安徽--數(shù)學歸納法(吳中才).doc

第三屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課評選數(shù)學歸納法及其應(yīng)用舉例人教高三數(shù)學（選修II）第2章第1節(jié)選送單位:安徽省教科所參賽教師: 吳中才 選手單位:安徽師大附中2006年8月8日課題：數(shù)學歸納法及其應(yīng)用舉例人民教育出版社全日制普通高級中學教科書數(shù)學第三冊(選修II)第二章第一節(jié)安徽師大附中 吳中才【教學目標】1 使學生了解歸納法, 理解數(shù)學歸納的原理與實質(zhì)2 掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題3 培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學思想4 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率5 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和科學精神【教學重點】歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析【教學難點】數(shù)學歸納法中遞推思想的理解【教學方法】類比啟發(fā)探究式教學方法【教學手段】多媒體輔助課堂教學【教學程序】第一階段：輸入階段創(chuàng)造學習情境，提供學習內(nèi)容1 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學生思維 (1) 不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄中有一個笑話：財主的兒子學寫字這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的(2) 完全歸納法對比引例：有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法這些歸納法卻不能用完全歸納法2 回顧數(shù)學舊知，追溯歸納意識（從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納）(1) 不完全歸納法實例： 給出等差數(shù)列前四項, 寫出該數(shù)列的通項公式(2) 完全歸納法實例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況3 借助數(shù)學史料, 促使學生思辨（在生活引例與學過的數(shù)學知識的基礎(chǔ)上，再引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學大家都可能如此那么，有沒有更好的歸納法呢？）問題1 已知（nN），(1)分別求；(2)由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？ （培養(yǎng)學生大膽猜想的意識和數(shù)學概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程）問題2 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他曾認為，當nN時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n0，1，2，3，4作了驗證后得到的后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了4 294 967 2976 700 417641，從而否定了費馬的推測沒想到當n5這一結(jié)論便不成立問題3 , 當nN時，是否都為質(zhì)數(shù)？驗證： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601但是f（40）1 681，是合數(shù)第二階段：新舊知識相互作用階段新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu)4 搜索生活實例，激發(fā)學習興趣（在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗）實例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會全部倒下 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等5 類比數(shù)學問題, 激起思維浪花類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項公式：(1) 當n1時等式成立； (2) 假設(shè)當nk時等式成立, 即, 則=, 即nk1時等式也成立 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項公式對任何n都成立（布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習）6 引導學生概括, 形成科學方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1) 證明當n取第一個值時結(jié)論正確；(2) 假設(shè)當nk (k，k) 時結(jié)論正確, 證明當nk1時結(jié)論也正確完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確這種證明方法叫做數(shù)學歸納法第三階段：操作階段鞏固認知結(jié)構(gòu)，充實認知過程7 蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識（本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能教給學生做數(shù)學的方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力）例題 在數(shù)列中, 1, (n), 先計算，的值，再推測通項的公式, 最后證明你的結(jié)論8 基礎(chǔ)反饋練習, 鞏固方法應(yīng)用（課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多，套用數(shù)學歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點練習第3題恰好是等比數(shù)列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟的掌握情況）(1)（第63頁例1）用數(shù)學歸納法證明：135（2n1）(2)（第64頁練習3）首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是9 師生共同小結(jié), 完成概括提升(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法；(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法；(3) 數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想10 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊(1) 課本第64頁練習第1, 2題； 第67頁習題2.1第2題(2) 在數(shù)學歸納法證明的第二步中，證明nk1時命題成立, 必須要用到nk時命題成立這個假設(shè)這里留一個辨析題給學生課后討論思考：用數(shù)學歸納法證明： (n)時, 其中第二步采用下面的證法：設(shè)nk時等式成立, 即, 則當nk1時, 你認為上面的證明正確嗎？為什么？【教學設(shè)計說明】1數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法它的操作步驟簡單、明確，教學重點不應(yīng)該是方法的應(yīng)用我認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練為此，我設(shè)想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機2在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法目的是加強學生對教學過程的參與為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導和點撥學生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方