高中數(shù)學(xué)競賽數(shù)列問題

.高中數(shù)學(xué)競賽數(shù)列問題一、 高考數(shù)列知識及方法應(yīng)用（見考綱）二、 二階高次遞推關(guān)系1 因式分解降次。例：正項(xiàng)數(shù)列an，滿足，求an（化異為同后高次）2 兩邊取對數(shù)降次。例：正項(xiàng)數(shù)列an，a1=1，且anan+12 = 36，求an三、 線性遞推數(shù)列的特征方程法 定理1：若數(shù)列an的遞推關(guān)系為an+2=1an+1+2an，則設(shè)特征方程x2=1x+2，且此方程有相異兩根x1，x2（x1x2），則必有 an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由此數(shù)列已知前2項(xiàng)解得，即 或由得到。（見訓(xùn)練及考試題） 定理2：若方程x2=1x+2有相等重根x0，則有 an=（c1+c2n）x0n，其中c1，c2仍由定理1方程組解得。例如.：1，已知.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式2，.數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式3，.數(shù)列滿足：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4，已知.數(shù)列滿足都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式四、 特殊遞推的不動點(diǎn)法 （ f（x）= x的解稱為f（x）的不動點(diǎn) ） 定理1：若數(shù)列an滿足遞推：an+1=aan+b （a，bR）， 則設(shè)x=ax+b，得不動點(diǎn)且數(shù)列遞推化為：an+1-x0=a（an-x0），進(jìn)而用構(gòu)造法解得。 定理2：若數(shù)列an滿足遞推：， 則設(shè)，得不動點(diǎn)x1，x2， 若x1x2，則原遞推化為：，再由構(gòu)造法解得。 若x1=x2=x0，即有唯一不動點(diǎn)x0時(shí)，原遞推可化為： ，再由構(gòu)造法解得。例如：1，在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),求該數(shù)列的通項(xiàng)an2，已知.數(shù)列滿足：，求該數(shù)列的通項(xiàng)an3，已知.數(shù)列滿足：，求該數(shù)列的通項(xiàng)an五、 遞推構(gòu)造法1 若數(shù)列遞推滿足an+1=k1an+k22n，注意構(gòu)造變形為（an+1+A2n+1）= k1（an+A2n），展開后與原遞推相同，求出A得值，再化為等比數(shù)列解決。2 若數(shù)列遞推滿足an+1=k1an+k2n2+k3n，注意構(gòu)造變形為（an+1+A(n+1)2+B(n+1)+c）= k1（an+An2+Bn+c），展開后與原遞推相同而求出A，B，C的值，再化為等比數(shù)列解決。3 若數(shù)列為an+1=-3an+2n - n呢？例如：1，求所有a0R，使得由an+1=2n-3an（nN）所確定得數(shù)列a0，a1，a2，是遞增的。 2，某運(yùn)動會開了n天，共發(fā)出m枚獎(jiǎng)牌：第一天發(fā)出1枚加上余下的，第二天發(fā)出2枚加上余下的；如此持續(xù)了天，第n天發(fā)出n枚. 該運(yùn)動會開了_天，共發(fā)了_枚獎(jiǎng)牌.后注：以上方法相輔相成，不可孤立理解，當(dāng)條件不符合時(shí)不可隨意應(yīng)用。 例：若不知a1，a2的確定值，an+2=2an+1+3an都不可以用特征方程法。望大家結(jié)合數(shù)列其他講義及考題認(rèn)真領(lǐng)會。 數(shù)列訓(xùn)練題1（2006年廣東卷）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球；第2、3、4、堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用n表示） .2. ( 2006年重慶卷)在數(shù)列an中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)列的通項(xiàng) an=_.3（2006年全國卷II）函數(shù)f(x)的最小值為 ( )（A）190 （B）171 （C）90 （D）454（2006年全國卷I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則A B C D5（2006年江西卷）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.2016（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于(A) (B) (C) (D)7(2006年山東卷）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；（3） 記bn=，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1.8（2006年上海卷）已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)2），首項(xiàng)2設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值9（2006年全國卷II）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式（只須寫出即可）10. （2006年上海春卷）已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.（1）若，求；（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能 得到什么樣的結(jié)論？ 11（2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.()求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；()對給定的,設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項(xiàng)之和；()設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.12（2006年福建卷）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）證明：13（2006年安徽卷）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和14（2006年全國卷I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：15（2006年江西卷）已知數(shù)列an滿足：a1，且an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；數(shù)列競賽訓(xùn)練題1.數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.已知.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式3. 已知.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式4. 已知.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式5. 數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式6. 數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公 式7.數(shù)列滿足：，如果前1492項(xiàng)的和是1985，而前1985項(xiàng)的和為1492，求該數(shù)列的前2001項(xiàng)之和. 8. 已知.數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案1. 10，2. an=.3. C4. B ，將代入，得，從而。選B。5. 解：依題意，a1a2001，故選A6. 【解析】因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。7.（2）,;9. 解：()當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n1時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn對所有正整數(shù)n都成立于是當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又n1時(shí)，a1，所以an的通項(xiàng)公式an，n1，2，3， 10. 解（1）. （2）， ， 當(dāng)時(shí)，. （3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. 研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.研究的結(jié)論可以是：由， 依次類推可得 當(dāng)時(shí)，的取值范圍為等. 11. 解: ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.() =，=當(dāng)m=2時(shí)，=，當(dāng)m2時(shí)，=0，所以m=212. （I）解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即（II）證法一：，得即，得即是等差數(shù)列。證法二：同證法一，得令得設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么這就是說，當(dāng)時(shí)，等式也成立。根