江西省贛州市2015-2016年高二下期末數(shù)學(xué)試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年江西省贛州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A B C D 2用反證法證明命題： “三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于 60 度 ”時，假設(shè)正確的是（ ） A假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60 度 B假設(shè)三內(nèi)角都大于 60 度 C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 60 度 D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于 60 度 3已知變量 x， y 的取值如表所示： x 4 5 6 y 8 6 7 如果 y 與 x 線性相關(guān)，且線性回歸方程為 ，則 的值為（ ） A 1 B C D 4若 P= + ， Q= + （ a 0），則 P， Q 的大小關(guān)系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a 的取值確定 5設(shè)點 P 對應(yīng) 的復(fù)數(shù)為 3+3i，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點 ） A（ 3， ） B（ 3， ） C（ 3 ， ） D（ 3 ， ） 6在極坐標系中， 點（ 2， ）到直線 （ =6 的距離為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7下列不等式一定成立的是（ ） A 2|x|（ x R） B ） x 0） C 2（ x k Z） D 1（ x R） 8極坐標方程 示的曲線為（ ） A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=8，則輸出 S=（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A B C D 10設(shè) n N*， f（ n） =1+ + + ，計算知 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，由此猜測（ ） A f（ 2n） B f（ C f（ 2n） D以上都不對 11已知 x 0， y 0，若 1 2， 1 4，則 取值范圍是（ ） A 1， 5 B 1， 4 C（ 2， 6） D（ 0， 5） 12對于大于 1 的自然數(shù) m 的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的 “分裂 ”23=3+5， 33=7+9+11，43=13+15+17+19， ，仿此，若 “分裂數(shù) ”中有一個是 59，則 m 的值為（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分） 13若直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），則直線 l 傾斜角的余弦值為 14（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在極坐標系下，點 ， ， O 是極點，則 面積等于 15若不等式 |a 2|+1 對于一切非零實數(shù) x 均成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 第 3 頁（共 17 頁） 16在一組樣本數(shù)據(jù)（ （ （ 散點圖中，若所有樣本點（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲線 y=1 附近波動經(jīng)計算 1， 3， 1，則實數(shù) b 的值為 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17復(fù)數(shù) z=（ m+6） +（ 2m 15） i（ m R），求滿足下列條件的 m 的值 （ 1） z 是純虛數(shù)； （ 2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限 18如圖（ 1），在三角形 ， D 類比該命題，如圖（ 2），三棱錐 A ， 面 A 點在三角形 在平面內(nèi)的射影為 M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題 19在平面直角坐標系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ k 為參數(shù)），以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸，與直角坐標系 相同的長度單位，建立極坐標系圓 =2 （ ）求圓 C 的直角坐標方程； （ ）設(shè)圓 C 與直線 l 交于點 A， B，若點 M 的坐標為（ 2， 3）求 |值 20某工廠有 25 周歲 以上（含 25 周歲）的工人 300 名， 25 周歲以下的工人 200 名為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100 名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在 “25 周歲以上（含 25 周歲） ”和 “25周歲以下 ”分為兩組，并將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成 5 組： 50， 60）， 60， 70）， 70，80）， 80， 90）， 90， 100加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖 （ 1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足 60 件的工人中隨機抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周歲以下的工人的概 率 （ 2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于 80 件者為 “生產(chǎn)能手 ”，請你根據(jù)已知條件作出 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%以上的把握認為 “生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān) ”？ 第 4 頁（共 17 頁） 附表及公示 P（ k） k 2= 21已知函數(shù) f（ x） =|x 2| |x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 1 （ 2）當 x 0 時 ，函數(shù) g（ x） = （ a 0）的最小值總大于函數(shù) f（ x），試求實數(shù)a 的取值范圍 22在平面直角坐標系 以原點 O 為極點以 x 軸為正半軸為極軸，與直角坐標系 知曲線 C 的極坐標方程為 2 4 ） +6=0 （ ）求曲線 C 的普通方程； （ ）設(shè)點 P（ x， y）是曲線 C 上任意一點，求 最大值和最小值 第 5 頁（共 17 頁） 2015年江西省贛州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A B C D 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 先對復(fù)數(shù)進行化簡運算，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得答案 【解答】 解： = = ， 復(fù)數(shù) （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為 ， 故選： B 2用反證法證明 命題： “三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于 60 度 ”時，假設(shè)正確的是（ ） A假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60 度 B假設(shè)三內(nèi)角都大于 60 度 C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 60 度 D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于 60 度 【考點】 反證法與放縮法 【分析】 一些正面詞語的否定： “是 ”的否定： “不是 ”； “能 ”的否定： “不能 ”； “都是 ”的否定：“不都是 ”； “至多有一個 ”的否定： “至少有兩個 ”； “至少有一個 ”的否定： “一個也沒有 ”； “是至多有 n 個 ”的否定： “至少有 n+1 個 ”； “任意的 ”的否定： “某個 ”； “任意兩個 ”的否定： “某兩個 ”； “所有的 ”的否定： “某些 ” 【解答】 解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定， “至少有一個 ”的否定： “一個也沒有 ”；即 “三內(nèi)角都大于 60 度 ” 故選 B 3已知變量 x， y 的取值如表所示： x 4 5 6 y 8 6 7 如果 y 與 x 線性相關(guān)，且線性回歸方程為 ，則 的值為（ ） A 1 B C D 【考點】 線性回歸方程 第 6 頁（共 17 頁） 【分析】 根據(jù)所給的三組數(shù)據(jù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)線性回歸直線一定過樣本中心點，把樣本中心點代入所給的方程，得到 的值 【解答】 解：根據(jù)所給的三對數(shù)據(jù)，得到 = =5， = =7， 這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（ 5， 7） 線性回歸直線的方程一定過樣本中心點， 7=5 +2， =1 故選： A 4若 P= + ， Q= + （ a 0），則 P， Q 的大小關(guān)系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a 的取值確定 【考點】 分析法和綜合法 【分析】 本題考查的知識點是證明的方法，觀察待證明的兩個式子 P= + ， Q=+ ，很難找到由已知到未知的切入點，故我們可以 用分析法來證明 【解答】 解： 要證 P Q，只要證 只要證： 2a+7+2 2a+7+2 ， 只要證： a a+12， 只要證： 0 12， 0 12 成立， P Q 成立 故選 C 5設(shè)點 P 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 3+3i，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點 ） A（ 3， ） B（ 3， ） C（ 3 ， ） D（ 3 ， ） 【考點】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；點的極坐標和直角坐標的互化 【分析】 根據(jù)極坐標的定義先求出極坐標的軸長，后求出 P 點的角度即可 【解答】 解：復(fù)數(shù)對應(yīng)點 P（ 3， 3）； 極軸長為： = =3 ， 所以有： ， 解得 = ， 故選： C 第 7 頁（共 17 頁） 6在極坐標系中，點（ 2， ）到直線 （ =6 的距離為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考點】 簡單曲線的極坐標 方程 【分析】 把點的坐標與極坐標方程分別化為直角坐標及其方程，利用點到直線的距離公式即可得出 【解答】 解：點 P（ 2， ）化為： P ，即 P 直線 （ =6 化為直角坐標方程： x+ y 6=0， 點 P 到直線的距離 d= = =1 故選： D 7下列不等式一定成立的是（ ） A 2|x|（ x R） B ） x 0） C 2（ x k Z） D 1（ x R） 【考點】 基本不等式 【分析】 由重要不等 式 a2+2可判斷 A 一定成立；取 x= ，計算可判斷 B 不一定成立；舉 x= 時，計算判斷 C 不一定成立；取 x=0，計算即可判斷 D 不一定成立 【解答】 解：對于 A， 2|x|，當且僅當 x= 1 時，取得等號故 A 一定成立； 對于 B，當 x= 時， ） = B 不一定成立； 對于 C，當 x= 時， ， 2，故 C 不一定成立； 對于 D，當 x=0 時， =1，故 D 不一定成立 故選： A 8極坐標方程 示的曲線為（ ） A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【分析】 將極坐標方程化為直角坐標方程，就可以得出結(jié)論 【解答】 解：極坐標方程 化為： 或 =4 或 x2+4y=0 極坐標方程 示的曲線為一條直線和一個圓 故選 C 第 8 頁（共 17 頁） 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=8，則輸出 S=（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖及已知中輸入 8，可得：進入循環(huán)的條件為 i 8，即 i=2， 4，6， 8，模擬程序的運行結(jié)果，即可得到輸出的 S 值 【解答】 解：當 i=2 時， S=0+ = ， i=4； 當 i=4 時， S= + = ， i=6； 當 i=6 時， S= + = ， i=8； 當 i=8 時， S= + = ， i=10； 不滿足循環(huán)的條件 i 8，退出循環(huán)，輸出 S= 故選 A 第 9 頁（共 17 頁） 10設(shè) n N*， f（ n） =1+ + + ，計算知 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，由此猜測（ ） A f（ 2n） B f（ C f（ 2n） D以上都不對 【考點】 類比推理 【分析】 本題考查的知識點是歸納推理， 我們可以根據(jù)已知條件中的不等式 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，分析不等式左邊的自變量，及右邊數(shù)的與項的關(guān)系，我們易得左邊的自變量值為 2n，右邊的分母都為 2，分子為 n+2，由此歸納推理后，不難等到第 n 個不等式 【解答】 解：由已知 f（ 2） =f（ 21） = ， f（ 4） =f（ 22） ， f（ 8） =f（ 23） ， f（ 16） =f（ 24） ， f（ 32） =f（ 25） ， 故猜測 f（ 2n） 故選 C 第 10 頁（共 17 頁） 11已知 x 0， y 0，若 1 2， 1 4，則 取值范圍是（ ） A 1， 5 B 1， 4 C（ 2， 6） D（ 0， 5） 【考點】 不等式的基本性質(zhì)；對數(shù)的運算性質(zhì) 【分析】 由 1 4， 1 2，可得： 1 4， 1 2，而2 2m（ +n（ 利用 “待定系數(shù)法 ”即可得出 【解答】 解：由 1 4， 1 2，可得： 1 4， 1 2， 而 2 2m（ +n（ ， 解得 m= ， n= 2（ + （ 1 5， 故選： A 12對于大于 1 的自然數(shù) m 的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的 “分裂 ”23=3+5， 33=7+9+11，43=13+15+17+19， ， 仿此，若 “分裂數(shù) ”中有一個是 59，則 m 的值為（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考點】 歸納推理 【分析】 由題意知， n 的三次方就是 n 個連續(xù)奇數(shù)相加，且從 2 開始，這些三次方的分解正好是從奇數(shù) 3 開始連續(xù)出現(xiàn)，由此規(guī)律即可找出 “分裂數(shù) ”中有一個是 59 時， m 的值 【解答】 解：由題意，從 23 到 好用去從 3開始的連續(xù)奇數(shù)共 2+3+4+m=個， 59 是從 3 開始的第 29 個奇數(shù) 當 m=7 時，從 23 到 73，用去從 3 開始的連續(xù)奇數(shù)共 =27 個 當 m=8 時，從 23 到 83，用去從 3 開始的連續(xù)奇數(shù)共 =35 個 故 m=8 故選 C 第 11 頁（共 17 頁） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分） 13若直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），則直線 l 傾斜角的余弦值為 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程 【分析】 設(shè)直線 l 傾斜角為 直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）化為，可得 ，利用三角函數(shù)的定義即可得出 【解答】 解：設(shè)直線 l 傾斜角為 直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）化為 ， 則 ， （ 0， ）， = 故答案為： 14（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在極坐標系下，點 ， ， O 是極點，則 面積等于 【考點】 點的極坐標和直角坐標的互化 【分析】 根據(jù)點的極坐標的意義 可得 ， ， ，由此求得 面積值 【解答】 解：在極坐標系下，點 ， ， O 是極點，則 ， ， = ， 面積等于 ， 故答案為 第 12 頁（共 17 頁） 15若不等式 |a 2|+1 對于一切非零實數(shù) x 均成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 （ 1，3） 【考點】 絕對值不等式的解法；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用 【分析】 由題意求出 的最小值，只要 |a 2|+1 小于最小值，即可滿足題意，求出 【解答】 解： x 與 同號， （當且僅當 x= 1 時取 “=”） 2 |a 2|+1 |a 2| 1，解得 1 a 3 故答案為：（ 1， 3） 16在一組樣本數(shù)據(jù)（ （ （ 散點圖中，若所有樣本點（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲線 y=1 附近波動經(jīng)計算 1， 3， 1，則實數(shù) b 的值為 【考點】 線性回歸方程 【分析】 求出各對應(yīng)點的坐標，代入曲線方程，可以求出實數(shù) b 的值 【解答】 解：根據(jù)題意，把對應(yīng)點的坐標代入曲線 y=1， y1=1， y2=1， y6=1， y1+y6=b（ + 6， 13=b 21 6， b= ， 故答案為： 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17復(fù)數(shù) z=（ m+6） +（ 2m 15） i（ m R），求滿足下列條件的 m 的值 （ 1） z 是純虛數(shù)； （ 2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限 【考點】 復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)的代數(shù)表 示法及其幾何意義 【分析】 （ 1）利用純虛數(shù)的定義和性質(zhì)求解 （ 2）利用 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限的性質(zhì)求解 【解答】 解：（ 1）若 z 是純虛數(shù)， 則 ， 解得 m= 2 （ 2）若 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限， 第 13 頁（共 17 頁） 則 解得 3 m 2 18如圖（ 1），在三角形 ， D 類比該命題，如圖（ 2），三棱錐 A ， 面 若 A 點在三角形 在平面內(nèi)的射影為 M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題 【考點】 四種命題的真假關(guān)系；類比推理 【分析】 利用類比推理，將平面中的線與空間中的面類比，得到類比結(jié)論 通過連接 到 到 到滿足平面條件的三角形 用平面三角形的性質(zhì)得證 【解答】 解：命題是：三棱錐 A ， 面 A 點在三角形 在平面內(nèi)的射影為 M， 則有 S 一個真命題 證明如下： 在圖（ 2）中，連接 延長交 E，連接 有 因為 面 以 又 以 M 于是 = =S 故有 S 9在平面直角坐標系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ k 為參數(shù)），以原點 O 為極點，以 x 軸正半 軸為極軸，與直角坐標系 相同的長度單位，建立極坐標系圓 =2 （ ）求圓 C 的直角坐標方程； （ ）設(shè)圓 C 與直線 l 交于點 A， B，若點 M 的坐標為（ 2， 3）求 |值 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程 【分析】 （ I）將極坐標方程兩邊同乘 ，根據(jù)極坐標與直角坐標的對應(yīng)關(guān)系得出圓 C 的直角坐標方程； （ 出直線 l 的標準參數(shù)方程，代入圓 C 的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出 |值 【解答】 解：（ ） =2 2=2 x2+y 圓 C 的直角坐標方程為 x2+2y=0，即 y 1） 2=1 第 14 頁（共 17 頁） （ ）直線 l 的標準參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)） 代入圓 C 的直角坐標方程，得 即 ， 設(shè) A， B 對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1 |7 20某工廠有 25 周歲以上（含 25 周歲）的工人 300 名， 25 周歲 以下的工人 200 名為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100 名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在 “25 周歲以上（含 25 周歲） ”和 “25周歲以下 ”分為兩組，并將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成 5 組： 50， 60）， 60， 70）， 70，80）， 80， 90）， 90， 100加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖 （ 1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足 60 件的工人中隨機抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周歲以下的工人的概率 （ 2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于 80 件 者為 “生產(chǎn)能手 ”，請你根據(jù)已知條件作出 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%以上的把握認為 “生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān) ”？ 附表及公示 P（ k） k 2= 【考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用 【分析】 （ 1）由分層抽樣的特點可得樣本中有 25 周歲以上、下組工人人數(shù)，再由所對應(yīng)的頻率可得樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù) 不足 60 件的工人中， 25 周歲以上、下組工人的人數(shù)分別為3， 2，由古典概型的概率公式可得答案； （ 2）由頻率分布直方圖可得 “25 周歲以上組 ”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，以及 “25 周歲以下組 ”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，據(jù)此可得 2 2 列聯(lián)表，可得 得結(jié)論 【解答】 解：（ 1）由已知可得，樣本中有 25 周歲以上組工人 100 =60 名， 第 15 頁（共 17 頁） 25 周歲以下組工人 100 =40 名， 所以樣本 中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足 60 件的工人中， 25 周歲以上組工人有 60 （人）， 25 周歲以下組工人有 40 （人）， 故從中隨機抽取 2 名工人所有可能的結(jié)果共 =10 種， 其中至少 1 名 “25 周歲以下組 ”工人的結(jié)果共 =7 種， 故所求的概率為： ； （ 2）由頻率分布直方圖可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周歲以上組 ”中的生產(chǎn)能手有 60 5（人）， “25 周歲以下組 ”中的生產(chǎn)能手有