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四川省廣元市 2016 年高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科) (解析版) 一、選擇題(共 10 小題,每小題 5 分,滿分 50 分) 1 i 是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) =( ) A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 2已知 R 是實(shí)數(shù)集, ,則 N ) A( 1, 2) B 0, 2 C D 1, 2 3閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入 x 的值為 5,則輸出的 y 值是( ) A 1 B 1 C 2 D 4下面四個(gè)函數(shù)中,以 為最小正周期,且在區(qū)間( , )上為減函數(shù)的是( ) A y= y=2|C y=( ) y=已知雙曲線 =1( a 0, b 0)的一條漸近線平行于直線 l: y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上,則雙曲線的方程為( ) A =1 B =1 C =1 D =1 6若從 1, 2, 3, , 9 這 9 個(gè)整數(shù)中同時(shí)取 4 個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有( ) A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 7在 , M 是 所在直線上任意一點(diǎn),若 = 2 + ,則 =( ) A 1 B 2 C 3 D 4 8不等式組 的解集記為 D,有下列四個(gè)命題: ( x, y) D, x+2y 2 ( x, y) D, x+2y 2 ( x, y) D, x+2y 3 ( x, y) D, x+2y 1 其中真命題是( ) A 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f( x)滿足 f( x 4) = f( x),且在區(qū)間 0, 2上是增函數(shù) ,則( ) A f( 17) f( 19) f( 40) B f( 40) f( 19) f( 17) C f( 19) f( 40) f( 17) D f( 17) f( 40) f( 19) 10已知圓 O: x2+,直線 l: x+2y 4=0,點(diǎn) P( 直線 l 上若存在圓 C 上的點(diǎn) Q,使得 5( O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),則 取值范圍是( ) A 0, 1 B C D 二、填空題(共 5 小題,每小題 5 分,滿分 25 分) 11在( 1 3x) 8 的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費(fèi):若每月用水不超過 20每立方米收費(fèi)按 2 元收?。蝗舫^ 20超過的部分按每立方米 3 元收取,如果某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ,則這戶居民這月共用水 13若 x x+4=0 的兩根,且 , ,則+= 14一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球(幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上)的體積為 15已知 x R,符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù),若函數(shù) f( x) = ( x 0),則給出以下四個(gè)結(jié)論: 函數(shù) f( x)的值域?yàn)?0, 1; 函數(shù) f( x)的圖象是 一條曲線; 函數(shù) f( x)是( 0, +)上的減函數(shù); 函數(shù) g( x) =f( x) a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí) 其中正確的序號(hào)為 三、解答題(共 6 小題,滿分 75 分) 16設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 , =43n 1( n N*) ( 1)設(shè) bn=n,求證: 等比數(shù)列,并求 通項(xiàng)公式; ( 2)求數(shù)列 通項(xiàng)公式及 17已知 a, b, c 分別是 內(nèi)角 A, B, C 所對(duì)的邊,且 c=2, ( 1)求角 C 的大??; ( 2)若 ,求邊 b 的長(zhǎng) 18如圖所示, 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形, 平面 ,且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè),它們?cè)?內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C,且 ABC是 , 的距離為 5 ( 1)求點(diǎn) A 到平面 的距離; ( 2)求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 2 個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 3 個(gè)黑球,現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子內(nèi)各任取 2 球 ( 1)求取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率; ( 2)求取出的 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不超過 2 個(gè)的概率; ( 3)設(shè)取出的 4 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為 ,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 20如圖,橢圓 E: 的離心率 e= ,經(jīng)過橢圓 E 的下頂點(diǎn) A 和右焦點(diǎn) F 的直線 l 的圓 C: y 2b) 2= 相切 ( 1)求橢圓 E 的方程; ( 2)若直線 m 與 l 垂直,且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點(diǎn),當(dāng) ( O 是坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),求直線 m 的方程 21已知函數(shù) f( x) =ex+a R ( )若曲線 y=f( x)在點(diǎn)( 1, f( 1)處的切線平行于 x 軸,求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; ( )試確定 a 的取值范圍,使得曲線 y=f( x)上存在唯一的點(diǎn) P,曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P 2016 年四川省廣元市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題(共 10 小題,每小題 5 分,滿分 50 分) 1 i 是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) =( ) A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 【分析】 復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡(jiǎn)即可 【解答】 解: 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算,屬于容易題 2已知 R 是實(shí)數(shù)集, ,則 N ) A( 1, 2) B 0, 2 C D 1, 2 【分析】 先化簡(jiǎn) 2 個(gè)集合 M、 N 到最簡(jiǎn)形式求出 M, N,依照補(bǔ)集的定義求出 按照交集的定義求出 N 【解答】 解: M=x| 1=x|x 0,或 x 2, N=y|y= =y|y 0, 故有 Ny|y 0x|x 0,或 x 2=0, +) ( , 0) ( 2, +) =0, 2, 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的值域求法,不等式的解法,以及求 2 個(gè)集合的補(bǔ)集和交集的方法 3閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入 x 的值為 5,則輸出的 y 值是( ) A 1 B 1 C 2 D 【分析】 框圖輸入框中首先輸入 x 的值為 5,然后判斷 |x|與 3 的大小, |x| 3,執(zhí)行循環(huán)體, |x| 3 不成立時(shí)跳出循環(huán), 執(zhí)行運(yùn)算 ,然后輸出 y 的值 【解答】 解:輸入 x 的值為 5, 判斷 | 5| 3 成立,執(zhí)行 x=| 5 3|=8; 判斷 |8| 3 成立,執(zhí)行 x=|8 3|=5; 判斷 |5| 3 成立,執(zhí)行 x=|5 3|=2; 判斷 |2| 3 不成立,執(zhí)行 12y 所以輸出的 y 值是 1 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),考查了當(dāng)型循環(huán),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件時(shí)算法結(jié)束,此題是基礎(chǔ)題 4下面四個(gè) 函數(shù)中,以 為最小正周期,且在區(qū)間( , )上為減函數(shù)的是( ) A y= y=2|C y=( ) y=分析】 由三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性,逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得 【解答】 解:選項(xiàng) A, y=( 1+ 由 2 2x 2可得 x , k Z, 當(dāng) k=0 時(shí),可得函數(shù)在區(qū)間( , )上為增函數(shù),故錯(cuò)誤; 選項(xiàng) B,當(dāng) x ( , )時(shí), y=2正弦函數(shù)圖象可知, 函數(shù)在區(qū)間( , )上為減函數(shù),故正確; 選項(xiàng) C, y= 的周期為 2,故錯(cuò)誤; 選項(xiàng) D, y=期為 ,在區(qū)間( , )上為增函數(shù),故錯(cuò)誤 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性,屬基礎(chǔ)題 5已知雙曲線 =1( a 0, b 0)的一條漸近線平行于直線 l: y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上,則雙曲線的方程為( ) A =1 B =1 C =1 D =1 【分析】 先求出焦點(diǎn)坐標(biāo),利用雙曲線 =1( a 0, b 0)的一條漸近線平行于直線 l: y=2x+10,可得 =2,結(jié)合 c2=a2+出 a, b,即可求出雙曲線的方程 【解答】 解: 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上, 令 y=0,可得 x= 5,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 5, 0), c=5, 雙曲線 =1( a 0, b 0)的一條漸近線平行于直線 l: y=2x+10, =2, c2=a2+ , 0, 雙曲線的方程為 =1 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題 6若從 1, 2, 3, , 9 這 9 個(gè)整數(shù)中同時(shí)取 4 個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有( ) A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 【分析】 本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題,要得到四個(gè)數(shù)字的和 是偶數(shù),需要分成三種不同的情況,當(dāng)取得 4 個(gè)偶數(shù)時(shí),當(dāng)取得 4 個(gè)奇數(shù)時(shí),當(dāng)取得 2 奇 2 偶時(shí),分別用組合數(shù)表示出各種情況的結(jié)果,再根據(jù)分類加法原理得到不同的取法 【解答】 解:由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題,要得到四個(gè)數(shù)字的和是偶數(shù),需要分成三種不同的情況, 當(dāng)取得 4 個(gè)偶數(shù)時(shí),有 =1 種結(jié)果, 當(dāng)取得 4 個(gè)奇數(shù)時(shí),有 =5 種結(jié)果, 當(dāng)取得 2 奇 2 偶時(shí)有 =6 10=60 共有 1+5+60=66 種結(jié)果, 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把符合條件的取法分成三種情況,利用組合數(shù)表示出結(jié)果,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題 7在 , M 是 所在直線上任意一點(diǎn),若 = 2 + ,則 =( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根據(jù) A、 M、 B 三點(diǎn)共線,可得存在實(shí)數(shù) 使 = 成立,化簡(jiǎn)整理得= ,結(jié)合已知等式建立關(guān)于 、 的方程組,解之即可得到實(shí)數(shù) 的值 【解答】 解: , M 是 所在直線上任意一點(diǎn), 存在實(shí)數(shù) ,使得 = ,即 化簡(jiǎn)得 = , = 2 + , 結(jié)合平面向量基本定理,得 ,解之得 =3, = 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出 A、 M、 B 三點(diǎn)共線,求用向量 、 表示 的表達(dá)式,著重考查了平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題 8不等式組 的解集記為 D,有下列四個(gè)命題: ( x, y) D, x+2y 2 ( x, y) D, x+2y 2 ( x, y) D, x+2y 3 ( x, y) D, x+2y 1 其中真命題是( ) A 分析】 作出不等式組 的表示的區(qū)域 D,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可 【解答】 解:作出圖形如下: 由圖知,區(qū)域 D 為直線 x+y=1 與 x 2y=4 相交的上部角型區(qū)域, 域 D 在 x+2y 2 區(qū)域的上方,故: ( x, y) D, x+2y 2 成立; 直線 x+2y=2 的右上方和區(qū)域 D 重疊的區(qū)域內(nèi), ( x, y) D, x+2y 2,故 ( x, y) D, x+2y 2 正確; 圖知,區(qū)域 D 有部分在直線 x+2y=3 的上方,因此 ( x, y) D, x+2y 3 錯(cuò)誤; x+2y 1 的區(qū)域(左下方的虛線區(qū)域)恒在區(qū)域 D 下方,故 ( x, y) D, x+2y 1 錯(cuò)誤; 綜上所述, 確; 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于難題 9已知定義在 R 上的奇函數(shù) f( x)滿足 f( x 4) = f( x),且在區(qū)間 0, 2上是增函數(shù),則( ) A f( 17) f( 19) f( 40) B f( 40) f( 19) f( 17) C f( 19) f( 40) f( 17) D f( 17) f( 40) f( 19) 【分析】 由 f( x 4) = f( x)求出函數(shù) f( x)的周期,由奇函數(shù)的性質(zhì)求出 f( x)的對(duì)稱軸,由條件判斷出以 f( x)在 2, 4上的單調(diào)性,由奇函數(shù)的性質(zhì)、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性判斷出函數(shù)值的大小關(guān)系 【解答】 解:由 f( x 4) = f( x)得, f( x+4) = f( x), 則 f( x+8) =f( x),函數(shù) f( x)的周期是 8, 因?yàn)?f( x)是定義在 R 上的奇函數(shù), 所以 f( x+4) =f( x),即函數(shù) f( x)的對(duì)稱軸是 x=2, 因?yàn)?f( x)在區(qū)間 0, 2上是增函數(shù), 所以 f( x)在 2, 4上是減函數(shù), 因?yàn)?f( 17) = f( 17) = f( 1), f( 19) =f( 16+3) =f( 3) =f( 1) 0, f( 40) =f( 0) =0, 所以 f( 17) f( 40) f( 19), 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用, 考查化簡(jiǎn)、變形能力,屬于中檔題 10已知圓 O: x2+,直線 l: x+2y 4=0,點(diǎn) P( 直線 l 上若存在圓 C 上的點(diǎn) Q,使得 5( O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),則 取值范圍是( ) A 0, 1 B C D 【分析】 根據(jù)條件若存在圓 C 上的點(diǎn) Q,使得 5( O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),等價(jià) 2即可,求出不 等式的解集即可得到 范圍 【解答】 解:圓 O 外有一點(diǎn) P,圓上有一動(dòng)點(diǎn) Q, 圓相切時(shí)取得最大值 如果 長(zhǎng),那么 以獲得的最大值將變小可以得知,當(dāng) 5,且 圓相切時(shí), , 而當(dāng) 2 時(shí), Q 在圓上任意移動(dòng), 45恒成立 0 因此滿足 2,就能保證一定存在點(diǎn) Q,使得 5,否則,這樣的點(diǎn) Q 是不存在的; 點(diǎn) P( 直線 x+2y 4=0 上, 4=0,即 |= ) 2= 2 4, 20, 解得, 0 , 取值范圍是 0, 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)與 圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合判斷出 2,從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng),難度較大 二、填空題(共 5 小題,每小題 5 分,滿分 25 分) 11在( 1 3x) 8 的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為 256 【分析】 在( 1 3x) 8 的展開式中,令 x=1,可得各項(xiàng)系數(shù)之和 【解答】 解:在( 1 3x) 8 的展開式中,令 x=1,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為 ( 2) 8=256, 故答案為: 256 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,是給變量賦值的問題,關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果,選擇合適的數(shù)值代入,屬于 基礎(chǔ)題 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費(fèi):若每月用水不超過 20每立方米收費(fèi)按 2 元收??;若超過 20超過的部分按每立方米 3 元收取,如果某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ,則這戶居民這月共用水 25 【分析】 設(shè)他這個(gè)月共用了 x 立方米的水,依據(jù)錢數(shù)不變可列方程,依據(jù)等式的性質(zhì)即可求解 【解答】 解:設(shè)他這個(gè)月共用了 x 立方米的水, 則所交水費(fèi) f( x) = , 某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ,超過了 2 元, x 20, 則由 20 2+( x 20) 3= 40+3x 60= 即 0 得 x=25 故他這個(gè)月共用了 25 立方米的水 故答案為: 25 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題,根據(jù)條件建立分段函數(shù)模型,是解決本題的關(guān)鍵 13若 x x+4=0 的兩根,且 , ,則 += 【分析】 由 x+4=0 的兩個(gè)根,根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積,表示出所求角度的正切值,利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后,將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出 +)的值,然后根據(jù)兩根之和小于 0,兩根之積大于 0,得到兩根都為負(fù)數(shù),根據(jù) 與 的范圍,求出 +的范圍,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,由求出的 +)的值即可求出 +的值 【解答】 解:依題意得 3 0, 0, +) = = = 依題意知 0, 0,又 , ( , ), ( , 0), ( , 0), + ( , 0), += 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題本題的關(guān)鍵是找出 +的范圍 14一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球(幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上)的體積為 【分析】 由題意畫出原幾何體,通過補(bǔ)形得到幾何體外接球的半徑,代入球的體積公式得答案 【解答】 解:由三視圖還原原幾何體如圖, 原幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱 補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為 2 的正方體,則其外接球的直徑( 2R) 2=3 22=12, R= 則其外接球的體積為 V= 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由三視圖求多面體的體積,考查了空間想象能力和思維能力,是中檔題 15已知 x R,符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù),若函數(shù) f( x) = ( x 0),則給出以下四個(gè)結(jié)論: 函數(shù) f( x)的值域?yàn)?0, 1; 函數(shù) f( x)的圖象是一條曲線; 函數(shù) f( x)是( 0, +)上的減函數(shù); 函數(shù) g( x) =f( x) a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí) 其中正確的序號(hào)為 【分析】 通過舉特例,可得 、 、 錯(cuò)誤;數(shù)形結(jié)合可得 正確,從而得出結(jié)論 【解答】 解:由于符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù),函數(shù) f( x) = ( x 0), 取 x= x= 2, f( x) = 1,故 不正確 由于當(dāng) 0 x 1, x=0,此時(shí) f( x) =0; 當(dāng) 1 x 2, x=1,此時(shí) f( x) = ; 當(dāng) 2 x 3, x=2,此時(shí) f( x) = ,此時(shí) f( x) 1, 當(dāng) 3 x 4, x=3,此時(shí) f( x) = ,此時(shí) g( x) 1, 當(dāng) 4 x 5, x=4,此時(shí) f( x) = ,此時(shí) g( x) 1, 故 f( x)的圖象不會(huì)是一條曲線,且 f( x)不會(huì)是( 0, +)上的減函數(shù),故排除 、 函數(shù) g( x) =f( x) a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí),函數(shù) f( x)的圖象和直線 y=a 有且僅有 3 個(gè)交點(diǎn), 此時(shí), ,故 正確, 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題 三、解答題(共 6 小題,滿分 75 分) 16設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 , =43n 1( n N*) ( 1)設(shè) bn=n,求證: 等比數(shù)列,并求 通項(xiàng)公式; ( 2)求數(shù)列 通項(xiàng)公式及 【分析】 ( 1)通過對(duì) =43n+1 變形可知 ( n+1) =44n,進(jìn)而可知數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 4 的等比數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論; ( 2)通過( 1)可知 an=n+4n 1,進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論 【解答】 ( 1)證明: =43n+1, ( n+1) =44n, 又 bn=n, =4 又 b1=1=2 1=1, 數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 4 的等比數(shù)列, n 1( n N*); ( 2)解:由( 1)知 bn=n=4n 1, an=n+4n 1, + = + 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,考查分組求和法,對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題 17已知 a, b, c 分別是 內(nèi)角 A, B, C 所對(duì)的邊,且 c=2, ( 1)求角 C 的大?。?( 2)若 ,求邊 b 的長(zhǎng) 【分析】 ( 1)已知等式利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數(shù)公 式化簡(jiǎn),整理求出 值,即可確定出 C 的度數(shù); ( 2)由 值求出 值,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn) A+C),把各自的值代入求出 A+C)的值,即為 值,再由 c, 值,利用正弦定理求出b 的值即可 【解答】 解:( 1)由題意得 = 整理得: B+C) = 0, , C 為三角形內(nèi)角, C= ; ( 2) , = , A+C) = ( ) + = , 由正弦定理得: = , 則 b= = 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及誘導(dǎo)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵 18如圖所示, 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形, 平面 ,且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè),它們?cè)?內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C,且 ABC是 , 的距離為 5 ( 1)求點(diǎn) A 到平面 的距離; ( 2)求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【分析】 ( 1)過 A 作 D, E,推導(dǎo)出 CAB=90,由此能求出 的距離 ( 2)以 A為原點(diǎn),射線 AB, AC, AA 分別為 x, y, z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【解答】 解:( 1)如圖,過 A 作 D, E 由題意知 5, BC=2 2 設(shè) x,則 x, x, , CAB=90, 4 BC=2, 4( 5 x) 2=2, x=5 或 x=5+ (舍), A 點(diǎn)到平面 的距離為 5 6 ( 2)以 A為原點(diǎn),射線 AB, AC, AA 分別為 x, y, z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 7 由( 1)可知: A( 0, 0, 0), , A( 0, 0, 5 ), B( ), C( 0, , 5), 8 平面 ABC的法向量為 =( 0, 0, 1), 9 =( ), =( 0, , ), 設(shè)平面 法向量為 =( x, y, z), 則 ,取 x=1,得 =( 1, 1, 1), 設(shè)平面 平面 所成較小二面角為 , 10 則 = , 11 平面 平面 所成較小二面角的余弦值為 12 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 2 個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 3 個(gè)黑球,現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子內(nèi)各任取 2 球 ( 1)求取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率; ( 2)求取出的 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不超過 2 個(gè)的概率; ( 3)設(shè)取出的 4 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為 ,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【分析】 ( ) 設(shè) 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為 ,即 =1,可能來自甲盒,也可能來自乙盒,由此能求出取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率 ( ) 4 個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù) 不超過 2 個(gè),則 可以是 0 個(gè), 1 個(gè), 2 個(gè),分別求出 =0),P( =1), P( =2),由此能求出 P( 2) ( ) 的可能取值為 0, 1, 2, 3, 9 由( )分別求出: p( =0), p( =1), p( =2), p( =3),由此能求出 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解:( ) 設(shè) 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為 ,即 =1,可能來自甲盒,也可能來自乙盒 p( =1) = + = 4 ( ) 4 個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù) 不超過 2 個(gè),則 可以是 0 個(gè), 1 個(gè), 2 個(gè) p( =0) = = , p( =1) = + = , p( =2) = + = , p( 2) = 8 ( ) 的可能取值為 0, 1, 2, 3, 9 由( )( )知: p( =0) = , p( =1) = , p( =2) = , 而 p( =3) = = , 10 的分布列為: 0 1 2 3 P = 12 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,在歷年高考中都是必考題之一 20如圖,橢圓 E: 的離心率 e= ,經(jīng)過橢圓 E 的下頂點(diǎn) A 和右焦點(diǎn) F 的直線 l 的圓 C: y 2b) 2= 相切 ( 1)求橢圓 E 的方程; ( 2)若直線 m 與 l 垂直,且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點(diǎn),當(dāng) ( O 是坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),求直線 m 的方程 【分析】 ( 1)設(shè)出 A, F 的坐標(biāo),可得直線 方程,求得圓的圓心和半徑,運(yùn)用直線和圓相切的條 件: d=r,以及橢圓的離心率公式,計(jì)算可得 a=2, b=1,進(jìn)而得到橢圓方程; ( 2)求得直線 l 的斜率,由兩直線垂直的條件,可得直線 m 的斜率,設(shè) m 的方程為 y=x+t,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于 0,再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)整理,解方程可得 t,進(jìn)而得到所求直線的方程 【解答】 解:( 1)由題意知, A( 0, b), F( c, 0), 可得直線 方程為 , 圓 C: y 2b) 2= 的圓心為( 0, 2b),半徑為 , 由直線 圓 C 相切, 可得 = , 又 b2+c2=e= = , 解得 a=2, b=1, c= , 則橢圓方程為 +; ( 2)由( 1)可知,直線 l 的斜率為 , 由直線 m 與 l 垂直,可得直線 m 的斜率為 , 設(shè) m 的方程為 y= x+t,代入橢圓方程 +, 可得 138 4=0 由 =19252( 44) 0,可得 t , 記 P( Q( 則 x1+, , 而 =( =( 即有 = t t =4t( x1+ += , 解得 t= ( , ), 即有直線 m 的方程為 y= x 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用直線和圓相切的條件: d=r,以及橢圓的離心率公式, 考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于 0,同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題 21已知函數(shù) f( x) =ex+a R ( )若曲線 y=f( x)在點(diǎn)( 1, f( 1)處的切線平行于 x 軸,求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; ( )試確定 a 的取值范圍,使得曲線 y=f( x)上存在唯一的點(diǎn) P,曲線在該點(diǎn)
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