安徽省蚌埠市第二中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）

蚌埠二中2020學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）A. 1B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再求，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?因此 虛部是1,選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算以及虛部概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.利用反證法證明“若，則且”時(shí)，下列假設(shè)正確的是（ ）A. 且B. 且C. 或D. 或【答案】C【解析】“且”的否定為“或”，故選C： 或3.若的值為（ ）A. 1B. 7C. 20D. 35【答案】D【解析】試題分析：由條件利用組合數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再根據(jù)n!的定義求得所給式子的值詳解：若，則有n=3+4=7，故 =35，故選：C點(diǎn)睛：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算公示的應(yīng)用，n!的定義，屬于中檔題4.展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理公式展開即可求得結(jié)果【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用二項(xiàng)式定理公式展開即可求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題。5.下面四個(gè)命題：其中正確的有（ ）是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；若，且，則；兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念進(jìn)行判斷選擇.【詳解】時(shí)，不是純虛數(shù)；任何兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大??；若，且，但；設(shè),則其共軛復(fù)數(shù)的差為或?yàn)榧兲摂?shù)綜上正確的有，選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，由曲線，和所圍成的封閉圖形的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出直線y=x和曲線xy=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用定積分求出曲線，和軸所圍成的封閉圖形的面積.詳解：聯(lián)立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由題得由曲線，和軸所圍成的封閉圖形的面積為，故選A.點(diǎn)睛：求曲線圍成的不規(guī)則的圖形的面積，一般利用定積分來求解.7.已知，則的值等于( )A. 64B. 32C. 63D. 31【答案】C【解析】因?yàn)?，所以因此 ，選C.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式通項(xiàng)與展開式的應(yīng)用(1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等.(2)展開式的應(yīng)用：可求解與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)求值，常采用賦值法.可證明整除問題(或求余數(shù)).關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷.有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法.8.現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理【名師點(diǎn)晴】（1）對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步9.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則（ ）A. 的極大值為，極小值為B. 的極大值為，極小值為C. 的極大值為，極小值為D. 的極大值為，極小值為【答案】D【解析】解：觀察圖象知，x-3時(shí)，y=xf（x）0，f（x）0-3x0時(shí)，y=xf（x）0，f（x）0由此知極小值為f（-3）0x3時(shí)，y=xf（x）0，f（x）0x3時(shí)，y=xf（x）0，f（x）0由此知極大值為f（3）故選D10.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，的點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足,， 的點(diǎn) 的集合對(duì)應(yīng)的空間幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積為以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的面積的，即；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的空間幾何體的體積為以為球心，半徑為的球體的，即.考點(diǎn)：類比推理11.函數(shù) （ ）A. 極大值為，極小值為B. 極大值為，極小值為C. 極大值為，極小值為D. 極大值為，極小值為，【答案】B【解析】由題意，則，由，得，由得，即函數(shù)在和上增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此是極大值，是極小值，故選B12.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù) ，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式.【詳解】因?yàn)椋?，所以?則，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,因?yàn)樗詾镽上單調(diào)減函數(shù),由得,所以,即實(shí)數(shù)的最小值為，選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析與求解能力，屬較難題.二：填空題。13.若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)有極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)有極值點(diǎn)，即在上有零點(diǎn)，即.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與極值，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.14.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，且每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)都不相同，則共有_種不同的放法.【答案】18【解析】【分析】先確定盒子球數(shù)分配方法，再進(jìn)行排列.【詳解】由題意得三個(gè)盒子球數(shù)為（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4）這三種，所以共有種不同的放法.【點(diǎn)睛】本題考查排列應(yīng)用題，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.15.設(shè)且，若能被整數(shù)，則_【答案】12【解析】【分析】先求除以的余數(shù)，再確定的值.【詳解】因?yàn)?所以除以的余數(shù)為1，因此能被整數(shù)，而且，所以【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理應(yīng)用，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.16.如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個(gè)數(shù)字是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)陣先確定每行第一個(gè)數(shù)，再根據(jù)每行第二個(gè)數(shù)的分母為上一行肩上兩個(gè)數(shù)分母的和進(jìn)行列式求解.【詳解】根據(jù)數(shù)陣第行第一個(gè)數(shù)為，每行第二個(gè)數(shù)的分母為上一行肩上兩個(gè)數(shù)分母的和，所以第行第二個(gè)數(shù)為，即第20行第2個(gè)數(shù)字是.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.三：解答題。17.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）（）求；（）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值。【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】分析：(1) ）設(shè)，可得，解得從而可得結(jié)果；(2) 由（1）知，利用為純虛數(shù)可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，由于則：解得：（2）由（1）知又為純虛數(shù)，點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意和以及 運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.18.已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求曲線的單調(diào)區(qū)間及在上的最大值【答案】（I）；（II）單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值為.【解析】試題分析：(I)先求得在處切線斜率,再求得切點(diǎn)坐標(biāo),由此求得切線方程.(II)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得最大值.試題解析：（I）解:因?yàn)?則,所以切線方程為（II）令得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),.19.已知（，）展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1.（）求和的值；（）展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)？若有，求出常數(shù)項(xiàng)；若沒有，請(qǐng)說明理由；（）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）不存在常數(shù)項(xiàng).（3），【解析】試題分析：（1）由題意得，根據(jù)組合數(shù)公式求得，由賦值法得，解得.（2）先根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得 ，再根據(jù)x次數(shù)無零解得不存在常數(shù)項(xiàng).（3）由二項(xiàng)式性質(zhì)得展開式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，再根據(jù)二項(xiàng)式定理求中間兩項(xiàng)試題解析：解：（1）由題意，即.解得，或（舍去），所以因?yàn)樗许?xiàng)的系數(shù)之和為1，所以，解得.（2）因?yàn)?，所?.令，解得，所以展開式中不存在常數(shù)項(xiàng).（3）由展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，知展開式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，二項(xiàng)式系數(shù)最大的兩項(xiàng)為：；.點(diǎn)睛：二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者是指組合數(shù)，而后者是字母外的部分.前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與有關(guān)，可正可負(fù).通項(xiàng)是第項(xiàng)，不是第項(xiàng).20.由四個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).（最后的結(jié)果用數(shù)字表達(dá)）（）若,其中能被5整除的共有多少個(gè)？（）若，其中能被3整除的共有多少個(gè)？（）若，其中的偶數(shù)共有多少個(gè)？（）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求【答案】（1）6個(gè)；（2）12個(gè)；（3）14個(gè)；（4）x=7【解析】試題分析：（1）若x=5，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）若x=9，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，分“取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9”與“取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9”兩種情況討論，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）若x=0，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，分“末位是0”與“末位是2或4”兩種情況討論，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（4）分析易得x=0時(shí)不能滿足題意，進(jìn)而討論x0時(shí)，先求出4個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)三位數(shù)個(gè)數(shù)，進(jìn)而可以計(jì)算出每個(gè)數(shù)字用了18次，則有252=18（1+2+4+x），解可得x的值解：（1）若x=5，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，5；又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A32=6種情況，即能被5整除的三位數(shù)共有6個(gè)；（2）若x=9，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，9；又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9時(shí)，有A33=6種情況，取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9時(shí)，有A33=6種情況，則此時(shí)一共有6+6=12個(gè)能被3整除的三位數(shù)；（3）若x=0，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，0；又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，當(dāng)末位是0時(shí)，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A32=6種情況，當(dāng)末位是2或4時(shí)，有A21A21A21=8種情況，此時(shí)三位偶數(shù)一共有6+8=14個(gè)，（4）若x=0，可以組成C31C31C21=332=18個(gè)三位數(shù)，即1、2、4、0四個(gè)數(shù)字最多出現(xiàn)18次，則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）18=126，不合題意，故x=0不成立；當(dāng)x0時(shí)，可以組成無重復(fù)三位數(shù)共有C41C31C21=432=24種，共用了243=72個(gè)數(shù)字，則每個(gè)數(shù)字用了=18次，則有252=18（1+2+4+x），解可得x=7考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用21.已知，（其中）.（）求及；（）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，右邊=左邊=，也采用賦值法，令；（2）根據(jù)（1）得到，等于比較與的大小，首先賦幾個(gè)特殊值，采用不完全歸納法，得到答案，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.試題解析：（1）取，則； 2分取，4分（2）要比較與的大小，即比較與的大小.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 6分猜想：當(dāng)時(shí)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 7分由上述過程可知，時(shí)結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即兩邊同乘以3得：時(shí)，即時(shí)結(jié)論也成立.當(dāng)時(shí)，成立. 11分綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 12分考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理中的賦值法；2.數(shù)學(xué)歸納法；3.不完全歸納法.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)對(duì)a分類討論，作出函數(shù)的圖像，分析出函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)所滿足的條件，從而求出a的取值范圍.詳解:（1）由題意得當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則或，（）當(dāng)時(shí)，令，則或；令，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（）當(dāng)時(shí)，令，則或；令，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）