DFT的共軛對(duì)稱性PPT

第十講 3 2 5DFT的共軛對(duì)稱性3 3頻域抽樣理論 抽樣Z變換3 4 1用DFT計(jì)算線性卷積 1 3 2 5DFT的共軛對(duì)稱性 與DTFT對(duì)稱性的區(qū)別DTFT以 為變換空間 所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中 以原點(diǎn)為對(duì)稱中心 序列的移位范圍無任何限制 因?yàn)闊o論如何不會(huì)移出變換區(qū)間 DFT以 0 N 1 為變換空間 所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中 序列的移位會(huì)移出變換區(qū)間 所以要在區(qū)間 0 N 1 上定義有限長序列的圓周共軛對(duì)稱序列和反對(duì)稱序列 DFT以 0 N 1 為變換空間 所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中 將會(huì)得出其對(duì)稱中心為n N 2 2 1 周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量周期為N的周期序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量分別定義為 同樣 有 3 4 2 有限長序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量有限長序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量分別定義為 由于 所以 這表明長為N的有限長序列可分解為兩個(gè)長度相同的兩個(gè)分量 5 2 有限長序列的圓周共軛對(duì)稱與圓周共軛反對(duì)稱性質(zhì) 上式已給出有限長序列x n 的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱中心為N N 2 其圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量可簡寫為 6 共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖 7 3 有限長序列x n 的對(duì)稱分量分解及其DFT表示 則有 證明 8 9 4 有限長序列x n 的實(shí)虛分解及其DFT表示 10 5 實(shí) 虛序列的對(duì)稱特性 當(dāng)x n 為實(shí)序列時(shí) 則X k Xep k 又據(jù)Xep k 的對(duì)稱性 當(dāng)x n 為純虛序列時(shí) 則X k Xop k 又據(jù)Xop k 的對(duì)稱性 11 序列DFT 共軛對(duì)稱性總結(jié)1 復(fù)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性 12 序列DFT 共軛對(duì)稱性總結(jié)2 實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性 13 共軛對(duì)稱性總結(jié)3 純虛序列的共軛對(duì)稱性 序列DFT 14 假設(shè)x1 n 和x2 n 都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列 可用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT 6 共軛對(duì)稱性的應(yīng)用舉例 15 16 3 3頻域抽樣理論 抽樣Z變換討論 時(shí)域抽樣 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào) 根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣 所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓 因此 完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào) 頻域抽樣 對(duì)一有限序列 時(shí)間有限序列 進(jìn)行DFT所得x k 就是序列傅氏變換的采樣 所以DFT就是頻域抽樣 17 問題 能否由頻域抽樣X k 恢復(fù)序列x n 能否由頻域抽樣X k 恢復(fù)序列x z 或若能恢復(fù)其條件是什么 如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式 回憶時(shí)域內(nèi)插恢復(fù)公式 18 一 由頻域抽樣恢復(fù)原序列 19 20 x n 為無限長序列 混疊失真x n 為有限長序列 長度為M 由頻域抽樣序列還原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列 其周期為頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N 所以 時(shí)域抽樣造成頻域周期延拓同樣 頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓 討論 21 頻率采樣定理 若序列長度為M 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) 時(shí) 才有即可由頻域采樣不失真地恢復(fù)原信號(hào) 否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象 22 1 由X k 恢復(fù)X Z 則 23 內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù) 24 內(nèi)插函數(shù)的特性將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式 極點(diǎn)與一零點(diǎn)相消 這樣只有 N 1 個(gè)零點(diǎn) 抽樣點(diǎn)稱作本抽樣點(diǎn) 因此說 內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零 其他 N 1 個(gè)抽樣點(diǎn)均為零 25 用頻域采樣表示的內(nèi)插公式 2 26 27 28 3 4DFT的應(yīng)用舉例 29 3 4 1用DFT計(jì)算線性卷積 0 k L 1 則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有Y k DFT y n X1 k X2 k 0 k L 1 如果 1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 30 由此可見 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算 在頻域計(jì)算 由于DFT有快速算法FFT 當(dāng)N很大時(shí) 在頻域計(jì)算的速度快得多 因而常用DFT FFT 計(jì)算循環(huán)卷積 圖3 4 1用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 31 在實(shí)際應(yīng)用中 為了分析時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)行濾波處理等 需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積 為了提高運(yùn)算速度 也希望用DFT FFT 計(jì)算線性卷積 為此需導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 假設(shè)h n 和x n 都是有很長序列 長度分別是N和M 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下 2 循環(huán)卷積與線性卷積 32 其中 L max N M 可以看出 上式中 33 圖3 4 2線性卷積與循環(huán)卷積 34 圖3 4 3用DFT計(jì)算線性卷積框圖 35 設(shè)序