2016年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理)含答案解析

第 1 頁（共 23 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1已知全集 U=R，集合 A=y|y= +2， B=x|7x+12 0，則 A（ ） A 2， 3） B（ 2， 4） C（ 3， 4 D（ 2， 4 2復(fù)數(shù) z=3+ ，則 |z|等于（ ） A 3 B C D 4 3設(shè) z=4x2y 中變量 x， y 滿足條件 ，則 z 的最小值為（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 4已知數(shù)列 前項和為 （ n， 函數(shù) f（ x） = （ 2t+1） 圖象上，則數(shù)列 通項公式為（ ） A n B an=n2+n+2 C D 5過點（ 2， 0）引直線 l 與圓 x2+ 相交于 A， B 兩點， O 為坐標(biāo)原點，當(dāng) 積取最大值時，直線 l 的斜率為（ ） A B C D 6將 4 本完全相同的小 說， 1 本詩集全部分給 4 名同學(xué)，每名同學(xué)至少 1 本書，則不同分法有（ ） A 24 種 B 28 種 C 32 種 D 16 種 7下列四個結(jié)論： 命題 “若 f（ x）是周期函數(shù)，則 f（ x）是三角函數(shù) ”的否命題是 “若 f（ x）是周期函數(shù)，則f（ x）不是三角函數(shù) ”； 命題 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”； 在 ， “ “A B”的充要條件； 當(dāng) a 0 時，冪函數(shù) y=區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞減 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 8閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入 m=2016，則輸出 S 等于（ ） 第 2 頁（共 23 頁） A 10072 B 10082 C 10092 D 20102 9已知函數(shù) f（ x） =2x+）滿足 f（ x） f（ a）對于 x R 恒成立，則函數(shù)（ ） A f（ x a）一定是奇函數(shù) B f（ x a）一定是偶函數(shù) C f（ x+a）一定是奇函數(shù) D f（ x+a）一定是偶函數(shù) 10已知函數(shù) f（ x） = ，若 函數(shù) g（ x） =f（ x） x a 只有一個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 1， +） B 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1 11已知一空間幾何體的三視圖如題圖所示，其中正視圖與左視圖都是全等的等腰梯形，則該幾何體的體積為（ ） A 17 B C D 18 12如圖，已知點 D 為 邊 一點， ， n N+）為邊 的一列點，滿足 ，其中實數(shù)列 0， ，則 通項公式為（ ） 第 3 頁（共 23 頁） A 23n 1 1 B 2n 1 C 3n 2 D 32n 1 2 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分） 13函數(shù) y=x+2在區(qū)間 0， 上的最大值是 14設(shè)常數(shù) a 0，（ ） 5 的二項展開式中 的系數(shù)為 40，記等差數(shù)列 前 n 項和為 知 a2+， a，則 15已知 2，拋物線 p 0）的焦點為 F（ 0），直線 l 經(jīng)過點 、 B 點，且 |4，則線段 中點到直線 x= 的距 離為 16已知函數(shù) f（ x） = ，存在 f（ =f（ =f（ 則 的最大值為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17在 ，邊 a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 的對邊，且滿足 2 0 （ ）求 值； （ ）當(dāng) B=a=1， c=2， D 為 中點時，求 長 18從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ I）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機抽取 3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 45， 75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為 X，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 第 4 頁（共 23 頁） 19已知直角梯形 在的平面垂直于平面 0， 0，C= （ 1）若 P 是 中點，求證： 平面 （ 2）求平面 平面 成的銳二面角 的余弦值 20已知點 A（ 2， 0）， P 是 O： x2+ 上任意一點， P 在 x 軸上的射影為 Q， =2 ，動點 G 的軌跡為 C，直線 y=k 0）與軌跡交于 E， F 兩點，直線 別與 y 軸交于點 M， N （ 1）求軌跡 C 的方程； （ 2）以 直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a） +2a R） （ 1） a=0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （ 2） a 0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）當(dāng) 3 a 2 時，若存在 1， 2 1， 3，使不等式 |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2立，求 m 的取 值范圍 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22選做題：平面幾何 已知在 ， C，以 直徑的 O 交 D，過 D 點作 O 的切線交 求證：（ 1） （ 2） E 第 5 頁（共 23 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知直線 l： （ t 為參數(shù)），曲線 （ 為參數(shù)） （ ）設(shè) l 與 交于 A， B 兩點，求 | （ ）若把曲線 各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，得到曲線 點 P 是曲線 的一個動點，求它到直線 l 的距離的最小值 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x+ | |x | （ I）當(dāng) a=1 時，求不等式 f（ x） 的解集； （ ）若對任意 a 0， 1，不等式 f（ x） b 的解集為空集，求實數(shù) b 的取值范圍 第 6 頁（共 23 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1已知全集 U=R，集合 A=y|y= +2， B=x|7x+12 0，則 A（ ） A 2， 3） B（ 2， 4） C（ 3， 4 D（ 2， 4 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 根據(jù)集合的定義，先化簡集合 A、 B，求出 計算 A（ 【解答】 解： 全集 U=R，集合 A=y|y= +2=y|2 y 4=2， 4， B=x|7x+12 0=x|3 x 4=3， 4， ， 3） （ 4， +）， A（ =2， 3） 故選 ： A 2復(fù)數(shù) z=3+ ，則 |z|等于（ ） A 3 B C D 4 【考點】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)、模的計算公式即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=3+ =3+ =3+ =3+i， 則 |z|= = 故選： B 3設(shè) z=4x2y 中變量 x， y 滿足條件 ，則 z 的最小值為（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出可行域， z=22x+y，令 m=2x+y，根據(jù)可行域判斷 m 的最小值，得出 z 的最小值 【解答】 解：作出約束條件表示的可行域如圖： 第 7 頁（共 23 頁） 由 z=4x2y 得 z=22x+y， 令 m=2x+y，則 y= 2x+m 由可行域可知當(dāng)直線 y= 2x+m 經(jīng)過點 B 時截距最小，即 m 最小 解方程組 得 B（ 1， 1） m 的最小值為 2 1+1=3 z 的最小值為 23=8 故選： C 4已知數(shù)列 前項和為 （ n， 函數(shù) f（ x） = （ 2t+1） 圖象上，則數(shù)列 通項公式為（ ） A n B an=n2+n+2 C D 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 通過牛頓萊布尼茨公式代入計算可知 Sn=n2+n 2，當(dāng) n 2 時利用 n 1計算，進而可得結(jié)論 【解答】 解： f（ x） = （ 2t+1） t2+t） =x2+x 2， Sn=n2+n 2， 當(dāng) n 2 時， n 1 =（ n2+n 2） （ n 1） 2+（ n 1） 2 =2n， 又 1=1+1 2=0 不滿足上式， ， 第 8 頁（共 23 頁） 故選： D 5過點（ 2， 0）引直線 l 與圓 x2+ 相交于 A， B 兩點， O 為坐標(biāo)原點，當(dāng) 積取最大值時，直線 l 的斜率為（ ） A B C D 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 當(dāng) 積取最大值時， 心 O（ 0， 0）到直線直線 l 的距離為 1，由此能求出直線 l 的斜率 【解答】 解：當(dāng) 積取最大值時， 圓 x2+ 相交于 A， B 兩點， O 為坐標(biāo)原點， 圓心 O（ 0， 0），半徑 r= ， B= ， =2， 圓心 O（ 0， 0）到直線直線 l 的距離為 1， 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線 l 的方程為 x=2，不合題意； 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，直線 l 的方程為 y=k（ x 2）， 圓心（ 0， 0）到直線 l 的距離 d= =1， 解得 k= 故選： C 6將 4 本完全相同的小說， 1 本詩集全部分給 4 名同學(xué)，每名同學(xué)至少 1 本書，則不同分法有（ ） A 24 種 B 28 種 C 32 種 D 16 種 【考點】 計數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 分二類，有一個人分到一本小說和一本詩集，有一個人分到兩本小說，根據(jù)分類計數(shù)原理可得 【解答】 解：第一類，每位同學(xué)各分 1 本小說，再把 1 本詩集全部分給 4 名同學(xué)任意一個，共有 4 種方法， 第二類，這本詩集單獨分給其中一位同學(xué)， 4 相同的小說，分給另外 3 個同學(xué)，共有 2種， 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有 4+12=16 種， 故選： D 7下列四個結(jié)論： 命題 “若 f（ x）是周期函數(shù)，則 f（ x）是三角函數(shù) ”的否命題是 “若 f（ x）是周期函數(shù)，則f（ x）不是三角函數(shù) ”； 命題 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”； 在 ， “ “A B”的充要條件； 當(dāng) a 0 時，冪函數(shù) y=區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞減 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 第 9 頁（共 23 頁） 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)合命題的真假 【分析】 利用否命題的定義即可判斷出正誤； 利用命題的否定即可判斷出正誤； 在 ，由正弦定理可得： ，可得 “a b，進而判斷出正誤； 利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： 命題 “若 f（ x）是周期函數(shù)，則 f（ x）是三角函數(shù) ”的否命題是 “若 f（ x）不是周期函數(shù)，則 f（ x）不是三角函數(shù) ”，因此不正確； 命題 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”，正確； 在 ，由正弦定理可得： ，因此 “a b“A B”，正確； 當(dāng) a 0 時，冪函數(shù) y=區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞減，正確 其中正確命題的個數(shù)是 3 故選： C 8閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入 m=2016，則輸出 S 等于（ ） A 10072 B 10082 C 10092 D 20102 【考點】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：第一次執(zhí)行循環(huán)體， S=1，不滿足退出循環(huán)的條件， i=3； 第二次執(zhí)行循環(huán)體， S=4，不滿足退出循環(huán)的條件， i=5； 第三次執(zhí)行循環(huán)體， S=9，不滿足退出循環(huán)的條件， i=7； 第 n 次執(zhí)行循環(huán)體， S=滿足退出循環(huán)的條件， i=2n+1； 第 1008 次執(zhí)行循環(huán)體， S=10082，不滿足退出循環(huán)的條件， i=2017； 第 1009 次執(zhí)行循環(huán)體， S=10092，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出的 S 值為： 10092， 第 10 頁（共 23 頁） 故選： C 9已知函數(shù) f（ x） =2x+）滿足 f（ x） f（ a）對于 x R 恒成立，則函數(shù)（ ） A f（ x a）一定是奇函數(shù) B f（ x a）一定是偶函 數(shù) C f（ x+a）一定是奇函數(shù) D f（ x+a）一定是偶函數(shù) 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 先確定 f（ a）的值，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到 a， 的關(guān)系式，然后代入到 f（ x+a）根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡，對選項進行驗證即可 【解答】 解：由題意可知 2a+） =1 2a+=2 f（ x+a） =2x+2a+） =2x+2） = 故選 D 10已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） x a 只有一個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 1， +） B 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 g（ x） =f（ x） x a 只有一個零點可化為函數(shù) f（ x）與函數(shù) y=x+a 有一個交點，作函數(shù) f（ x） = 與函數(shù) y=x+a 的圖象，結(jié)合圖象可直接得到答案 【解答】 解： g（ x） =f（ x） x a 只有一個零點， 函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) y=x+a 有一個交點， 作函數(shù) f（ x） = 與函數(shù) y=x+a 的圖象如下， 第 11 頁（共 23 頁） 結(jié)合圖象可知， a 1； 故選： B 11已知一空間幾何體的三視圖如題圖所示，其中正視圖與左視圖都是全等的等腰梯形，則該幾何體的體積為（ ） A 17 B C D 18 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個四棱臺切去一個三棱錐所得的幾何體，分別求出相應(yīng)的體積，相減可得答案 【解答】 解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個四棱臺切去一個三棱錐所得的幾何體， 棱臺的上下底面的棱長為 2 和 4， 故棱臺的上下底面的面積為 4 和 16， 側(cè)高為 ，故棱臺的高 h= =2， 故棱臺的體積為： = ， 棱錐的底面是棱臺上底面的一半，故底面面積為 2，高為 2， 故棱錐的體積為： 2 2= ， 故組合體的體積 V= = ， 故選： B 12如圖，已知點 D 為 邊 一點， ， n N+）為邊 的一列點，滿足 ，其中實數(shù)列 0， ，則 通項公式為（ ） 第 12 頁（共 23 頁） A 23n 1 1 B 2n 1 C 3n 2 D 32n 1 2 【考點】 數(shù)列與向量 的綜合；數(shù)列遞推式；數(shù)列與解析幾何的綜合 【分析】 利用 ，可得 = + ，設(shè) m = ，利用，可得 = ， m=（ 3），即 =（ 3），證明 是以 2 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列，即可得出結(jié)論 【解答】 解：因為 ， 所以 = + ， 設(shè) m = ，則 因為 ， 所以 = ， m=（ 3）， 所以 = （ 3）， 所以 +1=3（ ）， 因為 =2， 所以 是以 2 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列， 所以 =23n 1， 所以 3n 1 1 故選： A 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分） 13函數(shù) y=x+2在區(qū)間 0， 上的最大值是 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 【分析】 可先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值 【解答】 解： y=1 2，在區(qū)間 0， 上得 x= 故 y=x+2在區(qū)間 0， 上是增函數(shù)，在區(qū)間 ， 上是減函數(shù)， x= 時，函數(shù) y=x+2在區(qū)間 0， 上的最大值是 ， 故答案為： 第 13 頁（共 23 頁） 14設(shè)常數(shù) a 0，（ ） 5 的二項展開式中 的系數(shù)為 40，記等差數(shù)列 前 n 項和為 知 a2+， a，則 5 【考點】 二項式定理 【分析】 由條件利用二項式 定理，二項展開式的通項公式，求得 a=2再由條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得 值，可得 值 【解答】 解：設(shè)常數(shù) a 0，（ ） 5 的二項展開式中的通項公式為 = ar3r， 令 10 3r=4，求得 r=2，可得 的系數(shù)為 0， a=2 記等差數(shù)列 前 n 項和為 已知 a2+， a=10= = ， d= 3= 1， 則 d=2+7（ 1） = 5， 故答案為： 5 15已知 2，拋物線 p 0）的焦點為 F（ 0），直線 l 經(jīng)過點 、 B 點，且 |4，則線段 中點到直線 x= 的距離為 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用 2，拋物線 p 0）的焦點為 F（ 0），求出 p，利用直線 l 經(jīng)過點 F 且與拋物線交于 A、 B 點，且 |4，可得 x1+=4，即 x1+，從而求出線段 中點到直線 x= 的距離 【解答】 解： 2，拋物線 p 0）的焦點為 F（ 0）， F（ ， 0）， p= ， 直線 l 經(jīng)過點 F 且與拋物線交于 A、 B 點，且 |4， x1+=4， x1+， 線段 中點到直線 x= 的距離為 = ， 故答案為： 第 14 頁（共 23 頁） 16已知函數(shù) f（ x） = ，存在 f（ =f（ =f（ 則 的最大值為 【考點】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 先確 定 1 令 y= ，求出函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意， 0 3， 1 又 = ，故令 y= ，則 y= ， x （ 1， e）， y 0， x （ e， y 0， 函數(shù)在（ 1， e）上單調(diào)遞 增，在（ e， 單調(diào)遞減， x=e 時，函數(shù)取得最大值 ， 的最大值為 故答案為： 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17在 ，邊 a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 的對邊，且滿足 2 0 （ ）求 值； （ ）當(dāng) B=a=1， c=2， D 為 中點時，求 長 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）由已知結(jié)合正弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理求得 值； （ ）由已知結(jié)合余弦定理求得 直角三角形，再由勾股定理得答案 【解答】 解：（ ）由題設(shè)及正弦定理知， 2b=a+c，即 由余弦定理知， y=（ 0， ）上單調(diào)遞減， B 的最大值 ； （ ） ， b2=a2+2， 得 c2=a2+ ， 第 15 頁（共 23 頁） ， 18從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在 區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ I）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機抽取 3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 45， 75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為 X，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和，利用之比為 4： 2： 1，即可求出這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ ）求出每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 75）內(nèi)的概率為 用題意可得： X B（ 3， 根據(jù)概率分布知識求解即可 【解答】 解：（ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和為 1 質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1， 這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率為 （ ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 75）內(nèi)的概率為 由題意可得： X B（ 3， X 的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 9已知直角梯形 在的平面垂直于平面 0， 0，C= （ 1）若 P 是 中點，求證： 平面 （ 2）求平面 平面 成的銳二面角 的余弦值 第 16 頁（共 23 頁） 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）設(shè) AB=a，取 中點 O，連接 射線 別為 x 軸、y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明 平面 （ 2）求出平面 法向量和平面 一個法向量，由此利用向量法能求出平面 成的銳二面角 的余弦值 【解答】 證明：（ 1）設(shè) AB=a，取 中點 O，連 接 C，又 0， 又平面 平面 平面 又 以 以射線 別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 則 C（ 0， ， 0）， A（ 0， ， 0）， E（ 0， 0， a）， D（ 0， ， a）， B（ a， ，0） 則 P（ ， 0， 0）， 設(shè)平面 法向量為 =（ =（ a， 0， 0）， =（ 0， ， a）， =0， =0， 即 ，令 ，得 ，又 ， =（ 0， ， 1） =（ 0， ， 1） （ ， ， a） =0， 平 面 解：（ 2）設(shè)平面 法向量為 =（ 平面 一個法向量為 =（ 1， 0， 0） =（ a， ， ）， =（ 0， ， 0）， 則 ，即 令 ，則 ， ， =（ ， 0， 1） = = 第 17 頁（共 23 頁） 平面 平面 成的銳二面角 的余弦值為 20已知點 A（ 2， 0）， P 是 O： x2+ 上任意一點， P 在 x 軸上的射影為 Q， =2 ，動點 G 的軌跡為 C，直線 y=k 0）與軌跡交于 E， F 兩點，直線 別與 y 軸交于點 M， N （ 1）求軌跡 C 的方程； （ 2）以 直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）設(shè) G（ x， y），由題意得 P（ x， 2y），把 P 點坐標(biāo)代入已知圓的方程可得軌跡C 的方程； （ 2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得 E， F 的坐標(biāo)，得到直線 方程，求出 得到以 直徑的圓的方程，由圓的方程可知以 直徑的圓經(jīng)過兩定點 1， 0）， 1， 0） 【解答】 解：（ 1）如圖，設(shè) G（ x， y）， Q（ x， 0）， ， P（ x， 2y）， P 在 O： x2+ 上， 軌跡 C 的方程為 ； （ 2） 點 A 的坐標(biāo)為（ 2， 0），直線 y=k 0）與軌跡 C 交于兩點 E， F， 設(shè)點 E（ 不妨設(shè) 0），則點 F（ 聯(lián)立方程組 ，消去 y 得 ，則 直線 方程為 直線 別與 y 軸交于點 M， N， 令 x=0，得 ，即點 同理可得點 第 18 頁（共 23 頁） 設(shè) 中點為 P，則點 P 的坐標(biāo)為 則以 直徑的圓的方程為 = ， 即 令 y=0，得 ，即 x=1 或 x= 1 故以 直徑的圓經(jīng)過兩定點 1， 0）， 1， 0） 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a） +2a R） （ 1） a=0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （ 2） a 0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）當(dāng) 3 a 2 時，若存在 1， 2 1， 3，使不等式 |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2立，求 m 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）當(dāng) a=0，寫出 f（ x）的解析式，求導(dǎo)，令 f（ x） =0，求得 x 的值， f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞增， f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞減，即可求得函數(shù)的極值； （ 2）求導(dǎo)，化簡整理，討論 a 的取值范圍，求得 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3） 3 a 2， f（ x）在 1， 3上單調(diào)遞減， x=1 取最大值， x=3 取最小值， |f（ 1） f（ 2） | f（ 1） f（ 3）， |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2兩式化簡整理 4a，根據(jù) a 的取值范圍，求得 m 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） =（ 2 a） +2a R），（ x 0） a=0 時， ， 令 f（ x） =0，解得 ， 當(dāng) 時， f（ x） 0， 第 19 頁（共 23 頁） 當(dāng) 時， f（ x） 0， 所以 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ； 所以 f（ x）的極小值是 ， 無極大值； （ 2） = ， 當(dāng) a 2 時， ，令 f（ x） 0，解得： ，或 令 f（ x） 0，解得： ， 當(dāng) a 2 時， f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ， ，單調(diào)遞增區(qū)間是； 當(dāng) a= 2 時， ， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞減； 當(dāng) a 2 時， ，令 f（ x） 0，解得： ，或 ， 令 f（ x） 0，解得： ， 當(dāng) 2 a 0 時， f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ， ，單調(diào)遞增區(qū)間是； （ 3）由（ ，當(dāng) 3 a 2 時， f（ x）在 1， 3上單調(diào)遞減， f（ x） f（ 1） =2a+1， ， ， 存在 1， 2 1， 3，使不等式 |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2立， |f（ 1） f（ 2） |（ m+a 2 ， 整理得 ， 3 a 2， ， 第 20 頁（共 23 頁） ， ， m 的取值范圍是 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22選做題：平面幾何 已知在 ， C，以 直徑的 O 交 D，過 D 點作 O 的切線交 求證：（ 1） （ 2） E 【考點】 圓周角定理；直角三 角形的射影定理 【分析】 （ 1）