四川省廣元市2016年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）含答案解析

四川省廣元市 2016 年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 2已知 R 是實(shí)數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 3閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入 x 的值為 5，則輸出的 y 值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 4下面四個(gè)函數(shù)中，以 為最小正周期，且在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)的是（ ） A y= y=2|C y=（ ） y=已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 6若從 1， 2， 3， ， 9 這 9 個(gè)整數(shù)中同時(shí)取 4 個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ） A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 7在 ， M 是 所在直線上任意一點(diǎn)，若 = 2 + ，則 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8不等式組 的解集記為 D，有下列四個(gè)命題： （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 3 （ x， y） D， x+2y 1 其中真命題是（ ） A 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x），且在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù) ，則（ ） A f（ 17） f（ 19） f（ 40） B f（ 40） f（ 19） f（ 17） C f（ 19） f（ 40） f（ 17） D f（ 17） f（ 40） f（ 19） 10已知圓 O： x2+，直線 l： x+2y 4=0，點(diǎn) P（ 直線 l 上若存在圓 C 上的點(diǎn) Q，使得 5（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 取值范圍是（ ） A 0， 1 B C D 二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分） 11在（ 1 3x） 8 的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費(fèi)：若每月用水不超過 20每立方米收費(fèi)按 2 元收?。蝗舫^ 20超過的部分按每立方米 3 元收取，如果某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ，則這戶居民這月共用水 13若 x x+4=0 的兩根，且 ， ，則+= 14一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上）的體積為 15已知 x R，符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù)，若函數(shù) f（ x） = （ x 0），則給出以下四個(gè)結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域?yàn)?0， 1； 函數(shù) f（ x）的圖象是 一條曲線； 函數(shù) f（ x）是（ 0， +）上的減函數(shù)； 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí) 其中正確的序號(hào)為 三、解答題（共 6 小題，滿分 75 分） 16設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ， =43n 1（ n N*） （ 1）設(shè) bn=n，求證： 等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式； （ 2）求數(shù)列 通項(xiàng)公式及 17已知 a， b， c 分別是 內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊，且 c=2， （ 1）求角 C 的大??； （ 2）若 ，求邊 b 的長(zhǎng) 18如圖所示， 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形， 平面 ，且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè)，它們?cè)?內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C，且 ABC是 ， 的距離為 5 （ 1）求點(diǎn) A 到平面 的距離； （ 2）求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 2 個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 3 個(gè)黑球，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子內(nèi)各任取 2 球 （ 1）求取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率； （ 2）求取出的 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不超過 2 個(gè)的概率； （ 3）設(shè)取出的 4 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 20如圖，橢圓 E： 的離心率 e= ，經(jīng)過橢圓 E 的下頂點(diǎn) A 和右焦點(diǎn) F 的直線 l 的圓 C： y 2b） 2= 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若直線 m 與 l 垂直，且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點(diǎn)，當(dāng) （ O 是坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求直線 m 的方程 21已知函數(shù) f（ x） =ex+a R （ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點(diǎn) P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P 2016 年四川省廣元市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分） 1 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) =（ ） A 1+2i B 2+4i C 1 2i D 2 i 【分析】 復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可 【解答】 解： 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題 2已知 R 是實(shí)數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 【分析】 先化簡(jiǎn) 2 個(gè)集合 M、 N 到最簡(jiǎn)形式求出 M， N，依照補(bǔ)集的定義求出 按照交集的定義求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= =y|y 0， 故有 Ny|y 0x|x 0，或 x 2=0， +） （ ， 0） （ 2， +） =0， 2， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的值域求法，不等式的解法，以及求 2 個(gè)集合的補(bǔ)集和交集的方法 3閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入 x 的值為 5，則輸出的 y 值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 【分析】 框圖輸入框中首先輸入 x 的值為 5，然后判斷 |x|與 3 的大小， |x| 3，執(zhí)行循環(huán)體， |x| 3 不成立時(shí)跳出循環(huán)， 執(zhí)行運(yùn)算 ，然后輸出 y 的值 【解答】 解：輸入 x 的值為 5， 判斷 | 5| 3 成立，執(zhí)行 x=| 5 3|=8； 判斷 |8| 3 成立，執(zhí)行 x=|8 3|=5； 判斷 |5| 3 成立，執(zhí)行 x=|5 3|=2； 判斷 |2| 3 不成立，執(zhí)行 12y 所以輸出的 y 值是 1 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件時(shí)算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題 4下面四個(gè) 函數(shù)中，以 為最小正周期，且在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)的是（ ） A y= y=2|C y=（ ） y=分析】 由三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得 【解答】 解：選項(xiàng) A， y=（ 1+ 由 2 2x 2可得 x ， k Z， 當(dāng) k=0 時(shí)，可得函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤； 選項(xiàng) B，當(dāng) x （ ， ）時(shí)， y=2正弦函數(shù)圖象可知， 函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上為減函數(shù)，故正確； 選項(xiàng) C， y= 的周期為 2，故錯(cuò)誤； 選項(xiàng) D， y=期為 ，在區(qū)間（ ， ）上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬基礎(chǔ)題 5已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【分析】 先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10，可得 =2，結(jié)合 c2=a2+出 a， b，即可求出雙曲線的方程 【解答】 解： 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上， 令 y=0，可得 x= 5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 5， 0）， c=5， 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： y=2x+10， =2， c2=a2+ ， 0， 雙曲線的方程為 =1 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題 6若從 1， 2， 3， ， 9 這 9 個(gè)整數(shù)中同時(shí)取 4 個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ） A 60 種 B 63 種 C 65 種 D 66 種 【分析】 本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，要得到四個(gè)數(shù)字的和 是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況，當(dāng)取得 4 個(gè)偶數(shù)時(shí)，當(dāng)取得 4 個(gè)奇數(shù)時(shí)，當(dāng)取得 2 奇 2 偶時(shí)，分別用組合數(shù)表示出各種情況的結(jié)果，再根據(jù)分類加法原理得到不同的取法 【解答】 解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，要得到四個(gè)數(shù)字的和是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況， 當(dāng)取得 4 個(gè)偶數(shù)時(shí)，有 =1 種結(jié)果， 當(dāng)取得 4 個(gè)奇數(shù)時(shí)，有 =5 種結(jié)果， 當(dāng)取得 2 奇 2 偶時(shí)有 =6 10=60 共有 1+5+60=66 種結(jié)果， 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把符合條件的取法分成三種情況，利用組合數(shù)表示出結(jié)果，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題 7在 ， M 是 所在直線上任意一點(diǎn)，若 = 2 + ，則 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根據(jù) A、 M、 B 三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù) 使 = 成立，化簡(jiǎn)整理得= ，結(jié)合已知等式建立關(guān)于 、 的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù) 的值 【解答】 解： ， M 是 所在直線上任意一點(diǎn)， 存在實(shí)數(shù) ，使得 = ，即 化簡(jiǎn)得 = ， = 2 + ， 結(jié)合平面向量基本定理，得 ，解之得 =3， = 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出 A、 M、 B 三點(diǎn)共線，求用向量 、 表示 的表達(dá)式，著重考查了平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題 8不等式組 的解集記為 D，有下列四個(gè)命題： （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 2 （ x， y） D， x+2y 3 （ x， y） D， x+2y 1 其中真命題是（ ） A 分析】 作出不等式組 的表示的區(qū)域 D，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可 【解答】 解：作出圖形如下： 由圖知，區(qū)域 D 為直線 x+y=1 與 x 2y=4 相交的上部角型區(qū)域， 域 D 在 x+2y 2 區(qū)域的上方，故： （ x， y） D， x+2y 2 成立； 直線 x+2y=2 的右上方和區(qū)域 D 重疊的區(qū)域內(nèi)， （ x， y） D， x+2y 2，故 （ x， y） D， x+2y 2 正確； 圖知，區(qū)域 D 有部分在直線 x+2y=3 的上方，因此 （ x， y） D， x+2y 3 錯(cuò)誤； x+2y 1 的區(qū)域（左下方的虛線區(qū)域）恒在區(qū)域 D 下方，故 （ x， y） D， x+2y 1 錯(cuò)誤； 綜上所述， 確； 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題 9已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x），且在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù)，則（ ） A f（ 17） f（ 19） f（ 40） B f（ 40） f（ 19） f（ 17） C f（ 19） f（ 40） f（ 17） D f（ 17） f（ 40） f（ 19） 【分析】 由 f（ x 4） = f（ x）求出函數(shù) f（ x）的周期，由奇函數(shù)的性質(zhì)求出 f（ x）的對(duì)稱軸，由條件判斷出以 f（ x）在 2， 4上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的性質(zhì)、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性判斷出函數(shù)值的大小關(guān)系 【解答】 解：由 f（ x 4） = f（ x）得， f（ x+4） = f（ x）， 則 f（ x+8） =f（ x），函數(shù) f（ x）的周期是 8， 因?yàn)?f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)， 所以 f（ x+4） =f（ x），即函數(shù) f（ x）的對(duì)稱軸是 x=2， 因?yàn)?f（ x）在區(qū)間 0， 2上是增函數(shù)， 所以 f（ x）在 2， 4上是減函數(shù)， 因?yàn)?f（ 17） = f（ 17） = f（ 1）， f（ 19） =f（ 16+3） =f（ 3） =f（ 1） 0， f（ 40） =f（ 0） =0， 所以 f（ 17） f（ 40） f（ 19）， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用， 考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題 10已知圓 O： x2+，直線 l： x+2y 4=0，點(diǎn) P（ 直線 l 上若存在圓 C 上的點(diǎn) Q，使得 5（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 取值范圍是（ ） A 0， 1 B C D 【分析】 根據(jù)條件若存在圓 C 上的點(diǎn) Q，使得 5（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），等價(jià) 2即可，求出不 等式的解集即可得到 范圍 【解答】 解：圓 O 外有一點(diǎn) P，圓上有一動(dòng)點(diǎn) Q， 圓相切時(shí)取得最大值 如果 長(zhǎng)，那么 以獲得的最大值將變小可以得知，當(dāng) 5，且 圓相切時(shí)， ， 而當(dāng) 2 時(shí)， Q 在圓上任意移動(dòng)， 45恒成立 0 因此滿足 2，就能保證一定存在點(diǎn) Q，使得 5，否則，這樣的點(diǎn) Q 是不存在的； 點(diǎn) P（ 直線 x+2y 4=0 上， 4=0，即 |= ） 2= 2 4， 20， 解得， 0 ， 取值范圍是 0， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)與 圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合判斷出 2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，難度較大 二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分） 11在（ 1 3x） 8 的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為 256 【分析】 在（ 1 3x） 8 的展開式中，令 x=1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和 【解答】 解：在（ 1 3x） 8 的展開式中，令 x=1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為 （ 2） 8=256， 故答案為： 256 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于 基礎(chǔ)題 12某城區(qū)按以下規(guī)定收取水費(fèi)：若每月用水不超過 20每立方米收費(fèi)按 2 元收??；若超過 20超過的部分按每立方米 3 元收取，如果某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ，則這戶居民這月共用水 25 【分析】 設(shè)他這個(gè)月共用了 x 立方米的水，依據(jù)錢數(shù)不變可列方程，依據(jù)等式的性質(zhì)即可求解 【解答】 解：設(shè)他這個(gè)月共用了 x 立方米的水， 則所交水費(fèi) f（ x） = ， 某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米 ，超過了 2 元， x 20， 則由 20 2+（ x 20） 3= 40+3x 60= 即 0 得 x=25 故他這個(gè)月共用了 25 立方米的水 故答案為： 25 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立分段函數(shù)模型，是解決本題的關(guān)鍵 13若 x x+4=0 的兩根，且 ， ，則 += 【分析】 由 x+4=0 的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出 +）的值，然后根據(jù)兩根之和小于 0，兩根之積大于 0，得到兩根都為負(fù)數(shù)，根據(jù) 與 的范圍，求出 +的范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由求出的 +）的值即可求出 +的值 【解答】 解：依題意得 3 0， 0， +） = = = 依題意知 0， 0，又 ， （ ， ）， （ ， 0）， （ ， 0）， + （ ， 0）， += 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題本題的關(guān)鍵是找出 +的范圍 14一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上）的體積為 【分析】 由題意畫出原幾何體，通過補(bǔ)形得到幾何體外接球的半徑，代入球的體積公式得答案 【解答】 解：由三視圖還原原幾何體如圖， 原幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱 補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為 2 的正方體，則其外接球的直徑（ 2R） 2=3 22=12， R= 則其外接球的體積為 V= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由三視圖求多面體的體積，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題 15已知 x R，符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù)，若函數(shù) f（ x） = （ x 0），則給出以下四個(gè)結(jié)論： 函數(shù) f（ x）的值域?yàn)?0， 1； 函數(shù) f（ x）的圖象是一條曲線； 函數(shù) f（ x）是（ 0， +）上的減函數(shù)； 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí) 其中正確的序號(hào)為 【分析】 通過舉特例，可得 、 、 錯(cuò)誤；數(shù)形結(jié)合可得 正確，從而得出結(jié)論 【解答】 解：由于符號(hào) x表示不超過 x 的最大整數(shù)，函數(shù) f（ x） = （ x 0）， 取 x= x= 2， f（ x） = 1，故 不正確 由于當(dāng) 0 x 1， x=0，此時(shí) f（ x） =0； 當(dāng) 1 x 2， x=1，此時(shí) f（ x） = ； 當(dāng) 2 x 3， x=2，此時(shí) f（ x） = ，此時(shí) f（ x） 1， 當(dāng) 3 x 4， x=3，此時(shí) f（ x） = ，此時(shí) g（ x） 1， 當(dāng) 4 x 5， x=4，此時(shí) f（ x） = ，此時(shí) g（ x） 1， 故 f（ x）的圖象不會(huì)是一條曲線，且 f（ x）不會(huì)是（ 0， +）上的減函數(shù)，故排除 、 函數(shù) g（ x） =f（ x） a 有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù) f（ x）的圖象和直線 y=a 有且僅有 3 個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)， ，故 正確， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題（共 6 小題，滿分 75 分） 16設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ， =43n 1（ n N*） （ 1）設(shè) bn=n，求證： 等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式； （ 2）求數(shù)列 通項(xiàng)公式及 【分析】 （ 1）通過對(duì) =43n+1 變形可知 （ n+1） =44n，進(jìn)而可知數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 4 的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論； （ 2）通過（ 1）可知 an=n+4n 1，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論 【解答】 （ 1）證明： =43n+1， （ n+1） =44n， 又 bn=n， =4 又 b1=1=2 1=1， 數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 4 的等比數(shù)列， n 1（ n N*）； （ 2）解：由（ 1）知 bn=n=4n 1， an=n+4n 1， + = + 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分組求和法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題 17已知 a， b， c 分別是 內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊，且 c=2， （ 1）求角 C 的大?。?（ 2）若 ，求邊 b 的長(zhǎng) 【分析】 （ 1）已知等式利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數(shù)公 式化簡(jiǎn)，整理求出 值，即可確定出 C 的度數(shù)； （ 2）由 值求出 值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn) A+C），把各自的值代入求出 A+C）的值，即為 值，再由 c， 值，利用正弦定理求出b 的值即可 【解答】 解：（ 1）由題意得 = 整理得： B+C） = 0， ， C 為三角形內(nèi)角， C= ； （ 2） ， = ， A+C） = （ ） + = ， 由正弦定理得： = ， 則 b= = 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵 18如圖所示， 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形， 平面 ，且 A、 B、 C 在平面 的同側(cè)，它們?cè)?內(nèi)的正射影分別是 A、 B、 C，且 ABC是 ， 的距離為 5 （ 1）求點(diǎn) A 到平面 的距離； （ 2）求平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【分析】 （ 1）過 A 作 D， E，推導(dǎo)出 CAB=90，由此能求出 的距離 （ 2）以 A為原點(diǎn)，射線 AB， AC， AA 分別為 x， y， z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面 平面 所成較小二面角的余弦值 【解答】 解：（ 1）如圖，過 A 作 D， E 由題意知 5， BC=2 2 設(shè) x，則 x， x， ， CAB=90， 4 BC=2， 4（ 5 x） 2=2， x=5 或 x=5+ （舍）， A 點(diǎn)到平面 的距離為 5 6 （ 2）以 A為原點(diǎn)，射線 AB， AC， AA 分別為 x， y， z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 7 由（ 1）可知： A（ 0， 0， 0）， ， A（ 0， 0， 5 ）， B（ ）， C（ 0， ， 5）， 8 平面 ABC的法向量為 =（ 0， 0， 1）， 9 =（ ）， =（ 0， ， ）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 設(shè)平面 平面 所成較小二面角為 ， 10 則 = ， 11 平面 平面 所成較小二面角的余弦值為 12 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 19已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 2 個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個(gè)紅球、 1 個(gè)綠球和 3 個(gè)黑球，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子內(nèi)各任取 2 球 （ 1）求取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率； （ 2）求取出的 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不超過 2 個(gè)的概率； （ 3）設(shè)取出的 4 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【分析】 （ ） 設(shè) 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為 ，即 =1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒，由此能求出取出的 4 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率 （ ） 4 個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù) 不超過 2 個(gè)，則 可以是 0 個(gè)， 1 個(gè)， 2 個(gè)，分別求出 =0），P（ =1）， P（ =2），由此能求出 P（ 2） （ ） 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 9 由（ ）分別求出： p（ =0）， p（ =1）， p（ =2）， p（ =3），由此能求出 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ ） 設(shè) 4 個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為 ，即 =1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒 p（ =1） = + = 4 （ ） 4 個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù) 不超過 2 個(gè)，則 可以是 0 個(gè)， 1 個(gè)， 2 個(gè) p（ =0） = = ， p（ =1） = + = ， p（ =2） = + = ， p（ 2） = 8 （ ） 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 9 由（ ）（ ）知： p（ =0） = ， p（ =1） = ， p（ =2） = ， 而 p（ =3） = = ， 10 的分布列為： 0 1 2 3 P = 12 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題之一 20如圖，橢圓 E： 的離心率 e= ，經(jīng)過橢圓 E 的下頂點(diǎn) A 和右焦點(diǎn) F 的直線 l 的圓 C： y 2b） 2= 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若直線 m 與 l 垂直，且交橢圓 E 與 P、 Q 兩點(diǎn)，當(dāng) （ O 是坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求直線 m 的方程 【分析】 （ 1）設(shè)出 A， F 的坐標(biāo)，可得直線 方程，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線和圓相切的條 件： d=r，以及橢圓的離心率公式，計(jì)算可得 a=2， b=1，進(jìn)而得到橢圓方程； （ 2）求得直線 l 的斜率，由兩直線垂直的條件，可得直線 m 的斜率，設(shè) m 的方程為 y=x+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于 0，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，解方程可得 t，進(jìn)而得到所求直線的方程 【解答】 解：（ 1）由題意知， A（ 0， b）， F（ c， 0）， 可得直線 方程為 ， 圓 C： y 2b） 2= 的圓心為（ 0， 2b），半徑為 ， 由直線 圓 C 相切， 可得 = ， 又 b2+c2=e= = ， 解得 a=2， b=1， c= ， 則橢圓方程為 +； （ 2）由（ 1）可知，直線 l 的斜率為 ， 由直線 m 與 l 垂直，可得直線 m 的斜率為 ， 設(shè) m 的方程為 y= x+t，代入橢圓方程 +， 可得 138 4=0 由 =19252（ 44） 0，可得 t ， 記 P（ Q（ 則 x1+， ， 而 =（ =（ 即有 = t t =4t（ x1+ += ， 解得 t= （ ， ）， 即有直線 m 的方程為 y= x 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件： d=r，以及橢圓的離心率公式， 考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于 0，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =ex+a R （ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點(diǎn) P，曲線在該點(diǎn)