）均在直線 3x 2y a=0 上，則 值為（ ） A B 35 C 35 D 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程 第 5 頁（共 20 頁） 【分析】 將（ 3， 1）代入直線方程求出 a，將（ b， 4）代入直線方程求出 b，從而求出 值即可 【解答】 解： 點(diǎn)（ 3， 1）在直線 3x 2y a=0 上， 3 （ 3） 2 （ 1） a=0，解得 a= 7， 又點(diǎn)（ b， 4）在直線 3x 2y+7=0 上， 3b+8+7=0，解得 b= 5， 5， 故選： C 4下列命題錯(cuò)誤的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)所有直線都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存 在直線垂直于平面 【考點(diǎn)】 平面與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 命題 A， B 可以通過作圖說明；命題 C 可以直接進(jìn)行證明；命題 D 可以運(yùn)用反證法的思維方式說明是正確的 【解答】 解： A、如圖，平面 平面 ， =l， l， l 不垂直于平面 ，所以不正確； B、如 A 中的圖，平面 平面 ， =l， a，若 a l，則 a ，所以正確； C、如圖， 設(shè) =a， =b，在 內(nèi)直線 a、 b 外任取 一點(diǎn) O，作 a，交點(diǎn)為 A，因?yàn)槠矫?平面 ， 所以 ，所以 l，作 b，交點(diǎn)為 B，因?yàn)槠矫?平面 ，所以 ，所以l，又 B=O， 所以 l 所以正確 D、若平面 內(nèi)存在直線垂直于平面 ，根據(jù)面面垂直的判定，則有平面 垂直于平面 ，與平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 ，正確； 故選： A 5已知等比數(shù)列 公比 q 1，則下面說法中不正確的是（ ） 第 6 頁（共 20 頁） A +等比數(shù)列 B對于 k N*， k 1， 1+ 2對于 n N*，都有 0 D若 對于任意 n N*，都有 考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)，對選項(xiàng)分別進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論 【解答】 解：對于 A， +公比為 等比數(shù)列，正確； 對于 B，對于 k N*， k 1， 1+= + q 1， 1+ 2確 對于 C， =0，正確； 對于 D，若 a 1，則對于任意 n N*，都有 不正確， 故選： D 6下列命題中，真命題的是（ ） A已知 f（ x） =，則 f（ x）的最小值是 2 B已知數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an=n+ ，則 最小項(xiàng)為 2 C已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 x+y=2，則 最大值是 1 D已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x+y 的最小值是 2 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論 【解答】 解： A、 f（ x） =，令 t=t 0， 1），則 y=t+ 在 0， 1上單調(diào)遞減，最小值為 3，所以 f（ x）的最小值是 3，故不正確； B、數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an=n+ ， n=1 或 2 時(shí)， 最小項(xiàng)為 3，故不正確； C、已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 x+y=2， x， y 0 時(shí)， x+y 2 ，所以 最大值是 1，正確； D、已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x+y 的最小值是 2，故不正確 7在數(shù)列 ， ， ， =1，則 ） A B C D 5 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 ， ， =1，可得： 3= ， 1=2， 2= ， 即可得出 【解答】 解： ， ， =1， ， ， ，可得： 3= ， 1=2 同理可得： 2= ， 第 7 頁（共 20 頁） + = 故選： C 8函數(shù) y=一條對稱軸為 x= ，則直線 l： by+c=0 的傾斜角為（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角；由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 函數(shù) f（ x） =象的一條對稱軸方程是 ，推出 f（ +x） =f（ x） 對任意 x R 恒成立，化簡函數(shù)的表達(dá)式，求出 a， b 的關(guān)系，然后求出直線的傾斜角，得到選項(xiàng) 【解答】 解： f（ x） = 對稱軸方程是 x= ， f（ +x） =f（ x） 對任意 x R 恒成立， +x） +x） = x） x）， +x） x） =+x） x）， 用加法公式化簡： 2 2任意 x R 恒成立， （ a+b） 對任意 x R 恒成立， a+b=0， 直線 by+c=0 的斜率 K= = 1， 直線 by+c=0 的傾斜角為 故選 D 9已知直四棱柱 ，底面 正方形， E 為 中點(diǎn)，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【分析】 以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線 成角的余弦值 【解答】 解： 直四棱柱 ，底面 正方形， E 為中點(diǎn)， 以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) ，則 B（ 1， 1， 0）， E（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， 0， 0， 2）， =（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 2）， 第 8 頁（共 20 頁） 設(shè) 異面直線 成角為 ， 則 = = 異面直線 成角的余弦值為 故選： C 10設(shè)兩條直線的方程分別為 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是關(guān)于 x 的方程 x2+x+c=0 的兩個(gè)實(shí)根，且 0 c ，則這兩條直線間距離的最大值和最小值分別為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 利用方程的根，求出 a， b， c 的關(guān)系，求出平行線之間的距離表達(dá)式，然后求解距離的最值 【解答】 解：因?yàn)?a， b 是方程 x2+x+c=0 的兩個(gè)實(shí)根， 所以 a+b= 1， ab=c，兩條直線之間的距離 d= ， 所以 = ， 因?yàn)?0 c ， 所以 1 4c 1， 即 ， ，所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是 ， 故選： D 第 9 頁（共 20 頁） 11如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有 n（ n 1， n N*）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為 + + + =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 歸納推理 【分析】 確定 n 3，利用裂項(xiàng)法求和，即可得出結(jié)論 【解答】 解：每個(gè)邊有 n 個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得 3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，故 n 3 = = = ， + + + =1 + =1= 故選： C 12已知曲線 =1 與直線 y=2x+m 有兩個(gè)交點(diǎn)，則 m 的取值范圍是（ ） A（ ， 4） （ 4， +） B（ 4， 4） C（ ， 3） （ 3， +） D（3， 3） 【考點(diǎn)】 直線的截距式方程 【分析】 作出直線和曲線對應(yīng)的圖象，根據(jù)圖象關(guān)系即可確定 m 的取值范圍 【解答】 解：作出曲線 =1 對應(yīng)的圖象如圖所示： 由圖象可知直線 y=2x+m 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0）時(shí)，直線和曲線有一個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí) 4+m=0，即 m=4，此時(shí)要使兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則 m 4， 直線 y=2x+m 經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 0）時(shí)，直線和曲線有一個(gè)交點(diǎn)， 第 10 頁（共 20 頁） 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)， 4+m=0，即 m= 4， 此時(shí)要使兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則 m 4， 綜上， m 的取值范圍是 m 4 或 m 4 故選： A 二 13一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，若其正視圖、側(cè)視圖的輪廓都是邊長為 1 的菱形，俯視圖是邊長為 1 的正方形，則該幾何體的體積為 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是上下兩部分組成，為全等的兩個(gè)四棱錐 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是上下兩部分組成，為全等的兩個(gè)四棱錐 該幾何體的體積 V= 12 = 故答案為： 14已知 0 x 1，則函數(shù) y= + 的最小值為 9 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；基本不等式 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出 【解答】 解： 0 x 1， 則函數(shù) f（ x） = + = ， 當(dāng) f（ x） 0 時(shí)，解得 ；當(dāng) f（ x） 0 時(shí)，解得 又 =0 當(dāng)且僅當(dāng) x= 時(shí)取得極小值即最小值 = + =6+3=9 故答案為： 9 第 11 頁（共 20 頁） 15已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 = 的取值范圍是 5， 6 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合直線斜率的幾何意義，求出斜率的取值范圍即可得到結(jié)論 【解答】 解： = = =4+2 ， 設(shè) k= ， 則 k 的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn) D（ 3， 2）的斜率， 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由圖象得 斜率最大， 斜率最小， 其中 A（ 0， ）， B（ 1， 0）， 此時(shí) = ，此時(shí) 最小為 =4 =4+1=5， 時(shí) =1，此時(shí) 最大為 =4+2 1=6， 故 5 6， 故答案為： 5， 6 16在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形 頂點(diǎn)分別為 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0），點(diǎn) P（ 0， p）在線段 （異于端點(diǎn)），設(shè) a， b， c， p 均為非零實(shí)數(shù)，直線 別交 點(diǎn) E， F，一同學(xué)已正確算的 方程：（ ） x+（ ） y=0，請你求 方程：（ ） x+（ ） y=0 【考點(diǎn)】 類比推理 第 12 頁（共 20 頁） 【分析】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，我們類比直線 方程為：（ ） x+（ ）y=0，分析 A（ 0， a）， B（ b， 0）， C（ c， 0）， P（ 0， p），我們可以類比推斷出直線 方程為（ ） x+（ ） y=0 【解答】 解：由截距式可得直線 ，直線 ， 兩式相減得（ ） x+（ ） y=0， 顯然直線 交點(diǎn) F 滿足此方程， 又原點(diǎn) O 也滿足此方程， 故為所求直線 方程 故答案為： 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知兩條直線 =0， a 1） x+y+b=0，求滿足下列條件的 a， b 值 （ ） 點(diǎn)（ 3， 1）； （ ） 原點(diǎn)到這兩直線的距離相等 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【分析】 （ ）通過 充要條件得到關(guān)系式， 點(diǎn)（ 3， 1）得到方程，然后求出 a， b 的值； （ ）利用 到 ，通過原點(diǎn)到這兩直線的距離相等即可求出 a， b 【解答】 解（ ） a（ a 1） +（ b） 1=0（ 1） 又 點(diǎn)（ 3， 1），則 3a+b+4=0（ 2） 聯(lián)立（ 1）（ 2）可得， a=2， b=2 （ ）依題意有， ，且 ， 解得 a=2， b= 2 或 18設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c， a= B 為鈍角 （ 1）求 B A 的值； （ 2）求 取值范圍 【考點(diǎn)】 兩角和與差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡已知的式子，由條件和誘導(dǎo)公式求出 B A 的值； （ 2）由（ 1）求出 C 和 A 的范圍，由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式變形化簡，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出式子的范圍 【解答】 解：（ 1）由題 意得 a= 由正弦定理得 ，則 第 13 頁（共 20 頁） B 為鈍角， B= ， B A= ； （ 2）由（ 1）知 C=（ A+B） =（ A+ +A） = 2A 0， A （ 0， ）， 2A） = 2 2（ ） 2+ ， A （ 0， ）， 0 ， 由二次函數(shù)可知， 2（ ） 2+ ， 取值范圍為（ ， 19設(shè)數(shù)列 足 2+3n 1， n N* （ 1） 求數(shù)列 通項(xiàng)； （ 2）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）由 2+3n 1當(dāng) n 2 時(shí)， 2+3n 21= ，兩式作差求出數(shù)列 通項(xiàng) （ 2）由（ 1）的結(jié)論可知數(shù)列 通項(xiàng)再用錯(cuò)位相減法求和即可 【解答】 解：（ 1） 2+3n 1， 當(dāng) n 2 時(shí)， 2+3n 21= ，得 3n 1， 所以 （ n 2）， 在 中，令 n=1，得 也滿足上式 （ 2） ， 第 14 頁（共 20 頁） bn=n3n +2 32+3 33+n3n 32+2 33+3 34+n3n+1 ，得 2Sn=n3n+1（ 3+32+33+3n）， 即 2Sn=n3n+1 20某客運(yùn)公司用 A， B 兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天 往返一次 A， B 兩種車輛的載客量分別為 36 人和 60 人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為 1600元 /輛和 2400 元 /輛公司擬組建一個(gè)不超過 21 輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求 B 型車不多于 A 型車 7 輛若每天要以不少于 900 人運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備 A 型車、 B 型車各多少輛？ 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 【分析】 設(shè)應(yīng)配備 A 型車、 B 型車各 x 輛， y 輛，營運(yùn)成本為 z 元；從而可得 ；z=1600x+2400y；利用線性規(guī)劃求解 【解 答】 解：設(shè)應(yīng)配備 A 型車、 B 型車各 x 輛， y 輛，營運(yùn)成本為 z 元； 則由題意得， ； z=1600x+2400y； 故作平面區(qū)域如下， 第 15 頁（共 20 頁） 故聯(lián)立 解得， x=5， y=12； 此時(shí)， z=1600x+2400y 有最小值 1600 5+2400 12=36800 元 21對于函數(shù) f（ x），若存在 R，使 f（ =立，則稱 f（ x）的不動(dòng)點(diǎn) 已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）當(dāng) a=1， b= 2 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)； （ 2）若對任意實(shí)數(shù) b，函數(shù) f（ x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求 a 的范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，若 y=f（ x）圖象上 A、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù) f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)，且 A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=對稱，求 b 的最小值 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用 【分析】 （ 1）轉(zhuǎn)化為直接解方程 x 3=x 即可 （ 2）轉(zhuǎn)化為 bx+b 1=0 有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為 4a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函數(shù)大于 0 恒成立須滿足的條件來求解即可 （ 3）利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的兩個(gè)結(jié)論，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直找到 a， b 之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】 解：（ 1） a=1， b= 2 時(shí)， f（ x） =x 3， f（ x） =x2x 3=0x= 1， x=3 函數(shù) f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)為 1 和 3； （ 2）即 f（ x） = b+1） x+b 1=x 有兩個(gè)不等實(shí)根， 第 16 頁（共 20 頁） 轉(zhuǎn)化為 bx+b 1=0 有兩個(gè)不等實(shí)根，須有判別式大于 0 恒成立 即 4a（ b 1） 0 =（ 4a） 2 4 4a 00 a 1， a 的取值范圍為 0 a 1； （ 3）設(shè) A（ B（ 則 x1+ ， A， B 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （ ， ），即 M（ ， ） A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=對稱， 又因?yàn)?A， B 在直線 y=x 上， k= 1， A， B 的中點(diǎn) M 在直線 y=上 = b= = 利用基本不等