選修2-1數(shù)學(xué)-橢圓綜合-知識(shí)點(diǎn)+大量例題.doc

橢圓的性質(zhì)橢圓的范圍 橢圓上的點(diǎn)都位于直線x=a和y=b圍成的矩形內(nèi)，所以坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b.橢圓的離心率 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2。橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)M（x,y），若點(diǎn)M（x,y）在橢圓上，則有；若點(diǎn)M（x,y）在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)M（x,y）在橢圓外，則有.直線與橢圓的相交弦 設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，則=同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：;例1. 已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，且，求橢圓的方程?！窘馕觥?橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|OF|=c，所以c=2，b2=3222=5，故橢圓的方程為或?！咀兪?】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_ 【答案】。例2.（1）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成長(zhǎng)為的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離分別為10和4，求其離心率?！窘馕觥?（1）由題意得，即，解得。（2）由題意得，解得，故離心率?！咀兪?】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ） 【答案】D【變式2】橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，若成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為 【答案】例3. 設(shè)M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，若MF1F2=75，MF2F1=15，求橢圓的離心率?！窘馕觥?在MF1F2中，由正弦定理得即，?！咀兪?】以橢圓兩焦點(diǎn)為直徑的圓交橢圓于四個(gè)不同點(diǎn)，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，恰好圍成一個(gè)正六邊形，則這個(gè)橢圓的離心率等于。 【答案】【變式2】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)為B，若BFBA，求離心率_?！窘馕觥?根據(jù)題意，|AB2|=a2+b2，|BF|=a，|AF|=a+c，所以在RtABF中，有(a+c)2=a2+b2+a2，化簡(jiǎn)得c2+aca2=0，等式兩邊同除以a2，得e2+e1=0，解得。又0e1，。例4已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使，求其離心率的取值范圍。 【解析】F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120又|PF1|+|PF2|=2a 聯(lián)立 得4c2=4a2-|PF1|PF2|，【變式】已知橢圓，以，為系數(shù)的關(guān)于的方程無實(shí)根，求其離心率的取值范圍?！敬鸢浮坑梢阎?，所以，即，不等式兩邊同除可得，解不等式得或.由橢圓的離心率，所以所求橢圓離心率.例6. 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程【解析】解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得 得將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為【變式1】已知點(diǎn)P（4，2）是直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】直線的方程為x+2y8=0【變式2】若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮繒r(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn) 橢圓（2013高考題）（2013新課標(biāo)全國(guó)高考文科5）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，則的離心率為（ ） A. B. C. D.【解析】選D. 因?yàn)?所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D.(2013大綱版全國(guó)卷高考理科T8)橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是() A. B. C. D.【解析】選B.設(shè)，則，故.因?yàn)?所以（2013大綱版全國(guó)卷高考文科8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交于A,B兩點(diǎn),且=3,則C的方程為()A. B. C. D.【解析】選C.設(shè)橢圓得方程為，由題意知，又，解得或（舍去），而，故橢圓得方程為.（2013四川高考文科9）從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 【解析】選C，根據(jù)題意可知點(diǎn)P，代入橢圓的方程可得，根據(jù)，可知，即，解得，即，解得，故選C.（2013廣東高考文科9）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則C的方程是（ ） A B C D【解析】選D.設(shè)C的方程為，則，C的方程是.（2013遼寧高考文科11）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,則C的離心率為() A. B. C. D.【解析】選B.在三角形中，由余弦定理得,又解得在三角形中，故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形為矩形，則其對(duì)角線且，即焦距又據(jù)橢圓的定義，得，所以.故離心率(2013江蘇高考數(shù)學(xué)科T12) 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 【解析】由原點(diǎn)到直線的距離為得，因到的距離為故，又所以又解得（2013上海高考文科T12）與（2013上海高考理科T9）相同設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 .【解析】 如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系.（2013福建高考理科14）相同 橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.【解析】MF1F2是直線的傾斜角,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形,在RtMF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.（2013遼寧高考理科15）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，連接若，則的離心率【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，故三角形為直角三角形。設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形為矩形，則其對(duì)角線且，即焦距又據(jù)橢圓的定義，得，所以.故離心率（2013陜西高考文科20）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率. 【解析】(1) 點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍，則.所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為.(2) P(0, 3), 設(shè)，橢圓經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過這2點(diǎn)，即直線m斜率k存在。.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：所以，直線m的斜率.（2013四川高考理科20） 已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的離心率； 2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=,又由已知,c=1,所以橢圓的離心率e=. (2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1, 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).() 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2).() 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2,因?yàn)镸,N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為則|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=, 將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 由D=(8k)24(2k2+1)60,得k2.由可知,x1+x2=,x1x2=, 代入并化簡(jiǎn)得x2=. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入并化簡(jiǎn),得10(y2)23x2=18.由及k2,可知0x2b0)的兩焦點(diǎn)為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）(c0)，離心率e=，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為2-，求橢圓的方程.13已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng) 14.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|PF2|，求的值.15.已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）【答案與解析】1答案： C 由題意，a=5,c=3,b2=a2c2=259=16,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或=1.2答案：D 由已知2a=12，得a=6，c=2，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的方程是。3答案：D 直線y=kx+1過定點(diǎn)（0，1），定點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部或橢圓上時(shí)直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，得m1，m的取值范圍是1m5。4答案：C 由橢圓定義可知小球經(jīng)過路程為4a，所以最短路程為16，故選C5.答案：C 而，6答案：D設(shè)與直線平行的直線方程為x+2y+m=0，由，得8y2+4my+m216=0，=0得，顯然時(shí)距離最大7答案：3或 方程中4和m哪個(gè)大哪個(gè)就是a2，因此要討論：（1）若0m4則a2=4，b2=m，得m=3。（2）m4，則b2=4，a2=m，得。8答案：2，3 根據(jù)圖象可得圓的半徑要比橢圓長(zhǎng)軸短，短軸長(zhǎng)，因此半徑a的取值范圍為2，39.答案： 由題意得10答案： 解析：由題設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，橢圓的方程為11. 解析：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故12解析：橢圓的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短，a-c=2-.又e=，a=2.故b=1.橢圓的方程為+x2=1.13. 解析：利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸