2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案文（含解析）新人教A版.docx

6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱考情考向分析1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式2.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本性質(zhì)，等比數(shù)列的證明也是考查的熱點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查解答題往往與等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問(wèn)題綜合考查屬于中低檔題.1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1qn1.3等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mN)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則akalaman.(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，anbn，仍是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.概念方法微思考1將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù)，所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎？若是，這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系？提示仍然是一個(gè)等比數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù)2任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？提示不是只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)3“b2ac”是“a，b，c”成等比數(shù)列的什么條件？提示必要不充分條件因?yàn)閎2ac時(shí)不一定有a，b，c成等比數(shù)列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比數(shù)列一定有b2ac.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)滿(mǎn)足an1qan(nN，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)nan是等差數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anan，則其前n項(xiàng)和為Sn.()(5)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列()題組二教材改編2已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q.答案解析由題意知q3，q.3公比不為1的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a5a6a4a718，若a1am9，則m的值為()A8B9C10D11答案C解析由題意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.題組三易錯(cuò)自糾4若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則的值為答案解析1，a1，a2，4成等差數(shù)列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則b144，且b21q20，b22，.5設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則.答案11解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一種專(zhuān)門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB，然后每3秒自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍，那么開(kāi)機(jī)秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB.(1GB210MB)答案39解析由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列an，且a12，q2，an2n，則2n8210213，n13.即病毒共復(fù)制了13次所需時(shí)間為13339(秒)題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1(2019沈陽(yáng)模擬)已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1，a3a54(a41)，則a2等于()A.B.C1D2答案B解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意知a3a54(a41)a，則a4a440，解得a42，又a1，所以q38，即q2，所以a2a1q.2(2018全國(guó))等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN+)(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.思維升華 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱(chēng)“知三求二”)(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)q1和q1的分類(lèi)討論題型二等比數(shù)列的判定與證明例1已知數(shù)列an滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)n，均有an15an23n，且a18.(1)證明：數(shù)列an3n為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)閍n15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)，又a18，所以a1350，所以數(shù)列an3n是首項(xiàng)為5、公比為5的等比數(shù)列所以an3n5n，所以an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn11121nnn.思維升華判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見(jiàn)方法：(1)定義法：若q(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)等比中項(xiàng)法：若aanan2(nN，an0)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：若anAqn(A，q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列an是等比數(shù)列跟蹤訓(xùn)練1(2018黃山模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)，故an(3n1)2n2.題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)(2018包頭質(zhì)檢)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若a21，a5，則a1a2a2a3anan1(nN+)的最小值為()A.B1C2D3答案C解析由已知得數(shù)列an的公比滿(mǎn)足q3，解得q，a12，a3，故數(shù)列anan1是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，a1a2a2a3anan1，故選C.(2)(2018大連模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S21，S45，則S6等于()A9B21C25D63答案B解析因?yàn)镾210，所以q1，由等比數(shù)列性質(zhì)得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，即1(S65)(51)2，所以S621，故選B.思維升華等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類(lèi)：(1)通項(xiàng)公式的變形(2)等比中項(xiàng)的變形(3)前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口跟蹤訓(xùn)練2(1)等比數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a3a8a4a718，則a1a2a10.答案20解析由a3a8a4a718，得a4a79所以a1a2a1055952log331020.(2)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且，則(n2，且nN)答案解析很明顯等比數(shù)列的公比q1，則由題意可得，解得q，則.等差數(shù)列與等比數(shù)列關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算在高考試題中頻繁出現(xiàn)，其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計(jì)算，靈活處理已知條件例1已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿(mǎn)足a2，a5，a7成等比數(shù)列，則的值為()A.B.C.D.答案A解析已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿(mǎn)足a2，a5，a7成等比數(shù)列，aa2a7，(a14d)2(a1d)(a16d)，10d2a1d，d0，10da1，.例2已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿(mǎn)足b12，b25，且an(bn1bn)an1，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()A3n1B3n1C.D.答案C解析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，數(shù)列an的公比為q3，bn1bn3，數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn2n3.故選C.1已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a11，a3a716，則該數(shù)列的公比為()AB.C2D2答案A解析根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a3a7aaq8q81624，所以q22，即q，故選A.2已知遞增的等比數(shù)列an中，a26，a11，a22，a3成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于()A93B189C.D378答案B解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可知，q1，且2a11a3，即216q，整理可得2q25q20，則q2，則a13，數(shù)列an的前6項(xiàng)和S6189.3(2018滿(mǎn)洲里質(zhì)檢)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn32n1r，則r的值為()A.BC.D答案B解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13r，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn132n132n332n3(321)832n3832n2319n1，所以3r，即r，故選B.4已知等比數(shù)列an的公比為2，且Sn為其前n項(xiàng)和，則等于()A5B3C5D3答案C解析由題意可得，1(2)25.5古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為()A10B9C8D7答案C解析設(shè)該女子第一天織布x尺，則5，解得x，所以前n天織布的尺數(shù)為(2n1)，由(2n1)30，得2n187，解得n的最小值為8.6若正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足anan122n(nN)，則a6a5的值是()A.B16C2D16答案D解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q0，anan122n(nN)，4q2，解得q2，a222n，an0，解得an，則a6a516，故選D.7已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a12018，a2a42a3，則S2019.答案2018解析a2a42a3，a2a42a30，a22a2qa2q20，q22q10，解得q1.a12018，S20192018.8.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)形圖形，稱(chēng)為“勾股樹(shù)”若某勾股樹(shù)含有1023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為答案解析由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個(gè)正方形，則有122n11023，n10，最小正方形的邊長(zhǎng)為9.9已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1，且a2a82a53，則a9.答案18解析a2a82a53，a2a53，解得a53(舍負(fù))，即a1q43，則q46，a9a1q83618.10設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3a112a，且S4S12S8，則.答案解析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，將q42代入計(jì)算可得.11(2018全國(guó))已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an，將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.12已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，a22，an2，nN.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明b1a2a11.當(dāng)n2時(shí)，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan1ann1，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.當(dāng)n1時(shí)，111a1，ann1(nN)13(2019鄂爾多斯模擬)正項(xiàng)等比數(shù)列an中的a1，a4037是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點(diǎn)，則等于()A1B2C1D.答案A解析因?yàn)閒(x)x28x6，所以a1a40376，所以a2019(舍負(fù))，1.14已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n12，bnlog2(a)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則滿(mǎn)足Tn1024的最小n的值為答案9解析由數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n12，則當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n122n22n，a1S12，滿(mǎn)足上式，所以bnlog2(a)log2alog22n2n，所以數(shù)列bn的前n和為T(mén)nn(n1)2n12，當(dāng)n9時(shí)，T9910210211121024，當(dāng)n8時(shí)，T8892925821024的最小n的值為9.15已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且a2a4a3，則使得Tn1的n的最小值為()A4B5C6D7答案C解析an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4