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文檔簡介
第 1 頁(共 11 頁) 2015年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二(下)期末數(shù)學試卷(理科) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 4 分,共 40 分 . 1 i 為虛數(shù)單位,復平面內(nèi)表示復數(shù) z=( 2 i)( 3+i)的點在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 3 9 歲小孩的身高與年齡的回歸模型 y=4,用這個模型預測這個孩子 10 歲時的身高,則正確的敘述是( ) A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 3已知隨機變量 X 服從二項 分布 X B( 6, ),則 值為( ) A 3 B C D 1 4把一枚硬幣任意拋擲兩次,事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”,事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”,則 P( B|A) =( ) A B C D 5曲線 y= M( 的切線斜率為 1,則此切線方程是( ) A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 6從 0, 1, 2, 3, 4 中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù),其中奇數(shù)有( ) A 18 個 B 27 個 C 36 個 D 60 個 7( + ) 4 展開式中所有項的系 數(shù)和為( ) A 16 B 32 C 64 D 81 8若 f( x) = ( x 2) 2+( 1, 2)上單調遞減,則 m 的取值范圍是( ) A( , 0 B( , 1) C( 0, +) D( 1, +) 9若 f( x) = 的值為( ) A 3e B 3e C 2e D 2e 10已知復數(shù) z 滿足 |z i|+|z+i|=3( i 是虛數(shù)單位),若在復平面內(nèi)復數(shù) z 對應的點為 Z,則點 Z 的軌跡為( ) A直線 B雙曲線 C拋物線 D橢圓 二、填空題(每小題 4 分,共 20 分 .) 11 04|x 2| 12在平面上,若兩個正三角形的邊長的比為 1: 2,則它們的面積比為 1: 4,類似地,在空間內(nèi),若兩個正四面體的棱長的比為 1: 2,則它們的體積比為 13函數(shù) f( x) =ex+x 在 1, 1上的最大值是 14函數(shù) f( x) =5x 2 在 x=3 處有極值,則函數(shù)的遞減區(qū)間 為 第 2 頁(共 11 頁) 15馬路上喲編號 1, 2, 3, , 10 共 10 盞燈,現(xiàn)要關掉其中的四盞,但不能關掉相鄰的二盞或三盞,也不能關掉兩端的兩盞,則滿足條件的關燈方案有 種 三、解答題(共 40 分) . 16求證: ( a 3) 17已知函數(shù) f( x) =3x; ( )求 f( x)的單調區(qū)間; ( )求 f( x)在區(qū)間 3, 2上的最值 18甲乙丙三人在進行一項投擲骰子游戲中規(guī)定:若擲出 1 點,甲得 1 分,若擲出 2 點或 3點,乙得 1 分;若擲出 4 點或 5 點或 6 點,丙得 1 分,前后共擲 3 次,設 x, y, z 分別表示甲、乙、丙三人的得分 ( 1)求 x=0, y=1, z=2 的概率; ( 2)記 =x+z,求隨機變量 的概率分布列和數(shù)學期望 19已知函數(shù) f( x) = x3+,( a R) ( 1)若 f( x)圖象上橫坐標為 1 的點處存在垂直于 y 軸的切線,求 a 的值; ( 2)若 f( x)在區(qū)間( 1, 2)內(nèi)有兩個不同的極值點,求 a 取值范圍; ( 3)當 a=1 時,是否存在實數(shù) m,使得函數(shù) g( x) =5 2 m) 的圖象于函數(shù)f( x)的圖象恰有三個不同的交點,若存在,試求出實數(shù) m 的值;若不存在,說明理由 第 3 頁(共 11 頁) 2015年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二(下)期末數(shù)學試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 4 分,共 40 分 . 1 i 為虛數(shù)單位,復平面內(nèi)表示復數(shù) z=( 2 i)( 3+i)的點在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【 考點】 復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義;復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 根據(jù)復數(shù)的運算法則進行化簡,結合復數(shù)的幾何意義進行求解即可 【解答】 解: z=( 2 i)( 3+i) = 5 5i, 對應的點的坐標為( 5, 5),位于第三象限, 故選: C 2 3 9 歲小孩的身高與年齡的回歸模型 y=4,用這個模型預測這個孩子 10 歲時的身高,則正確的敘述是( ) A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 【考點】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)回歸 模型為 y=4,將 x=10 代入即可得到預測值 【解答】 解:根據(jù)回歸模型為 y=4,可得當 x=10 時, y=146可預測 10 歲時的身高在 146右 故選: D 3已知隨機變量 X 服從二項分布 X B( 6, ),則 值為( ) A 3 B C D 1 【考點】 二項分布與 n 次獨立重復試驗的模型 【分析】 根 據(jù)隨機變量 X 服從二項分布 X B( n, p), EX=算即可 【解答】 解:隨機變量 X 服從二項分布 X B( 6, ), 所以 EX= = 故選: B 4把一枚硬幣任意拋擲兩次,事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”,事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”,則 P( B|A) =( ) A B C D 【考點】 條件概率與獨立事件 【分析】 由題意,先計算 P( P( A),再利用條件概率公式,即可求得結論 第 4 頁(共 11 頁) 【解答】 解:事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”,事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”, 則 P( A) = , P( = , P( B|A) = = = , 故選: C 5曲線 y= M( 的切線斜率為 1,則此切線方程是( ) A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求得函數(shù)的導數(shù),可得切線的斜率,解方程可得切點的橫坐標,進而得到切點坐標,由點斜式方程可得切線的方程 【 解答】 解: y=導數(shù)為 y= 2x,( x 0), 可得在 M( 的切線斜率為 2 1, 解得 ( 舍去), 可得切點為( 1, 1), 即有切線的方程為 y+1=( x 1), 即為 y= x 故選: D 6從 0, 1, 2, 3, 4 中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù),其中奇數(shù)有( ) A 18 個 B 27 個 C 36 個 D 60 個 【考點】 排列、組合及簡單計數(shù)問題 【分析】 先從 1, 3 中選一個為個位數(shù)字,再剩下的 3 個(不包含 0)取 1 個為百位,再從剩下 3 個(包含 0)取一個為十位,根據(jù)分步計數(shù)原理可得 【解答】 解:先從 1, 3 中選一個為個位數(shù)字,再剩下的 3 個(不包含 0)取 1 個為百位,再從剩下 3 個(包含 0)取一個為十位,故有 2 3 3=18 個, 故答案為: 18 7( + ) 4 展開式中所有項的系數(shù)和為( ) A 16 B 32 C 64 D 81 【考點】 二項式系數(shù)的性質 【分析】 令 x=1,即可得出( + ) 4 展開式中所有項的系數(shù)和 第 5 頁(共 11 頁) 【解答】 解:令 x=1,則( + ) 4 展開式中所有項的系數(shù)和 =( 1+2) 4=81 故選: D 8若 f( x) = ( x 2) 2+( 1, 2)上單調遞減,則 m 的取值范圍是( ) A( , 0 B( , 1) C( 0, +) D( 1, +) 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 可求導數(shù)得到 ,根據(jù)條件便知 f( x) 0 在( 1, 2)上恒成立,利用參數(shù)分離法轉化為求函數(shù)的最值即可 【解答】 解:據(jù)題意, 在 x ( 1, 2)上恒成立; 2x+m 0 恒成立; m x 恒 成立; 即 m ( x 1) 2+1 在 x ( 1, 2)上恒成立; 而 x ( 1, 2)時, 0 ( x 1) 2+1 1; m 0 故選 A 9若 f( x) = 的值為( ) A 3e B 3e C 2e D 2e 【考點】 極限及其運算 【分析】 由 f( x) = = 3f( 1),能求出結果 【解答】 解: f( x) = f( x) = = = 3 = 3f( 1) = 3e 故選: B 10已知復數(shù) z 滿足 |z i|+|z+i|=3( i 是虛數(shù)單位),若在復平面內(nèi)復數(shù) z 對應的點為 Z,則點 Z 的軌跡為( ) A直線 B雙曲線 C拋物線 D橢圓 第 6 頁(共 11 頁) 【考點】 軌跡方程;復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)復數(shù)的幾何意義進行判斷即可 【解答】 解:設 Z( x, y), A( 0, 1), B( 0, 1), 則 |z i|+|z+i|=3 的幾何意義為 |3 | 即 Z 的軌跡是以 A, B 為焦點的橢圓, 故選: D 二、填空題(每小題 4 分,共 20 分 .) 11 04|x 2|4 【考點】 定積分 【分析】 將: 04|x 2|化成 02( 2 x) 24( x 2) 后根據(jù)定積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù),然后求解即可 【解答】 解: 04|x 2|02( 2 x) 24( x 2) ( 2x |02+( 2x) |24 =4 故答案為: 4 12在平面上,若兩個正三角形的邊長的比為 1: 2,則它們的面積比為 1: 4,類似地,在空間內(nèi),若兩個正四面體的棱長的比為 1: 2,則它們的體積比為 1: 8 【考點】 類比推理 【分析】 根據(jù)平面與空間之間的類比推理,由點類比點或直線,由直線 類比 直線或平面,由平面圖形面積類比立體圖形的體積,結合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即可 【解答】 解:平面上,若兩個正三角形的邊長的比為 1: 2,則它們的面積比為 1: 4, 類似地,由平面圖形面積類比立體圖形的體積,得出: 在空間內(nèi),若兩個正四面體的棱長的比為 1: 2,則它們的體積比為 1: 8 故答案為: 1: 8 13函數(shù) f( x) =ex+x 在 1, 1上的最大值是 e+1 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 可求 導數(shù),判斷導數(shù)的符號,從而得出 f( x)在 1, 1上單調遞增,從而便可求出 f( x)的最大值 【解答】 解: f( x) = 0; f( x)在 1, 1上單調遞增; x=1 時, f( x)取最大值 e+1 故答案為: e+1 14函數(shù) f( x) =5x 2 在 x=3 處有極值,則函數(shù)的遞減區(qū)間為 , 3 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 可求導數(shù) f( x) =310x+3,從而根據(jù)題意 f( 3) =0,這樣即可求出 a=1,從而求出 f( x),并解 f( x) 0 即可求出函數(shù)的遞減區(qū)間 【解答】 解: f( x) =310x+3; 第 7 頁(共 11 頁) 根據(jù)題意, f( 3) =0; 27a 30+3=0; a=1; f( x) =310x+3; 解 f( x) 0 得, ; f( x)的遞減區(qū)間為 故答案為: , 3 15馬路上喲編號 1, 2, 3, , 10 共 10 盞 燈,現(xiàn)要關掉其中的四盞,但不能關掉相鄰的二盞或三盞,也不能關掉兩端的兩盞,則滿足條件的關燈方案有 20 種 【考點】 排列、組合及簡單計數(shù)問題 【分析】 先將亮的 7 盞燈排成一排,所以有 6 個符合條件的空位,即可得到結論 【解答】 解:因為關掉的三盞燈不是兩端的燈,且任意兩盞都不相鄰, 所以我使用插空法解決問題,即先將亮的 7 盞燈排成一排, 因為兩端的燈不能熄滅, 所以有 6 個符合條件的空位, 所以在 6 個空位中選取 3 個位置插入熄滅的 3 盞燈,即有 0 種 故答案為: 20 三、解答題(共 40 分) . 16求 證: ( a 3) 【考點】 不等式的證明 【分析】 使用分析法逐步找出使不等式成立的條件即可 【解答】 證明:欲證 , 只需證:( ) 2 ( ) 2,即 2a 2 2 2a 42 只需證: 1+ , 只需證: 2a 4a+4+2 ,即 a 2 , 只需證: 4a+4 4a+3, 只需證: 4 3 顯然, 4 3 恒成立, ( a 3) 17已知函數(shù) f( x) =3x; 第 8 頁(共 11 頁) ( )求 f( x)的單調區(qū)間; ( )求 f( x)在區(qū)間 3, 2上的最值 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 ( )先求出函數(shù) f( x) =3x 的導函數(shù) f( x),分別令 f( x) 0 和 f( x) 0便可求出函數(shù) f( x)的單調區(qū)間; ( )分別求出兩個短點 f( 3)和 f( 2)的值以及極值 f( 1)和 f( 1)的值,比較一下便可求出 f( x)在區(qū)間 3, 2上的最大值和最小值 【解答】 解:( I) f( x) =3x, f( x) =33=3( x+1)( x 1) 令 f( x) =0,得 x= 1, x=1 若 x ( , 1) ( 1, +),則 f( x) 0, 故 f( x)在( , 1)上是增函數(shù), f( x)在( 1, +)上是增函數(shù), 若 x ( 1, 1),則 f( x) 0, 故 f( x)在( 1, 1)上是減函數(shù); ( f( 3) = 18, f( 1) =2, f( 1) = 2, f( 2) =2, 當 x= 3 時, f( x)在區(qū)間 3, 2取到最小值為 18 當 x= 1 或 2 時, f( x)在區(qū)間 3, 2取到最大值為 2 18甲乙丙三人在進行一項投擲骰子游戲中規(guī)定:若擲出 1 點,甲得 1 分,若擲出 2 點或 3點,乙得 1 分;若擲出 4 點或 5 點或 6 點,丙得 1 分,前后共擲 3 次,設 x, y, z 分別表示甲、乙、丙三人的得分 ( 1)求 x=0, y=1, z=2 的概率; ( 2)記 =x+z,求隨機變量 的概率分布列和數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列 【分析】 ( 1)設事件 A 表示 “投擲一次骰子甲得一分 ”,事件 B 表示 “投擲一次骰子乙得一分 ”,事件 C 表示 “投擲一次骰子丙得一分 ”,由已知得 P( A) = , P( B) = , P( C) = ,從而能求出 x=0, y=1, z=2 的概率 ( 2) X=0, 1, 2, 3; Y=0, 1, 2, 3; Z=0, 1, 2, 3但是只得 3 次分,因而必須滿足X+Y+Z=3,隨機變量 的樣本空間為 0, 1, 2, 3,事實上 =3 Y,分別求出相應的概率,由此能求出 的分布列和數(shù)學期望 【解答】 解:( 1)設事件 A 表示 “投擲一次骰子甲得一分 ”,事件 B 表示 “投擲一次骰子乙得一分 ”,事件 C 表示 “投擲一次骰子丙得 一分 ”, 則 P( A) = , P( B) = , P( C) = , x=0, y=1, z=2 的概率 p=( ) 3C ( )( ) 2 = ( 2) X=0, 1, 2, 3; Y=0, 1, 2, 3; Z=0, 1, 2, 3 但是只得 3 次分,因而必須滿足 X+Y+Z=3,隨機變量 的樣本空間為 0, 1, 2, 3 事實上 =3 Y, P( =0) =P( Y=3) =( ) 3= , 第 9 頁(共 11 頁) P( =1) =P( Y=2) = = , P( =2) =P( Y=1) = = , P( =3) =P( Y=0) =( ) 3= , 的分布列: 0 1 2 3 P E( ) = =2 19已知函數(shù) f( x) = x3+,( a R) ( 1)若 f( x)圖象上橫坐標為 1 的點處存在垂直于 y 軸的切線,求 a 的值; ( 2)若 f( x)在區(qū)間( 1, 2)內(nèi)有兩個不同的極值點,求 a 取值范圍; ( 3)當 a=1 時,是否存在實數(shù) m,使得函數(shù) g( x) =5 2 m) 的圖象于 函數(shù)f( x)的圖象恰有三個不同的交點,若存在,試求出實數(shù) m 的值;若不存在,說明理由 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;利
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