改進(jìn)遺傳算法在投資組合中的應(yīng)用

摘 要遺傳算法起源于對生物系統(tǒng)所進(jìn)行的計算機(jī)模擬。美國密執(zhí)安大學(xué)的Holland教授及其學(xué)生受到這種生物模擬技術(shù)的啟發(fā)，創(chuàng)造出了一種基于生物遺傳和進(jìn)化機(jī)制的適合于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化計算的自適應(yīng)概率優(yōu)化技術(shù)-遺傳算法。證券投資組合優(yōu)化問題的實質(zhì)就是有限的資產(chǎn)在具有不同風(fēng)險收益特性的證券之間的優(yōu)化配置問題。因此，本文根據(jù)上述要求把交易成本和股票的整手買賣引入含有風(fēng)險偏好的Markowitz組合投資模型，并對證券組合進(jìn)行分類約束來降低風(fēng)險，從而構(gòu)造了含有約束的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。遺傳算法是一類模擬自然界生物進(jìn)化過程與機(jī)制，求解問題的自組織和自適應(yīng)的人工智能技術(shù)。由于其運(yùn)行簡單和解決問題的有效能力而被廣泛應(yīng)用到眾多領(lǐng)域。但是它也容易產(chǎn)生早熟現(xiàn)象以及局部搜索能力比較差，所以對很多問題而言，基本遺傳算法并不是解決問題的最有效方法。因此本文對基本遺傳算法的一些算子進(jìn)行了改進(jìn)，獲得了較滿意的結(jié)果。本文提出的組合投資模型在求解上存在一定的難度，采用遺傳算法求解。在計算機(jī)上用Matlab7.0編程實現(xiàn)。關(guān)鍵字：遺傳算法；生物模擬；投資組合；交易成本；ABSTRACTGenetic algorithm originated in biological systems through the computer simulations. Holland Michigan University professor and his students are subject to this biological simulation technology inspired to create a bio-based genetic and evolutionary optimization of complex systems for adaptive probability calculation - genetic algorithm optimization technique. Portfolio Optimization essence of the problem is the limited assets with different risk and return characteristics of the optimal allocation between the securities issue.Therefore, this paper according to the requirements of the transaction costs and stocks containing whole lot introducing risk appetite Markowitz portfolio model, and classify constraints portfolio to reduce risk, which is constructed with constrained mixed-integer nonlinear programming modelGenetic algorithms are a class of simulation of natural biological evolution and mechanisms for solving the problem of self-organization and adaptive artificial intelligence technology. Because of its operational simplicity and ability to solve problems effectively been widely applied to many fields. But it is also prone to premature and relatively poor local search ability, so many problems, the basic genetic algorithm is not the most effective way to solve the problem. This article on some of the basic genetic algorithm has been improved operator to obtain a more satisfactory result.The proposed model for portfolio investment in the solution there is a certain degree of difficulty, using genetic algorithm. On a computer using Matlab7.0 programming.Keyword：genetic algorithm；biological simulations；Investment portfolio；Transaction costs；目 錄引 言1第一章 遺傳算法概述21.1 遺傳算法的形式21.2 遺傳算法的運(yùn)算過程31.3 基本遺傳算法的構(gòu)成31.4 基本遺傳算法的形式化定義4第二章 遺傳算法的基本實現(xiàn)技術(shù)52.1 遺傳算法的編碼原則52.1.1 二進(jìn)制編碼方法52.1.2 浮點數(shù)編碼方法：52.2 遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)62.2.1 乘冪尺度變換62.2.2 指數(shù)尺度變換62.3 遺傳算法的選擇算子62.3.1 比例選擇72.3.2 最優(yōu)保存策略72.3.3 確定式采樣選擇72.4 交叉算子82.4.1 單點交叉82.4.2 算數(shù)交叉82.5 變異算子82.5.1 基本位變異82.5.2 均勻變異8第三章 投資組合103.1 投資組合理論的提出103.2 證券組合投資理論103.3 馬克威茨的均值方差模型103.3.1 單個資產(chǎn)的收益、風(fēng)險和資產(chǎn)間的相互關(guān)系103.3.2 資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險123.4 現(xiàn)代投資理論的組成和發(fā)展143.5 投資組合的應(yīng)用14第四章 基于改進(jìn)遺傳算法的有交易成本的組合投資問題164.1 模型的建立與分析164.1.1 股票交易額不可分割及無風(fēng)險投資164.1.2 交易成本174.1.3 風(fēng)險偏好184.1.4 分類約束194.1.5 模型描述194.2 模型的遺傳算法求解194.2.1 編碼204.2.2 動態(tài)懲罰函數(shù)204.2.3 選擇214.2.4 交叉214.2.5 變異214.2.6 改進(jìn)遺傳算法的過程21第五章 示例分析225.1 數(shù)據(jù)225.2 基本遺傳算法235.3 改進(jìn)遺傳算法分析255.3.1 初始化種群體255.3.2 適應(yīng)度計算255.3.3 遺傳操作255.3.4 結(jié)果26第六章 總結(jié)與展望 6.1 主要工作總結(jié)29 6.2 展望29參考文獻(xiàn)：30附錄：31致 謝49引 言 遺傳算法是一種仿生優(yōu)化的算法，我們的自然界充滿了奇跡，而生命的繁衍生息就是這些奇跡中的奇跡。生命是脆弱的，生命也是頑強(qiáng)的。從遠(yuǎn)古時代單細(xì)胞開始，經(jīng)歷環(huán)境變遷的磨礪，生命經(jīng)歷了從低級到高級、從簡單到復(fù)雜的演化之路，不但延續(xù)下來，而且產(chǎn)生了人類這樣有思維、有智力的高級生命體。人類找到了生命的最佳結(jié)構(gòu)與形式，他不僅僅可以被動的適應(yīng)環(huán)境，更重要的是它能夠通過學(xué)習(xí)、模擬、與創(chuàng)造、不斷提高自己適應(yīng)環(huán)境的能力。 在人類的歷史上，通過學(xué)習(xí)與模擬來增強(qiáng)自身適應(yīng)能力的例子不勝枚舉。模擬飛禽、人類可以飛翔天空；模擬游魚人類可以橫渡海洋；模擬昆蟲人類可以縱觀千里；模擬大腦，人類創(chuàng)造了影響世界發(fā)展的計算機(jī)。人類的模擬能力不僅局限于自然現(xiàn)象和其他生命體。自從20世紀(jì)后半葉以來，人類正在將其模擬的范圍延伸向人類自身。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是人類對其大腦信息處理機(jī)制的模擬，模糊系統(tǒng)是人類對其思維方式的模擬。除了向自身結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)以外，人類還可以向其自身演化這一更為宏觀的過程學(xué)習(xí)，來增強(qiáng)自身解決問題的能力，其代表性的方法就是遺傳算法。 雖然人們還未完全揭開遺傳與進(jìn)化的奧秘，既沒有完全掌握其機(jī)制，也不完全清楚染色體和譯碼過程的細(xì)節(jié)，更不完全了解其控制方式，但遺傳與進(jìn)化的以下幾個特點卻為人們所共識：（1）生物的所有遺產(chǎn)信息都包含在其染色體中，染色體決定其生物的性狀。（2）染色體是由基因及其有規(guī)律的排列所構(gòu)成，遺傳和進(jìn)化過程發(fā)生在染色體上。（3）生物的繁衍過程是由其基因的復(fù)試過程來完成的。（4）通過同源染色體之間的交叉或染色體的變異會產(chǎn)生新的物種，是生物呈現(xiàn)出新的性狀。（5）對生物適應(yīng)性好的基因或染色體經(jīng)常比適應(yīng)性差的基因或染色體有更多的機(jī)會遺傳到下一代。 遺傳算法是一種更為宏觀意義下的仿生算法，他模仿的機(jī)制是一切生命與智能的產(chǎn)生與進(jìn)化過程。他通過模擬達(dá)爾文“優(yōu)勝劣汰、適者生存”的原理激勵好的結(jié)構(gòu)；通過模擬孟德爾遺傳變異理論在迭代過程中保持已有的結(jié)構(gòu)，同時尋找更好的結(jié)構(gòu)。作為一種隨機(jī)的優(yōu)化與搜索方法，遺傳算法有著其鮮明的特點：（1） 遺傳算法的操作對象是一組可行解，而非單個可行解；搜索軌跡有多條，而非單條，因而具有良好的并行性。（2） 遺傳算法只需利用目標(biāo)的取值信息，而無需梯度等高價值信息，因而適用于任何大規(guī)模、高度非線性的不連續(xù)多峰函數(shù)的優(yōu)化以及無解析表達(dá)式的目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，具有很強(qiáng)的通用性。（3） 遺傳算法擇優(yōu)機(jī)制是一種“軟”選擇，加上其良好的并行性，使他具有良好的全局優(yōu)化性和穩(wěn)健性。遺傳算法操作的可行解是經(jīng)過編碼化的，目標(biāo)函數(shù)解釋為編碼個體的適應(yīng)度，因而具有良好的可操作性與簡單性。第一章 遺傳算法概述1.1 遺傳算法的形式下述的數(shù)學(xué)模型是為求解函數(shù)最大值的優(yōu)化問題： Max f(X) (1-1) S.t. XR (1-2) RU (1-3)式中， 決策變量：X=； 目標(biāo)函數(shù)：f(X)； 約束條件：式（1-2）、（1-3）； 基本空間：U； R是U的一個子集； 若X滿足式（1-2）、（1-3）則稱其為可行解，R為全體X構(gòu)成的集合，也叫可行解集合。他們之間的關(guān)系如圖 可行解X 基本空間U 可行解集合R 遺傳算法中，將n維決策變量X=用n個記號（i=1,2,.,n）所組成的符號串X來表示： X=X1X2.Xn=X= 把每一個看做一個遺傳基因，他的所有可能取值為等位基因，這樣，X就可看作是由n個遺傳基因所組成的一個染色體。一般情況下，染色體的長度n是固定的，但對于一些問題n也可以是變化的。根據(jù)不同的情況，這里的等位基因可以是一組整數(shù)，也可以是某一范圍內(nèi)的實數(shù)值，或者是純粹的一個記號。最簡單的等位基因是由0和1這兩個整數(shù)組成的，相應(yīng)的染色體就可以表示為一個二進(jìn)制串。這種編碼所組成的排列形式X，對于每一個個體X，要按照一定的規(guī)則確定其適應(yīng)度。個體的適應(yīng)度與其對應(yīng)的個體表現(xiàn)性X的目標(biāo)函數(shù)值相關(guān)聯(lián)，X越接近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點，其適應(yīng)度最大；反之，其適應(yīng)度最小。 遺傳算法中，決策變量X組成了問題的解空間。對問題最優(yōu)解的搜索是通過對染色體X的搜索過程來進(jìn)行的，從而有所有的染色體X就組成了問題的搜索空間。 生物的進(jìn)化是以集團(tuán)為主體的。與此相對應(yīng)遺傳算法的運(yùn)算對象是由M個個體所組成的集合，稱為群體。與生物一代一代的自然進(jìn)化過程相類似，遺傳算法的運(yùn)算過程也是一個反復(fù)迭代的過程，第t代群體叫做P（t）,經(jīng)過一代遺傳和進(jìn)化后，得到第t+1代群體，他們也是由多個個體組成的集合，叫做P（t+1）。這個群體不斷地經(jīng)過遺傳和進(jìn)化操作，并且每次都按照優(yōu)勝劣汰的規(guī)則將適應(yīng)度較高的個體更多的遺傳到下一代，這樣最終會在群體中得到一個優(yōu)良的個體X，它所對應(yīng)的表現(xiàn)性X將達(dá)到或接近問題的最優(yōu)解。 染色體的變異和染色體之間的交叉是生物的進(jìn)化的必經(jīng)之路。將這個過程推而廣之應(yīng)用到最優(yōu)解搜索過程中便是遺傳算法最基本的思想，在群體P（t）上作用遺傳算子，進(jìn)行以下一些遺傳操作，群體P（t+1）由此產(chǎn)生。(1) 選擇：有規(guī)則的對每個個體的適應(yīng)度進(jìn)行排列，從中挑取較好的個體遺傳到下一代。(2) 交叉：對群體中隨機(jī)搭配的每一對個體，以某一概率交換他們的部分染色體。(3)變異：對群體中的每一個個體，以某一概率改變某一個或某一些基因座上的基因值為其他的等位基因。1.2 遺傳算法的運(yùn)算過程下圖為遺傳算法的運(yùn)行過程示意圖 遺傳空間 解集合個體評價解碼 群體P（t+1）變異運(yùn)算交叉運(yùn)算選擇運(yùn)算解空間 群體P（t） 1.3 基本遺傳算法的構(gòu)成（1） 染色體編碼方法： 在基本遺傳算法中群體中的個體用固定長度的二進(jìn)制符號串來表示，二值符號集0,1組成了其等位基因。初始群體中各個個體的基因值可用均勻的隨機(jī)數(shù)來生成。如： X=100111001000101101(2) 個體適應(yīng)度評價：在基本遺傳算法中，個體適應(yīng)度越高的個體遺傳到下一代的機(jī)會越多。這里要求所有個體的適應(yīng)度必須為正數(shù)或零。對不同種類的問題，目標(biāo)函數(shù)值按照不同的規(guī)則轉(zhuǎn)換成個體適應(yīng)度值。(3) 遺傳算子：基本遺傳算子是最基本的一些算子包括比例選擇算子；單點交叉算子；基本位變異算子。（4）運(yùn)行參數(shù)：基本遺傳算法4個需要提前設(shè)定運(yùn)行參數(shù)：M：群體大小，一般取為20-100.T：終止進(jìn)化代數(shù)，一般取為100-500.：交叉概率，一般取為0.4-0.99。：變異概率，一般取為0.0001-0.1；1.4基本遺傳算法的形式化定義基本遺傳算法可定義為一個8元組： SGA=(C,E,M,T) 式中 C-個體的編碼方法； E-個體評價適應(yīng)度函數(shù) -初始群體； M-群體大小； -選擇算子； -交叉算子； -變異算子； T-遺傳運(yùn)算終止條件。Procedure SGABegin Initialize P(0); t=0; While(t 0000000000000001=1 - 1111111111111111= - 則二進(jìn)制編碼的編碼精度為： 假設(shè)某一個體編碼是： 則對應(yīng)的解碼公式： 2.1.2浮點數(shù)編碼方法： 浮點數(shù)編碼方法，是指用某一范圍內(nèi)的一個浮點數(shù)來表示個體的每個基因值，決策變量的個數(shù)與個體的編碼長度相同。由于這種編碼方法使用的是決策變量的真實值，所以浮點數(shù)編碼方法也叫做真值編碼方法。 在浮點數(shù)編碼方法中，必須保證基因值在給定的限制范圍之內(nèi)，遺傳算法中所使用交叉、變異等遺傳算子也必須保證其運(yùn)算結(jié)果所產(chǎn)生的新個體的基因值也在這個范圍內(nèi)。浮點數(shù)編碼方法有以下幾個優(yōu)點：（1） 適合在遺傳算法中表示范圍較大的數(shù)；（2） 適合于精度要求較高的遺傳算法；（3） 便于較大空間的遺傳搜索；（4） 改善了遺傳算法的計算復(fù)雜性，提高了運(yùn)算效率；（5） 便與遺傳算法與經(jīng)典優(yōu)化算法的混合使用；（6） 便于設(shè)計針對問題的專門知識性遺傳算子；（7） 便于處理復(fù)雜的決策變量約束條件。2.2遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)下一步的有關(guān)搜索信息通過所求問題的目標(biāo)函數(shù)值來得到，目標(biāo)函數(shù)值最主要的作用就是通過它來評價個體的適應(yīng)度。評價個體適應(yīng)度的一般過程是： 個體編碼串解碼 個體的表現(xiàn)性 個體的目標(biāo)函數(shù)值 個體的適應(yīng)度 最優(yōu)化問題由以下兩大類組成，一類為求目標(biāo)函數(shù)的全局最大值，另一類為求目標(biāo)函數(shù)的全局最小值。對于求最大值的問題，做下述轉(zhuǎn)換： f(X) + , if f(X) + 0F(X)= 0, if f(X) + f(X)F(X)= 0, if = f(X)式中，為一個適當(dāng)?shù)南鄬^大的數(shù)。 2.2.1乘冪尺度變換乘冪尺度變換的公式為： 新的適應(yīng)度是原適應(yīng)度的k乘冪。所求解的問題決定冪指數(shù)k，而且在算法的執(zhí)行過程中為了使尺度變換滿足一定的伸縮要求需要不斷對其校正。2.2.2指數(shù)尺度變換指數(shù)尺度變換的公式為： 新的適應(yīng)度是原有適應(yīng)度的某個指數(shù)。 式中系數(shù)決定了選擇的強(qiáng)制性，越小，原有適應(yīng)度較高的個體的新適應(yīng)度就越與其他個體的新適應(yīng)度相差較大，亦即越增加了該個體的強(qiáng)制性。2.3遺傳算法的選擇算子下面列出幾種常用的選擇算子操作方法。2.3.1比例選擇比例選擇方法的基本思想是：適應(yīng)度越大的個體被選中的概率就越大。但由于它的操作帶有隨機(jī)性，所以它的選擇誤差比較大。設(shè)群體大小為M，個體i的適應(yīng)度，則個體i被選中的概率為： （i=1,2,.M） 由上式可見，適應(yīng)度越高的個體被選中的概率越大。2.3.2最優(yōu)保存策略 在遺傳算法的運(yùn)行過程中，新的個體在對個體進(jìn)行交叉、變異等遺傳操作過程中產(chǎn)生。即使在群體的進(jìn)化過程中會產(chǎn)生出越來越多的優(yōu)良個體，但選擇、交叉、變異等遺傳操作的隨機(jī)性可能破壞掉當(dāng)前群體中適應(yīng)度最好的個體。這樣的現(xiàn)象對于求解最優(yōu)解顯然是不利的，因為它會降低當(dāng)前群體的平均適應(yīng)度，并且對遺傳算法的運(yùn)行效率、收斂性都有不利的影響。所以，適應(yīng)度最好的個體應(yīng)該盡可能保留到下一代群體中。為此，可以使用最優(yōu)保存策略模型來進(jìn)行優(yōu)勝劣汰操作。最優(yōu)保存策略進(jìn)化模型的具體操作過程是：（1） 找出當(dāng)前群體中適應(yīng)度最高的個體和適應(yīng)度最低的個體。（2） 若當(dāng)前群體中最佳個體的適應(yīng)度比總的迄今為止的最好個體適應(yīng)度還要高，則以當(dāng)前群體中的最佳個體作為新的迄今為止的最好個體。（3） 用迄今為止的最好個體替換掉當(dāng)前群體中的最差個體。 最優(yōu)保存策略可作為其他選擇操作的一部分。它可以保證到目前為止所得到的最優(yōu)個體不會被遺傳運(yùn)算所破壞，它是遺傳算法操作的一個重要保證條件。2.3.3確定式采樣選擇 確定式采樣選擇方法的基本思想是按照一種確定的方式來進(jìn)行操作。其具體基本過程是：(1)計算群體中各個個體在下一代群體中的期望生存數(shù)目： （i=1,2,.,M）(2)用的整數(shù)部分確定各個對應(yīng)個體在下一代群體中的生存數(shù)目。其中表示取不大于x的最大的整數(shù)。由該步共可確定出下一代群體中的 個個體。(3)按照的小數(shù)部分對個體進(jìn)行降序排序，順序取前M- 個個體加入到下一代群體中。至此可完全確定出下一代群體中的M個個體。 這種選擇操作方式可保證適應(yīng)度較大的一些個體一定能夠被保留在下一代群體中，并且操作也比較簡單。2.4交叉算子 單點交叉算子是最常用的交叉算子。但單點交叉操作又有一定的局限性。下面介紹幾種適合于二進(jìn)制編碼個體或浮點數(shù)編碼個體的交叉算子。2.4.1單點交叉 單點交叉是指在個體編碼串中隨機(jī)設(shè)置一個交叉點，然后在該點相互交換兩個配對個體的部分染色體。單點交叉的重要特點是：若鄰接基因座之間的關(guān)系能提供較好的個體性狀和較高的個體適應(yīng)度的話，則這種單點交叉操作破壞這種個體性狀和降低個體適應(yīng)度的可能是最小。2.4.2算數(shù)交叉算數(shù)交叉是指對兩個浮點數(shù)編碼所組成的個體進(jìn)行線性組合而產(chǎn)生出兩個新的個體。假設(shè)在兩個個體、之間進(jìn)行算數(shù)交叉，則交叉運(yùn)算所產(chǎn)生的兩個個體是: 式中，為一參數(shù)，它可以是一個常數(shù)，此時所進(jìn)行的交叉運(yùn)算稱為均勻算數(shù)交叉；他可以是一個進(jìn)化代數(shù)所決定的變量，此時所進(jìn)行的交叉運(yùn)算稱為非對稱均勻算術(shù)交叉。2.5變異算子 最簡單的變異算子是基本位變異算子。但它并不能滿足所有問題的求解要求，需要開發(fā)出別的算子以滿足需求。下面列出一些比較常用的變異算子。2.5.1基本位變異 基本位變異操作是指對個體編碼串中某一位或某幾位基因座上的基因值做變異運(yùn)算這些位置以變異概率隨機(jī)指定的。在基本位變異操作中只有編碼串的個別幾個基因座上的基因值被改變，并且變異發(fā)生的概率也比較小，所以其發(fā)揮的作用比較慢，作用的效果也不明顯。2.5.2均勻變異 均勻變異操作是指分別符合某一范圍均勻分布的隨機(jī)數(shù)，以某一較小的概率來替換個體編碼串中各個基因座上的原有基因值。均勻變異的具體操作過程是：（1） 依次指定個體編碼串中的每個基因座為變異點。（2） 對每一個變異點，以變異概率從對應(yīng)基因的取值范圍內(nèi)取一隨機(jī)數(shù)來替代原有基因值。假設(shè)有一個體為，若為變異點，其取值范圍為，在該點對個體X進(jìn)行均勻變異操作后，可得到一個新的個體，其中變異點的新基因值是： 式中，r為0,1范圍內(nèi)符合均勻概率分布的一個隨機(jī)數(shù)。 均勻分布操作特別適合應(yīng)用于遺傳算法的初期運(yùn)行階段，它使得搜索點可以在整個搜索空間內(nèi)自由移動，從而可以增加群體的多樣性，使得算法處理更多的模式。第三章 投資組合3.1投資組合理論的提出證券投資的目的是為了取得收益，但同時投資者也不得不承擔(dān)風(fēng)險。由于一般的情況是預(yù)期收益越高的證券風(fēng)險越大。那么，能否找到適當(dāng)?shù)姆椒ㄈケ苊饣蚪档屯顿Y中的風(fēng)險呢?回答是肯定的，這就是采取分散投資也就是組合投資的方式。即俗話說的：“不要把所有的雞蛋放在一個籃子里”。將投資對象分散到什么程度，如何進(jìn)行合理搭配，才能達(dá)到高收益低風(fēng)險的最佳配合，從而使投資者的效用最大化，這正是組合投資理論首先要回答的問題。組合投資理論的起源?？勺匪莸?952年，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬柯維茨在金融雜志上發(fā)表了一篇論文資產(chǎn)組合的選擇。在這篇論文中，他利用一套系統(tǒng)分析的方法展示了如何采用組合投資的方式創(chuàng)造投資的新領(lǐng)域，使在一定的風(fēng)險水平下，取得最大可能的預(yù)期收益。馬柯維茨分別用期望收益率和收益率的方差來衡量投資的預(yù)期收益水平和風(fēng)險，建立均值方差模型來闡述如果全盤考慮上述兩個問題。1959年他又出版了同名專著，詳細(xì)論述了“資產(chǎn)組合”的基本原理，從而奠定了現(xiàn)代組合投資理論的基礎(chǔ)。 投資組合理論中馬科維茲的均值-方差模型為人們提供了證券投資決策的理論基礎(chǔ)。然而這種方法所面臨的最大問題是其計算量太大。3.2證券組合投資理論馬柯維茨資產(chǎn)組合理論認(rèn)為，若在具有相同回報率的兩個證券之間進(jìn)行選擇的話，任何投資者都會選擇風(fēng)險小的。這同時也表明投資者若要追求高回報必定要承擔(dān)高風(fēng)險。同樣，出于避風(fēng)險的原因，投資者通常持有多樣化投資組合。馬柯維茨從對回報和風(fēng)險的定量出發(fā)，建立了一個投資組合的分析模型，其要點為：（1）投資組合的兩個相關(guān)特征是期望回報率及其方差。（2）投資將選擇在給定風(fēng)險水平下期望回報率最大的投資組合，或在給定期望回報率水平下風(fēng)險最低的投資組合。（3）對每種證券的期望回報率、方差和與其他證券的協(xié)方差進(jìn)行估計和挑選，并進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)劃(Mathematical Programming)，以確定各證券在投資者資金中的比重。馬柯維茨的證券組合理論作為一種投資方法，歸納起來共有三個步驟： 一是想夠買最佳證券組合的投資者先要確定一系列的證券作為考慮對象； 二是對這些證券的前景進(jìn)行分析，即進(jìn)行基本分析和技術(shù)分析，對所考慮的所有證券的收益率、方差和協(xié)方差做出估計； 三是要找出投資者的最佳證券組合。3.3馬克威茨的均值方差模型3.3.1單個資產(chǎn)的收益、風(fēng)險和資產(chǎn)間的相互關(guān)系1、預(yù)期收益預(yù)期收益率是各種可能的收益率按其發(fā)生的概率進(jìn)行加權(quán)平均而得到的收益率。2、風(fēng)險及其度量（1）定義：風(fēng)險指收益（或價格）的不確定性，也就是收益（或價格）對其期望值（或均值）的偏離。（2）度量：一般用收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來表示。方差：標(biāo)準(zhǔn)差：3、資產(chǎn)之間的相互關(guān)系協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)（1）協(xié)方差： 協(xié)方差測度的是兩個風(fēng)險資產(chǎn)收益的相互影響的方向與程度。正的協(xié)方差意味著兩個資產(chǎn)的收益同向變動；而負(fù)的協(xié)方差則表明它們朝相反的方向變動。（2）協(xié)方差的估計 ：（3）相關(guān)系數(shù)： 完全正相關(guān)； 完全負(fù)相關(guān)； 不相關(guān)； 不完全相關(guān)3.3.2資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險 設(shè)投資者選擇了n 種證券作為投資對象,第i 種證券收益率為 , 為第 i種證券的預(yù)期收益率，為投資者投向第 i 種證券的投資比例系數(shù), 為投資組合的收益率，為投資組合收益率的期望值，投資組合收益率的方差，則有 非系統(tǒng)風(fēng)險 系統(tǒng)風(fēng)險3.4現(xiàn)代投資理論的組成和發(fā)展 APT模型、行為金融理論、資本資產(chǎn)定價模型、投資組合理論以及有效市場理論等部分共同構(gòu)成了現(xiàn)代投資組合理論的框架。這些理論及模型的出現(xiàn)改變了過去主要依賴基本分析的傳統(tǒng)投資管理實踐，使現(xiàn)代投資管理日益朝著系統(tǒng)化、組合化、科學(xué)化的方向發(fā)展。 1952年3月，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)者哈里馬考威茨發(fā)表了證券組合選擇，作為現(xiàn)代證券組合管理理論的開端。馬克威茨通過均值方差模型對風(fēng)險和收益進(jìn)行了量化，提出了確定最佳資產(chǎn)組合的基本模型。因為這個模型要求計算所有資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，所以其在實踐中的應(yīng)用具有很大的局限性。 1963年，威廉夏普的研究極大地推動了投資組合理論的實際應(yīng)用，其基于對協(xié)方差矩陣加以簡化估計的夏普單因素模型。 上個世紀(jì)60年代，夏普、林特和莫森分別在1964、1965和1966年提出資本資產(chǎn)定價模型。該模型不僅提供了評價收益-風(fēng)險相互轉(zhuǎn)換特征的可運(yùn)作框架，也為投資組合分析、基金績效評價提供了重要的理論基礎(chǔ)。 1976年，針對CAPM模型所存在的不可檢驗性的缺陷，羅斯提出了一種替代性的資本資產(chǎn)定價模型，即APT模型。該模型直接導(dǎo)致了多指數(shù)投資組合分析方法在投資實踐上的廣泛應(yīng)用。3.5投資組合的應(yīng)用投資組合理論為投資組合的分析和有效投資組合的構(gòu)建做出了重要貢獻(xiàn)，其對現(xiàn)代投資管理實踐的影響主要表現(xiàn)在以下4個方面： 1馬考威茨首次對風(fēng)險和收益這兩個投資管理中的基礎(chǔ)性概念進(jìn)行了準(zhǔn)確的定義，從此，同時考慮風(fēng)險和收益就作為描述合理投資目標(biāo)缺一不可的兩個要件(參數(shù))。 在馬考威茨之前，投資顧問和基金經(jīng)理盡管也會顧及風(fēng)險因素，但由于不能對風(fēng)險加以有效的衡量，也就只能將注意力放在投資的收益方面。馬考威茨用投資回報的期望值(均值)表示投資收益(率)，用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)表示收益的風(fēng)險，解決了對資產(chǎn)的風(fēng)險衡量問題，并認(rèn)為典型的投資者是風(fēng)險回避者，他們在追求高預(yù)期收益的同時會盡量回避風(fēng)險。據(jù)此馬考威茨提供了以均值一方差分析為基礎(chǔ)的最大化效用的一整套組合投資理論。 2投資組合理論關(guān)于分散投資的合理性的闡述為基金管理業(yè)的存在提供了重要的理論依據(jù)。在馬考威茨之前，盡管人們很早就對分散投資能夠降低風(fēng)險有一定的認(rèn)識，但從未在理論上形成系統(tǒng)化的認(rèn)識。 投資組合的方差公式說明投資組合的方差并不是組合中各個證券方差的簡單線性組合，而是在很大程度上取決于證券之間的相關(guān)關(guān)系。單個證券本身的收益和標(biāo)準(zhǔn) 差指標(biāo)對投資者可能并不具有吸引力，但如果它與投資組合中的證券相關(guān)性小甚至是負(fù)相關(guān)，它就會被納入組合。當(dāng)組合中的證券數(shù)量較多時，投資組合的方差的大 小在很大程度上更多地取決于證券之間的協(xié)方差，單個證券的方差則會居于次要地位。因此投資組合的方差公式對分散投資的合理性不但提供了理論上的解釋，而且 提供了有效分散投資的實際指引。 3馬考威茨提出的“有效投資組合”的概念，使基金經(jīng)理從過去一直關(guān)注于對單個證券的分析轉(zhuǎn)向了對構(gòu)建有效投資組合的重視。自50年代初，馬考威茨發(fā)表其著名的論文以來，投資管理已從過去專注于選股轉(zhuǎn)為對分散投資和組合中資產(chǎn)之間的相互關(guān)系上來。事實上投資組合理論已將投資管理的概念擴(kuò)展為組合管理。從而也就使投資管理的實踐發(fā)生了革命性的變化。 4 馬考威茨的投資組合理論已被廣泛應(yīng)用到了投資組合中各主要資產(chǎn)類型的最優(yōu)配置的活動中，并被實踐證明是行之有效的。 第四章 基于改進(jìn)遺傳算法的有交易成本的組合投資問題Markowitz認(rèn)為應(yīng)該用證券的期望收益率來表示證券收益，用證券的收益率的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)表示風(fēng)險這就是組合證券投資模型的核心。Markowitz提出的預(yù)期效用極大化中的資產(chǎn)選擇的原則是：當(dāng)收益率條件固定時，追求最小的風(fēng)險；在風(fēng)險條件固定時，追求最大收益率。假設(shè)市場上有N種風(fēng)險資產(chǎn)，表示第i種資產(chǎn)的收益率， 表示在第i種資產(chǎn)上的投資比例；兩資產(chǎn)收益率的協(xié)方差記為以 ，i, j=1，N。 代表資產(chǎn)組合的期望收益率。 Markowitz的組合投資模型 為 =1注：必須在一定的假設(shè)下Markowitz模型才得以成立；Markowitz假設(shè)：1)存在無風(fēng)險利率，并對每個投資者來說無風(fēng)險利率都是相同的。2)投資者對股票的種類沒有區(qū)分。3)投資者在證券交易過程中沒有交易成本。4)所有的投資者都是理性的投資者，他們服從不滿足假設(shè)和回避風(fēng)險假設(shè)，并以期望收益和方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來評價證券及其組合。5)股票份額可以無限分割，投資者可以購買1股甚至05股。 在Markowitz看來整個投資過程的重心應(yīng)該放在風(fēng)險上，所以不能把所有的資金都壓在一種股票上。中國市場還處在比較年輕的階段，它還有許多不完善地方，同時為了控制風(fēng)險還有許多限制性的規(guī)定，上述的一些假設(shè)必將影響這個領(lǐng)域中某些研究的可操作性。因此在本章我們將分析其中的一些假設(shè)并給出相應(yīng)的解決方法。4.1 模型的建立與分析4.1.1股票交易額不可分割及無風(fēng)險投資中國股市現(xiàn)在股票交易最低額為一手（100股），需要的最低金額和每筆交易必須是一手的整數(shù)倍。在這種情況下，模型的參數(shù)表示每個證券的投資比例不是太方便，在這里我們定義的參數(shù)變量i的證券投資很多，很顯然他們是整數(shù)且是非負(fù)整數(shù)。除了投資者，總投資，由于投資符合整只手，通常有剩余資金的出現(xiàn)，將導(dǎo)致閑置資金投入的資金，如果這些不屬于，但如果你認(rèn)為無風(fēng)險的投資，剩余資金存入銀行或購買無風(fēng)險證券也產(chǎn)生收入。考慮上述原因模型轉(zhuǎn)化為如下形式( ):為第i種證券的市場價格;第i種證券的收益率;投資手?jǐn)?shù);第i，j種證券收益率的協(xié)方差;既定收益;無風(fēng)險投資資金; M 投資總額;其中相應(yīng)與模型(P1)， 的條件發(fā)生了變化，等式約束表示在確定了總投資額M的情況下，當(dāng)對第i種風(fēng)險證券投資 手后，剩余資金 用于無風(fēng)險投資；由于 的意義發(fā)生了變化，不等式約束表示總收益要足夠大；目標(biāo)函數(shù)表示用組合收益的方差作為風(fēng)險度量。4.1.2交易成本在投資活動中，每一次交易的發(fā)生，投資人都要按一定的比例向交易所和證券經(jīng)紀(jì)人繳納相應(yīng)的費用，如手續(xù)費、稅款和傭金等盡管交易成本比例很小也不能頻繁交易簡單起見，在這里我們只考慮離散形式組合投資模型在證券市場，假定每一筆交易無論買入或賣出都要付出交易額倍的交易成本設(shè)Pio是第i種證券在0時刻的價格 ， 是第i種證券在1時刻的價格假設(shè)在0時刻買入一單位證券i，需資金 ；在1時刻賣出這一單位證券時可獲資金 ，則在這段時間內(nèi)，考慮交易成本的投資收益為若記為第i種證券根據(jù)市場價格計算的收益率，則第i種資產(chǎn)的實際收益 為若選定N種證券進(jìn)行投資，為在第i種資產(chǎn)上的投資手?jǐn)?shù)(每手=100股)，pi為第i種資產(chǎn)的價格，則實際組合收益：實際組合風(fēng)險為此時模型轉(zhuǎn)化為P3模型P3與模型P2的不同之處在于考慮交易成本后，總的收益與風(fēng)險都發(fā)生了變化。4.1.3風(fēng)險偏好根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點，每個理性投資者的投資要求是風(fēng)險盡量小，面收益盡量大，即他們服從不滿足假設(shè)和回避風(fēng)險假設(shè)如果我們同時考慮組合的收益和風(fēng)險，采用多目標(biāo)單目標(biāo)化的方法，目標(biāo)函數(shù)可以變?yōu)椋浩渲斜硎就顿Y組合的收益，表示投資組合的風(fēng)險，是風(fēng)險厭惡系數(shù)，表示投資者對風(fēng)險的態(tài)度顯然，越小，表示投資者越不能接受風(fēng)險當(dāng)=0表示投資者完全規(guī)避風(fēng)險，風(fēng)險是他在投資過程中考慮的唯一因素相反，當(dāng)=1是表示投資者追求高收益，而完全忽視投資風(fēng)險那么考慮含有風(fēng)險偏好的模型為P4： i=1,N模型P3與模型P4應(yīng)該具有相同的有效邊界和最優(yōu)解。4.1.4分類約束傳統(tǒng)的組合投資模型對證券組合的種類沒有作過多的分析。一般證券收益較高時其風(fēng)險也較大，風(fēng)險較小時其相應(yīng)收益率也較小。事實上，就證券組合投資而言，大概有三種類型的組合：高風(fēng)險組合，即選擇銷路好，預(yù)期盈利超過公司平均收益的股票，如電力、制藥、高科技公司等。中等風(fēng)險組合，即選擇一些債券和公用事業(yè)和成熟工業(yè)的股票，如汽車、化工、鋼鐵公司等。低風(fēng)險組合，即選擇政府債券和一些高質(zhì)量的股票，收益不高但可靠。按照分散化原則，在證券的選擇上，既要考慮風(fēng)險較小收益率較低的證券，如工藝成熟但未來發(fā)展機(jī)會相對較少的公司的股票，又要考慮風(fēng)險較大收益率較高的證券，如迅速堀起的具有強(qiáng)大發(fā)展?jié)摿Φ墓景l(fā)行的股票。我們按照分散化原則選擇證券種類，確定不同類型證券的投資比例，可以合理構(gòu)成證券組合達(dá)到適當(dāng)增加收益和降低風(fēng)險的目的，所以采用分類約束有很強(qiáng)的實際意義。 令Tk，k=1，m)為m種資產(chǎn)類型集合，它們彼此獨立，即 ，那么對于屬于第k種類型的資產(chǎn)，它們的投資比例應(yīng)滿足下式4.1.5模型描述通過上面的特征，可建立含有交易成本和分類約束并考慮投資人偏好的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型P如下： k=1,m i=1,N其中，根據(jù)實際問題或者經(jīng)驗，我們可以給出投資總額M，風(fēng)險厭惡系數(shù)，以及交易成本系數(shù)，我們還知道各種股票的價格張Pi，無風(fēng)險證券的收益率r0，各種股票的收益率ri和協(xié)方差也可以通過樣本均值和樣本協(xié)方差估計得到。4.2 模型的遺傳算法求解下面采用遺傳上算法對模型進(jìn)行求解，遺傳算法第一次是出Holland在他的博士論文中提出，遺傳算法是一種從適者生存概念和自然中抽象出來的基因算法與傳統(tǒng)的優(yōu)化技術(shù)比較，遺傳算法的特點在于4：1）遺傳算法的工作對象不是決策變量本身，而是將有關(guān)變量進(jìn)編碼所得的碼，即位串：2）傳統(tǒng)的尋優(yōu)技術(shù)都是從一個初如點出發(fā)，再逐步迭代以求最優(yōu)解。遺傳算法則不然，它是從點的一個群體出發(fā)經(jīng)過代代相傳求得滿意解；3）遺傳算法只充分利用適應(yīng)度函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的信息而完全不依靠其它補(bǔ)充知識；4）遺傳算法的操作規(guī)則是概率性而確定性的。自從Holland提出遺傳算法以后，出于遺傳算法不同于傳統(tǒng)的最優(yōu)化方法，有其靈活性和易變性，在基本的遺傳算法中，變異、選擇、交叉、平行計算被改進(jìn)發(fā)展來加速方法的收斂和方法的有效性，遺傳操作主要有三種：1）選擇算子（Selection/reprodution）:選擇算子從群體中按某一概率成對選擇個體，某個體被選擇的概率與期 適應(yīng)度值成正比，最通常的實現(xiàn)方法是輪盤算法（roulet tewheel）模型。2）交叉算子（CRossover）：交叉算子將被選中的兩個個體的基因鏈按概率是一個系統(tǒng)參數(shù)。3）按照個體適應(yīng)值的大小，從種群中選出適應(yīng)值較大的一些個體構(gòu)成交配池；4）由交叉和變異這兩個遺傳算子對交配池中的個體進(jìn)行操作，并形成新一代的種群；5）反復(fù)執(zhí)行步聚24，直至滿足收斂為止。4.2.1 編碼標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法是以二進(jìn)制字符串作為染色體的編碼方式，在實際工程應(yīng)用中，當(dāng)設(shè)計變量較多且要求精度較高時，會導(dǎo)致染色體位數(shù)過長，占用更多的內(nèi)存，且運(yùn)算速度明顯下降，所以這里采用改進(jìn)的遺傳算法編碼方法。由于證券組合問題的可行解是實向量，記,這里即為各種證券的投資比例，因此可直接將這個向量看作長度為的染色體。4.2.2 動態(tài)懲罰函數(shù) 懲罰函數(shù)通過對不可行解施加某種懲罰，經(jīng)過不斷迭代后，使解群逐漸收斂于可行的極值點目前該方法是遺傳算法中求解約束優(yōu)化問題的一種常用方法懲罰函數(shù)法的關(guān)鍵問題是對不可行解的懲罰函數(shù)的選取如果取得過大，有可能使算法過早收斂于非極值點；而取得過小，叉可能使算法的收斂性能很差采用動態(tài)懲罰函數(shù)法，即隨著逐步收斂到最優(yōu)解，懲罰因子是不斷變化的它的實質(zhì)是：4.2.3 選擇 選擇方法采用比例選擇和最優(yōu)性選擇相結(jié)合，比例選擇根據(jù)每個適應(yīng)值占總適應(yīng)值的比例來產(chǎn)生新一代，最優(yōu)性方法為下一代保持最優(yōu)染色體，能克服采樣帶來的隨機(jī)誤差，比例選