四川省廣元市2016年高考數(shù)學三模試卷（理科）含答案解析

四川省廣元市 2016 年高考數(shù)學三模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 2已知 R 是實數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 3閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入 x 的值為 5，則輸出的 y 值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 4下面四個函數(shù)中，以 為最小正周期，且在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)的是（ ） A y= y=2|C y=（ ） y=已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 6若從 1， 2， 3， ， 9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ） A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 7在 ， M 是 所在直線上任意一點，若 = 2 + ，則 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8不等式組 的解集記為 D，有下列四個命題： （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 3 （ x， y） D， x+2y 1 其中真命題是（ ） A 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x），且在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù) ，則（ ） A f（ 17） f（ 19） f（ 40） B f（ 40） f（ 19） f（ 17） C f（ 19） f（ 40） f（ 17） D f（ 17） f（ 40） f（ 19） 10已知圓 O： x2+，直線 l： x+2y 4=0，點 P（ 直線 l 上若存在圓 C 上的點 Q，使得 5（ O 為坐標原點），則 取值范圍是（ ） A 0， 1 B C D 二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分） 11在（ 1 3x） 8 的展開式中，各項系數(shù)之和為 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費：若每月用水不超過 20每立方米收費按 2 元收取；若超過 20超過的部分按每立方米 3 元收取，如果某戶居民在某月所交水費的平均價為每立方米 ，則這戶居民這月共用水 13若 x x+4=0 的兩根，且 ， ，則+= 14一個多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點都在球面上）的體積為 15已知 x R，符號 x表示不超過 x 的最大整數(shù)，若函數(shù) f（ x） = （ x 0），則給出以下四個結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域為 0， 1； 函數(shù) f（ x）的圖象是 一條曲線； 函數(shù) f（ x）是（ 0， +）上的減函數(shù)； 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個零點時 其中正確的序號為 三、解答題（共 6 小題，滿分 75 分） 16設(shè)數(shù)列 前 n 項和為 知 ， =43n 1（ n N*） （ 1）設(shè) bn=n，求證： 等比數(shù)列，并求 通項公式； （ 2）求數(shù)列 通項公式及 17已知 a， b， c 分別是 內(nèi)角 A， B， C 所對的邊，且 c=2， （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 ，求邊 b 的長 18如圖所示， 邊長為 2 的正三角形， 平面 ，且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè)，它們在 內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C，且 ABC是 ， 的距離為 5 （ 1）求點 A 到平面 的距離； （ 2）求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個紅球、 1 個綠球和 2 個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個紅球、 1 個綠球和 3 個黑球，現(xiàn)從甲乙兩個盒子內(nèi)各任取 2 球 （ 1）求取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率； （ 2）求取出的 4 個球中紅球個數(shù)不超過 2 個的概率； （ 3）設(shè)取出的 4 個球中紅球的個數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學期望 20如圖，橢圓 E： 的離心率 e= ，經(jīng)過橢圓 E 的下頂點 A 和右焦點 F 的直線 l 的圓 C： y 2b） 2= 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若直線 m 與 l 垂直，且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點，當 （ O 是坐標原點）時，求直線 m 的方程 21已知函數(shù) f（ x） =ex+a R （ ）若曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點 P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點 P 2016 年四川省廣元市高考數(shù)學三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 【分析】 復(fù)數(shù)的除法的運算需要分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡即可 【解答】 解： 故選 A 【點評】 本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運算，屬于容易題 2已知 R 是實數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 【分析】 先化簡 2 個集合 M、 N 到最簡形式求出 M， N，依照補集的定義求出 按照交集的定義求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= =y|y 0， 故有 Ny|y 0x|x 0，或 x 2=0， +） （ ， 0） （ 2， +） =0， 2， 故選 B 【點評】 本題考查函數(shù)的值域求法，不等式的解法，以及求 2 個集合的補集和交集的方法 3閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入 x 的值為 5，則輸出的 y 值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 【分析】 框圖輸入框中首先輸入 x 的值為 5，然后判斷 |x|與 3 的大小， |x| 3，執(zhí)行循環(huán)體， |x| 3 不成立時跳出循環(huán)， 執(zhí)行運算 ，然后輸出 y 的值 【解答】 解：輸入 x 的值為 5， 判斷 | 5| 3 成立，執(zhí)行 x=| 5 3|=8； 判斷 |8| 3 成立，執(zhí)行 x=|8 3|=5； 判斷 |5| 3 成立，執(zhí)行 x=|5 3|=2； 判斷 |2| 3 不成立，執(zhí)行 12y 所以輸出的 y 值是 1 故選 A 【點評】 本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當型循環(huán)，當型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件時算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題 4下面四個 函數(shù)中，以 為最小正周期，且在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)的是（ ） A y= y=2|C y=（ ） y=分析】 由三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐個選項驗證可得 【解答】 解：選項 A， y=（ 1+ 由 2 2x 2可得 x ， k Z， 當 k=0 時，可得函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上為增函數(shù)，故錯誤； 選項 B，當 x （ ， ）時， y=2正弦函數(shù)圖象可知， 函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)，故正確； 選項 C， y= 的周期為 2，故錯誤； 選項 D， y=期為 ，在區(qū)間（ ， ）上為增函數(shù)，故錯誤 故選： B 【點評】 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬基礎(chǔ)題 5已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【分析】 先求出焦點坐標，利用雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，可得 =2，結(jié)合 c2=a2+出 a， b，即可求出雙曲線的方程 【解答】 解： 雙曲線的一個焦點在直線 l 上， 令 y=0，可得 x= 5，即焦點坐標為（ 5， 0）， c=5， 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10， =2， c2=a2+ ， 0， 雙曲線的方程為 =1 故選： A 【點評】 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題 6若從 1， 2， 3， ， 9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ） A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 【分析】 本題是一個分類計數(shù)問題，要得到四個數(shù)字的和 是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況，當取得 4 個偶數(shù)時，當取得 4 個奇數(shù)時，當取得 2 奇 2 偶時，分別用組合數(shù)表示出各種情況的結(jié)果，再根據(jù)分類加法原理得到不同的取法 【解答】 解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，要得到四個數(shù)字的和是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況， 當取得 4 個偶數(shù)時，有 =1 種結(jié)果， 當取得 4 個奇數(shù)時，有 =5 種結(jié)果， 當取得 2 奇 2 偶時有 =6 10=60 共有 1+5+60=66 種結(jié)果， 故選 D 【點評】 本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把符合條件的取法分成三種情況，利用組合數(shù)表示出結(jié)果，本題是一個基礎(chǔ)題 7在 ， M 是 所在直線上任意一點，若 = 2 + ，則 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根據(jù) A、 M、 B 三點共線，可得存在實數(shù) 使 = 成立，化簡整理得= ，結(jié)合已知等式建立關(guān)于 、 的方程組，解之即可得到實數(shù) 的值 【解答】 解： ， M 是 所在直線上任意一點， 存在實數(shù) ，使得 = ，即 化簡得 = ， = 2 + ， 結(jié)合平面向量基本定理，得 ，解之得 =3， = 故選： C 【點評】 本題給出 A、 M、 B 三點共線，求用向量 、 表示 的表達式，著重考查了平面向量的線性運算和平面向量基本定理等知識，屬于基礎(chǔ)題 8不等式組 的解集記為 D，有下列四個命題： （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 3 （ x， y） D， x+2y 1 其中真命題是（ ） A 分析】 作出不等式組 的表示的區(qū)域 D，對四個選項逐一分析即可 【解答】 解：作出圖形如下： 由圖知，區(qū)域 D 為直線 x+y=1 與 x 2y=4 相交的上部角型區(qū)域， 域 D 在 x+2y 2 區(qū)域的上方，故： （ x， y） D， x+2y 2 成立； 直線 x+2y=2 的右上方和區(qū)域 D 重疊的區(qū)域內(nèi)， （ x， y） D， x+2y 2，故 （ x， y） D， x+2y 2 正確； 圖知，區(qū)域 D 有部分在直線 x+2y=3 的上方，因此 （ x， y） D， x+2y 3 錯誤； x+2y 1 的區(qū)域（左下方的虛線區(qū)域）恒在區(qū)域 D 下方，故 （ x， y） D， x+2y 1 錯誤； 綜上所述， 確； 故選： C 【點評】 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題 9已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x），且在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù)，則（ ） A f（ 17） f（ 19） f（ 40） B f（ 40） f（ 19） f（ 17） C f（ 19） f（ 40） f（ 17） D f（ 17） f（ 40） f（ 19） 【分析】 由 f（ x 4） = f（ x）求出函數(shù) f（ x）的周期，由奇函數(shù)的性質(zhì)求出 f（ x）的對稱軸，由條件判斷出以 f（ x）在 2， 4上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的性質(zhì)、周期性、對稱性、單調(diào)性判斷出函數(shù)值的大小關(guān)系 【解答】 解：由 f（ x 4） = f（ x）得， f（ x+4） = f（ x）， 則 f（ x+8） =f（ x），函數(shù) f（ x）的周期是 8， 因為 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)， 所以 f（ x+4） =f（ x），即函數(shù) f（ x）的對稱軸是 x=2， 因為 f（ x）在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù)， 所以 f（ x）在 2， 4上是減函數(shù)， 因為 f（ 17） = f（ 17） = f（ 1）， f（ 19） =f（ 16+3） =f（ 3） =f（ 1） 0， f（ 40） =f（ 0） =0， 所以 f（ 17） f（ 40） f（ 19）， 故選： D 【點評】 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用， 考查化簡、變形能力，屬于中檔題 10已知圓 O： x2+，直線 l： x+2y 4=0，點 P（ 直線 l 上若存在圓 C 上的點 Q，使得 5（ O 為坐標原點），則 取值范圍是（ ） A 0， 1 B C D 【分析】 根據(jù)條件若存在圓 C 上的點 Q，使得 5（ O 為坐標原點），等價 2即可，求出不 等式的解集即可得到 范圍 【解答】 解：圓 O 外有一點 P，圓上有一動點 Q， 圓相切時取得最大值 如果 長，那么 以獲得的最大值將變小可以得知，當 5，且 圓相切時， ， 而當 2 時， Q 在圓上任意移動， 45恒成立 0 因此滿足 2，就能保證一定存在點 Q，使得 5，否則，這樣的點 Q 是不存在的； 點 P（ 直線 x+2y 4=0 上， 4=0，即 |= ） 2= 2 4， 20， 解得， 0 ， 取值范圍是 0， 故選： B 【點評】 本題考查點與 圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合判斷出 2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，難度較大 二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分） 11在（ 1 3x） 8 的展開式中，各項系數(shù)之和為 256 【分析】 在（ 1 3x） 8 的展開式中，令 x=1，可得各項系數(shù)之和 【解答】 解：在（ 1 3x） 8 的展開式中，令 x=1，可得各項系數(shù)之和為 （ 2） 8=256， 故答案為： 256 【點評】 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于 基礎(chǔ)題 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費：若每月用水不超過 20每立方米收費按 2 元收??；若超過 20超過的部分按每立方米 3 元收取，如果某戶居民在某月所交水費的平均價為每立方米 ，則這戶居民這月共用水 25 【分析】 設(shè)他這個月共用了 x 立方米的水，依據(jù)錢數(shù)不變可列方程，依據(jù)等式的性質(zhì)即可求解 【解答】 解：設(shè)他這個月共用了 x 立方米的水， 則所交水費 f（ x） = ， 某戶居民在某月所交水費的平均價為每立方米 ，超過了 2 元， x 20， 則由 20 2+（ x 20） 3= 40+3x 60= 即 0 得 x=25 故他這個月共用了 25 立方米的水 故答案為： 25 【點評】 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立分段函數(shù)模型，是解決本題的關(guān)鍵 13若 x x+4=0 的兩根，且 ， ，則 += 【分析】 由 x+4=0 的兩個根，根據(jù)韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出 +）的值，然后根據(jù)兩根之和小于 0，兩根之積大于 0，得到兩根都為負數(shù)，根據(jù) 與 的范圍，求出 +的范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由求出的 +）的值即可求出 +的值 【解答】 解：依題意得 3 0， 0， +） = = = 依題意知 0， 0，又 ， （ ， ）， （ ， 0）， （ ， 0）， + （ ， 0）， += 故答案為： 【點評】 此題考查學生靈活運用韋達定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題本題的關(guān)鍵是找出 +的范圍 14一個多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點都在球面上）的體積為 【分析】 由題意畫出原幾何體，通過補形得到幾何體外接球的半徑，代入球的體積公式得答案 【解答】 解：由三視圖還原原幾何體如圖， 原幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱 補形為棱長為 2 的正方體，則其外接球的直徑（ 2R） 2=3 22=12， R= 則其外接球的體積為 V= 故答案為： 【點評】 本題考查由三視圖求多面體的體積，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題 15已知 x R，符號 x表示不超過 x 的最大整數(shù)，若函數(shù) f（ x） = （ x 0），則給出以下四個結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域為 0， 1； 函數(shù) f（ x）的圖象是一條曲線； 函數(shù) f（ x）是（ 0， +）上的減函數(shù)； 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個零點時 其中正確的序號為 【分析】 通過舉特例，可得 、 、 錯誤；數(shù)形結(jié)合可得 正確，從而得出結(jié)論 【解答】 解：由于符號 x表示不超過 x 的最大整數(shù)，函數(shù) f（ x） = （ x 0）， 取 x= x= 2， f（ x） = 1，故 不正確 由于當 0 x 1， x=0，此時 f（ x） =0； 當 1 x 2， x=1，此時 f（ x） = ； 當 2 x 3， x=2，此時 f（ x） = ，此時 f（ x） 1， 當 3 x 4， x=3，此時 f（ x） = ，此時 g（ x） 1， 當 4 x 5， x=4，此時 f（ x） = ，此時 g（ x） 1， 故 f（ x）的圖象不會是一條曲線，且 f（ x）不會是（ 0， +）上的減函數(shù)，故排除 、 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個零點時，函數(shù) f（ x）的圖象和直線 y=a 有且僅有 3 個交點， 此時， ，故 正確， 故答案為： 【點評】 本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題（共 6 小題，滿分 75 分） 16設(shè)數(shù)列 前 n 項和為 知 ， =43n 1（ n N*） （ 1）設(shè) bn=n，求證： 等比數(shù)列，并求 通項公式； （ 2）求數(shù)列 通項公式及 【分析】 （ 1）通過對 =43n+1 變形可知 （ n+1） =44n，進而可知數(shù)列 首項為 1、公比為 4 的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論； （ 2）通過（ 1）可知 an=n+4n 1，進而利用分組求和法計算即得結(jié)論 【解答】 （ 1）證明： =43n+1， （ n+1） =44n， 又 bn=n， =4 又 b1=1=2 1=1， 數(shù)列 首項為 1、公比為 4 的等比數(shù)列， n 1（ n N*）； （ 2）解：由（ 1）知 bn=n=4n 1， an=n+4n 1， + = + 【點評】 本題考查數(shù)列的通項及前 n 項和，考查運算求解能力，考查分組求和法，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題 17已知 a， b， c 分別是 內(nèi)角 A， B， C 所對的邊，且 c=2， （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 ，求邊 b 的長 【分析】 （ 1）已知等式利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數(shù)公 式化簡，整理求出 值，即可確定出 C 的度數(shù)； （ 2）由 值求出 值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡 A+C），把各自的值代入求出 A+C）的值，即為 值，再由 c， 值，利用正弦定理求出b 的值即可 【解答】 解：（ 1）由題意得 = 整理得： B+C） = 0， ， C 為三角形內(nèi)角， C= ； （ 2） ， = ， A+C） = （ ） + = ， 由正弦定理得： = ， 則 b= = 【點評】 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵 18如圖所示， 邊長為 2 的正三角形， 平面 ，且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè)，它們在 內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C，且 ABC是 ， 的距離為 5 （ 1）求點 A 到平面 的距離； （ 2）求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【分析】 （ 1）過 A 作 D， E，推導(dǎo)出 CAB=90，由此能求出 的距離 （ 2）以 A為原點，射線 AB， AC， AA 分別為 x， y， z 軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【解答】 解：（ 1）如圖，過 A 作 D， E 由題意知 5， BC=2 2 設(shè) x，則 x， x， ， CAB=90， 4 BC=2， 4（ 5 x） 2=2， x=5 或 x=5+ （舍）， A 點到平面 的距離為 5 6 （ 2）以 A為原點，射線 AB， AC， AA 分別為 x， y， z 軸正方向建立空間直角坐標系 7 由（ 1）可知： A（ 0， 0， 0）， ， A（ 0， 0， 5 ）， B（ ）， C（ 0， ， 5）， 8 平面 ABC的法向量為 =（ 0， 0， 1）， 9 =（ ）， =（ 0， ， ）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 設(shè)平面 平面 所成較小二面角為 ， 10 則 = ， 11 平面 平面 所成較小二面角的余弦值為 12 【點評】 本題考查點到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個紅球、 1 個綠球和 2 個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個紅球、 1 個綠球和 3 個黑球，現(xiàn)從甲乙兩個盒子內(nèi)各任取 2 球 （ 1）求取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率； （ 2）求取出的 4 個球中紅球個數(shù)不超過 2 個的概率； （ 3）設(shè)取出的 4 個球中紅球的個數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學期望 【分析】 （ ） 設(shè) 4 個球中紅球個數(shù)為 ，即 =1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒，由此能求出取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率 （ ） 4 個球中的紅球個數(shù) 不超過 2 個，則 可以是 0 個， 1 個， 2 個，分別求出 =0），P（ =1）， P（ =2），由此能求出 P（ 2） （ ） 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 9 由（ ）分別求出： p（ =0）， p（ =1）， p（ =2）， p（ =3），由此能求出 的分布列和數(shù)學期望 【解答】 解：（ ） 設(shè) 4 個球中紅球個數(shù)為 ，即 =1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒 p（ =1） = + = 4 （ ） 4 個球中的紅球個數(shù) 不超過 2 個，則 可以是 0 個， 1 個， 2 個 p（ =0） = = ， p（ =1） = + = ， p（ =2） = + = ， p（ 2） = 8 （ ） 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 9 由（ ）（ ）知： p（ =0） = ， p（ =1） = ， p（ =2） = ， 而 p（ =3） = = ， 10 的分布列為： 0 1 2 3 P = 12 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題之一 20如圖，橢圓 E： 的離心率 e= ，經(jīng)過橢圓 E 的下頂點 A 和右焦點 F 的直線 l 的圓 C： y 2b） 2= 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若直線 m 與 l 垂直，且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點，當 （ O 是坐標原點）時，求直線 m 的方程 【分析】 （ 1）設(shè)出 A， F 的坐標，可得直線 方程，求得圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條 件： d=r，以及橢圓的離心率公式，計算可得 a=2， b=1，進而得到橢圓方程； （ 2）求得直線 l 的斜率，由兩直線垂直的條件，可得直線 m 的斜率，設(shè) m 的方程為 y=x+t，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于 0，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，解方程可得 t，進而得到所求直線的方程 【解答】 解：（ 1）由題意知， A（ 0， b）， F（ c， 0）， 可得直線 方程為 ， 圓 C： y 2b） 2= 的圓心為（ 0， 2b），半徑為 ， 由直線 圓 C 相切， 可得 = ， 又 b2+c2=e= = ， 解得 a=2， b=1， c= ， 則橢圓方程為 +； （ 2）由（ 1）可知，直線 l 的斜率為 ， 由直線 m 與 l 垂直，可得直線 m 的斜率為 ， 設(shè) m 的方程為 y= x+t，代入橢圓方程 +， 可得 138 4=0 由 =19252（ 44） 0，可得 t ， 記 P（ Q（ 則 x1+， ， 而 =（ =（ 即有 = t t =4t（ x1+ += ， 解得 t= （ ， ）， 即有直線 m 的方程為 y= x 【點評】 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用直線和圓相切的條件： d=r，以及橢圓的離心率公式， 考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式大于 0，同時考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =ex+a R （ ）若曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點 P，曲線在該點