魯教版三角形的有關證明整章備課

單元名 稱三角形的有關證明第 十 單元單元教學目標1.知識與技能（1）等腰三角形的性質和判定定理；（2）直角三角形的性質定理和判定定理；2.過程與方法（1）會運用等腰三角形的性質和判定定理解決相關問題；（2）直角三角形的性質定理和判定定理解決簡單的實際問題；3.情感態(tài)度與價值觀（1）經(jīng)歷由情景引出問題，探索掌握有關數(shù)學知識，再運用于實踐的過程，培養(yǎng)學數(shù)學、用數(shù)學的意識與能力；（2）感受數(shù)學文化的價值和中國傳統(tǒng)數(shù)學的成就，激發(fā)學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情。單元重、難點【單元重點】在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理。【單元難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數(shù)學語言正確表達等。單元知識結構第1節(jié)全等三角形第2節(jié)等腰三角形第3節(jié)直角三角形第4節(jié)線段的垂直平分線第5節(jié)角平分線學生情況分析七年級是初中學習過程中的關鍵時期，學生基礎的好壞，直接影響到將來是否能升學，學生原來的薄弱能力是邏輯思維沒有真正形成，不會分析問題，對于實際問題無可奈何。學生的能力普遍不足，尤其是自學能力。在學習方法上，大部分學生的方法是有缺陷的。都是依賴老師的管理進行學習。大部分學生出現(xiàn)的學習問題，不在于智力，而在于學習品質。要在本期獲得理想成績，老師和學生都要付出努力，查漏補缺，充分發(fā)揮學生是學習的主體，教師是教的主體作用，注重方法，培養(yǎng)能力。教學設想1.對于已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴格證明的思路；對于新增命題，教學過程中要重視學生的探索、證明過程，關注該命題與其他已有命題之間的關系；對于整章的命題，注意關注將這些命題納入一個命題系統(tǒng)，關注命題之間的關系，從而形成對相關圖形整體的認識。2.對于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當?shù)姆椒ā?.證明過程中注意揭示蘊含其中的數(shù)學思想方法，如轉化、歸納、類比等。4.作為初中階段幾何證明的最后階段，教學中應要求學生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求。課時劃分全等三角形 3課時等腰三角形4課時直角三角形2課時線段的垂直平分線2課時角平分線 2課時回顧與思考2課時全等三角形主備人_ 第_課時 【學習目標】1、 給出AAS命題的證明，能靈活應用SAS,ASA，SSS和AAS來判定兩個三角形全等2、掌握命題證明的基本步驟和格式，掌握分析法解題的思路?！窘虒W重點】掌握分析法解題思路，用SAS,ASA，SSS和AAS判定兩個三角形全等【教學難點】掌握分析法解題思路，用SAS,ASA，SSS和AAS判定兩個三角形全等【教學過程】一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）1（1）_ 叫做全等三角形。（2）“全等”的符號： 讀作“全等于”；（3）全等三角形的性質： （4）對應邊： 對應角： 2可以作為判別兩三角形全等的常用方法有幾種？“SSS”：“SAS”：“ASA”： “AAS”：1. AAS與ASA比較有什么異同點？ 2.AAS與SSS，SAS，ASA三者有什么區(qū)別與聯(lián)系？應用時如何選擇這四個定理？ 三邊： 兩邊一角： 兩角一邊：三角： 3. 已知兩邊，可以補_條件用_定理證明全等？ 已知兩角，可以補_條件用_定理證明全等？1.判斷有兩角和其中一角的對應邊對應相等的兩個三角形全等.( )有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等。（ ）2課本94頁數(shù)學理解第3題（1）已知：AB=DE，AC=DF，要證明ABCDEF，只需要再增添一個條件：_.（2）已知：AE和CD相交于點0，AEO=DCO, 要證明AOEDOC，只需再增加一個條件：_.（注意隱藏條件）（這是軸對稱） 3.已知AB和CD相交于點O，線段OA=OD，OC=OB。求證：AC=BD，A=D. 指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華學生獨立思考并回答問題，小組加分。每組五號進行搶答學生先小組討論交流，然后回答并相互補充、質疑，最后得出結論學生回答學生以小組為單位進行講解黑板展示學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】全等三角形2主備人_ 第_課時 【學習目標】1能準確敘述全等三角形的定義、性質、判定公理及推論，會用公理推導推論；2能熟練運用全等三角形的定義、性質、判定公理及其推論進行有關的論證.【教學重點】1、較靈活的運用判定一般三角形全等的方法，證明三角形全等。2、利用全等三角形，證明線段或角相等?！窘虒W難點】1、較靈活的運用判定一般三角形全等的方法，證明三角形全等。2、利用全等三角形，證明線段或角相等?！窘虒W過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）請閱讀課本95-96頁，并完成下面問題：1認真閱讀例題，把握公理及推論的應用方法和表述要求；2.獨立規(guī)范完成隨堂練習，嘗試歸納本節(jié)課的注意事項.3、用推理的形式分別表述全等三角形的判定公理及其推論：1、自學課本P95例2根據(jù)上節(jié)課講的證明的基本步驟和書寫格式整理例2，2、探究：你能用上節(jié)課的推論證明例2嗎？與同伴進行交流。3、典例精析已知：如圖，AB=CD，AB/CD.CE=AF，求證：E=F試用推出符號寫出證明過程。1、如圖1：ABEACD，AB=8cm，AD=5cm，A=60，B=40，則AE=_，C=_。2、已知，如圖2：ABC=DEF，AB=DE，要說明ABCDEF(1)若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為_；(2)若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為_；3、如圖3，ABCADE，B100，BAC30，則AED_4如圖4所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,B=C。求證：指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華AD=AE學生獨立思考并回答問題，小組加分。學生舉例小組討論交流：怎樣證明線段或角相等？證明三角形全等時應注意什么問題？學生先小組討論交流，然后回答并相互補充、質疑，最后得出結論學生回答學生以小組為單位進行講解黑板展示學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】等腰三角形主備人_ 第_課時 【學習目標】1使學生識記等腰三角形的判定定理內容；并且會運用等腰三角形的判定定理，進而掌握等腰三角形的兩種不同的判定方法；2經(jīng)歷思考、探究過程、發(fā)展總結歸納，體驗數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系；通過例題的學習，提高學生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力；【教學重點】等腰三角形的判定定理及其應用【教學難點】等腰三角形的判定定理及其應用【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動設計意圖一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、點撥升華（20分鐘）教師利用課件出示生活中等腰三角形實物圖片，提問：（1）、在圖片中有哪種幾何圖形？（2）、它有什么特征？它是軸對稱圖形嗎？對稱軸是哪一條？教師再提問引入課題：等腰三角形還有其他的特殊性質嗎？這節(jié)課我們就來研究等腰三角形的性質把等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角，并填在書上的表格中，你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象？能猜一猜等腰三角形ABC有哪些性質嗎？教師在學生猜想的基礎上，引導學生觀察、完善、歸納出性質1和性質2：性質1 等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）；性質2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成“三線合一”）全等三角形的知識驗證等腰三角形的性質教師鼓勵學生探討多種證明方法，肯定一題多解。如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=AD，圖中共有幾個等腰三角形？分別寫出它們的頂角與底角；你能求出各角的度數(shù)嗎？教師引導學生尋找等腰三角形中其他相等的線段，如：兩腰上的高，兩腰上的中線，兩底角的平分線等。學生觀察圖片，總結結論學生思考，學習小組互相討論學生思考、回顧學生思考，小組討論，并作答學生模仿證明性質2師生共同分析：已知中沒有給出角度，需利用三角形內角和為180的條件來求具體度數(shù)，但由于未知數(shù)過多，需根據(jù)已知各邊的關系尋找到ABC的各角關系，由圖中的三個等腰三角形的底角及外角性質，可設A=X，列方程解決。強調此題圖形特殊，只有頂角為36的等腰三角形才能滿足。學生動手畫圖，折紙，思考，討論得出結論，并用適當?shù)姆椒炞C這一結論板書設計等腰三角形性質1 等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）；性質2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成“三線合一”）性質3 等角對等邊【作業(yè)】【教學反思】等腰三角形2主備人_ 第_課時 【學習目標】知識目標：了解等腰三角形的性質，會利用等腰三角形的性質，進行簡單的推理、判斷、計算作用。 能力目標：通過設置問題模型演示自己動手探究發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質，培養(yǎng)學生的觀察力、實驗推理能力?！窘虒W重點】等腰三角形兩底角相等，等腰三角形三線合一。因為等腰三角形的性質是今后學習線段垂直平分線的基礎，也是今后論證角、邊相等的重要依據(jù)，所以是本節(jié)教學的重點。【教學難點】等腰三角形三線合一的推理應用【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）1、已知：ABC中，B=C求證：AB=AC2、師提問：在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？得出結論1、等腰三角形的判定定理：如果一個三角形中有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形（等角對等邊）。2、用數(shù)學符號表示：B=C-AB=AC3、師提問：還有沒有其他的證明方法？4、師強調應用等腰三角形判定定理的前提條件：在同一個三角中5、方法總結：等腰三角形的幾種判定方法（兩種）例 求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,那么這個三角形是等腰三角形。 已知:CAE是ABC的外角,1=2,AD/BC求證：AB=AC 1、 如圖1，AC和BD相交于點O，且ABDC，OA=OB，求證：OC=OD2、已知：如圖2，AD/BC，BD平分 ABC求證：AB=AD指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華AD=AE每組2號黑板展示，其余在練習本上完成學生獨立思考并回答問題，小組加分。學生口答小組討論交流：怎樣證明線段或角相等？證明三角形全等時應注意什么問題？小組討論并思考問題：1、分別指出命題中題設和結論，明確命題中的已知和求證。2、根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知、求證。3、經(jīng)過分析，寫出證明過程。師生共同分析，生寫出證明過程學生獨立完成這道證明題，找一生到白板上書寫.學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】等邊三角形主備人_ 第_課時 【學習目標】1、了解等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形是軸對稱圖形2、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質和判定方法3、能夠用等邊三角形的知識解決相應的數(shù)學問題【教學重點】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學難點】等邊三角形性質和判定的應用【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）1、等腰三角形的性質：（1）等腰三角形的 相等（2）等腰三角形 、 、 互相重合 等邊三角形具有什么性質呢?1請同學們畫一個等邊三角形，用量角器量出各個內角的度數(shù)，并提出猜想。2你能否用已知的知識，通過推理得到你的猜想是正確的?3等邊三角形的性質： 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸 等邊三角形也稱為正三角形。4.合作探究 問題（1）：三個角都相等的三角形是一個什么樣的三角形？問題（2）：有一個角是60的等腰三角形是一個什么樣的三角形？5.等邊三角形的判定：（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形（3）有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形1、如圖，ABC是等邊三角形，DEBC，交AB，AC于D，E。求證ADE是等邊三角形。2、如圖，ABAC，A40，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求DBC的度數(shù)。指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華學生獨立思考并回答問題，小組加分。學生動手畫并且測量學生先小組討論交流，然后回答并相互補充、質疑，最后得出結論學生回答學生以小組為單位進行講解黑板展示學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】直角三角形主備人_ 第_課時 【學習目標】1. 探索，發(fā)現(xiàn)，猜想，證明直角三角形中有一個角為30的性質及簡單應用2.引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系【教學重點】含30角的直角三角形的性質定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學難點】含30角的直角三角形的性質定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）問題：在直角三角形中,如果一個銳角等于30那么它所對的直角邊與斜邊數(shù)量上有怎樣的關系?如圖，將兩個含有30角的三角板放在一起，你能借助這個圖形，找到RtABD的直角邊BD與斜邊AB之間的數(shù)量關系嗎？總結：在直角三角形中,如果一個銳角等于30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.幾何語言：在RtABC中（ C90)A30AC2BC (BC=1/2AC下圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多長？1、在RtABC 中， 如果 B 0 ， A 30 AB=4，求BC之長。2、等腰三角形的頂角為60，底邊長為8cm，則腰長為 3、等腰三角形頂角為30，腰長是4cm，則三角形面積是 4、等腰三角形的底角為15，腰長為2cm，則腰上的高為 。5、ABC中, ACB=90, B=60,BC=3cm,則 AB= .指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華通過猜測給學生感官上的認識教師拼圖，學生進行觀察，同時思考問題。讓學生說明證明的過程，不要求步步嚴謹，意思對即可學生以小組為單位進行講解，學生思考后先試著寫出過程，找同學板書。學生口答學生自主練習，鞏固所學學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】直角三角形2主備人_ 第_課時 【學習目標】1.在操作、比較中理解直角三角形全等的過程，并能用于解決實際問題2.經(jīng)歷探索直角三角形全等判定的過程，掌握數(shù)學方法，提高合情推理的能力【教學重點】理解利用“斜邊、直角邊”來判定直角三角形全等的方法【教學難點】培養(yǎng)有條理的思考能力，正確使用“綜合法”表達【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形才能全等？學生可以回答去量斜邊和一個銳角，或直角邊和一個銳角，但對問題（2）學生難以回答此時，教師可以引導學生對工作人員提出的辦法及結論進行思考，并驗證它們的方法，從而展開對直角三角形特殊條件的探索任意畫出一個RtABC，使C=90，再畫一個RtABC，使BC=BC，AB=AB，把畫好的RtABC剪下，放到RtABC上，它們全等嗎？引導學生共同參與分析例已知ACBC，BDAD，AC=BD，求證BC=AD 【思路點撥】欲證BC=AD，首先應尋找和這兩條線段有關的三角形，這里有ABD和BAC，ADO和BCO，O為DB、AC的交點，經(jīng)過條件的分析，ABD和BAC具備全等的條件有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方面的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角ABC和DEF的大小有什么關系？下面是三個同學的思考過程，你能明白他們的意思嗎？（如圖4所示） ABCDEFABCDEFABC+DEF=90有一條直角邊和斜邊對應相等，所以ABC與DEF全等這樣ABC=DEF，也就是ABC+DEF=90在RtABC和RtDEF中，BC=EF，AC=DF，因此這兩個三角形是全等的，這樣ABC=DEF，所以ABC與DEF是互余的指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華小組討論，發(fā)表意見：“由三角形全等條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了”畫圖分析，尋找規(guī)律如下：規(guī)律：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）參與教師分析，提出自己的見解這個問題涉及的推理比較復雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但不需要每個學生自己獨立說明理由，只要求學生能看懂三位同學的思考過程就可以了學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】線段的垂直平分線1主備人_ 第_課時 【學習目標】1、經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論【教學重點】線段的垂直平分線性質與逆定理及其的應用【教學難點】線段的垂直平分線的逆定理的理解和證明【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、鞏固新知：（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）線段的垂直平分線有什么性質？線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等要證明一個圖形上每一點都具有某種性質，只需要在圖形上任取一點作代表。這一思想方法應讓學生理解。符號語言 P在線段AB的垂直平分線CD上 PA = PB困為這個命題不是“如果那么”的形式，所以學生說出或寫出它的逆命題時可能會有一定的困難幫助學生分析它的條件和結論，再寫出其逆命題，最后應要求學生按證明的格式將證明過程書寫出來。1） 猜想：我們說“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”，那么，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上有什么性質？引導學生自主發(fā)現(xiàn)線段垂直平分線的判定此定理應用于證明一點在某條線段的垂直平分線上1、 如圖，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分線。1）則BD = ；2）若B = 40，則BAC = ，DAB = ，DAC = ，CDA = ；3）若AC= 4， BC = 5，則DA + DC = ，ACD的周長為 。2、 如圖，ABC中，AB = AC，A = 40，DE為AB的中垂線，則1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC的周長為16cm，BC = 4cm，則AC = ，BCE的周長為 。指導學生從知識和能力兩個方面進行總結反思巡視指導，對個性問題進行指導，共性問題點撥升華學生自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程。讓學生說明證明的過程，不要求步步嚴謹，意思對即可學生以小組為單位進行講解，學生思考后先試著寫出過程，找同學板書。學生自主練習，鞏固所學學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題學生獨立完成，小組對照答案【作業(yè)】【教學反思】線段的垂直平分線2主備人_ 第_課時 【學習目標】1、經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論【教學重點】線段的垂直平分線性質與逆定理及其的應用【教學難點】線段的垂直平分線的逆定理的理解和證明【教學過程】教學環(huán)節(jié)與時間教師活動學生活動一、自主學習（5分鐘）二、探究新知：（20分鐘）三、點撥升華（15分鐘）四、暢所欲言（2分鐘）五、當堂檢測（3分鐘）用尺規(guī)作線段的垂直平分線。分析：通過三種不同情況的作圖訓練，讓學生真正理解線段垂直平分線的尺規(guī)作法。例1.已知直線和上一點P，利用尺規(guī)作的垂線，使它經(jīng)過點P。例2.作一個三角形三條邊上的垂直平分線。1） 在上例中，同學們有沒有發(fā)現(xiàn)，利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線時，三條線有什么特點？2） 定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等3） 證明定理證明三線共點的基本思路是：要想證明三條直線相交于一點，只要證明其中兩條直線的交點在另一條直線上。而要想證明其中兩條直線的交點在另一條直線上，則要說明兩條直線的交點滿足另一