高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法三步法解一元二次不等式素材 新人教A版必修5

3.2一元二次不等式及其解法“三步法”解一元二次不等式利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系，三步可求出一元二次不等式的解集，且簡(jiǎn)便快捷。第一步求出一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根;第二步作出一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象;第三步根據(jù)圖象寫出不等式的解集。例1解不等式。解析：方程的解為。函數(shù)的圖象如圖1。因不等式的解為拋物線在x軸下方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可得不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：作相關(guān)二次函數(shù)的圖象時(shí)，可不必作出y軸，因?yàn)榍蠼庖辉尾坏仁?，只需找出拋物線在x軸上（或下）方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸的位置并無關(guān)系。例2解不等式。解析：顯然方程無解。函數(shù)的圖象如圖2。因不等式的解為拋物線在x軸上方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的不等式可轉(zhuǎn)化為正系數(shù)的情況研究，作二次函數(shù)圖象時(shí)必須弄清楚拋物線的開口方向及拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。例3解關(guān)于x的不等式。解析：原不等式等價(jià)于。方程的根為x=a或，拋物線開口向上。當(dāng)a=0或a=1時(shí)，如圖3，原不等式的解集為。當(dāng)時(shí)，如圖4，原不等式的解集為。當(dāng)a1或a0時(shí)，如圖5，原不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：熟練后只需在大腦中想象出二次函數(shù)圖象，不必真正畫出來。例4解關(guān)于x的不等式。解析：原不等式變形為當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解為x1當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，原不等式的解為。點(diǎn)評(píng)：解含參數(shù)的一元二次不等式問題需要討論，運(yùn)用“三步法”解一元二次不等式，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定變得輕松自然，容易理解。例5已知不等式的解集是，求不等式的解集。解析：不等式的解集為，由函數(shù)性質(zhì)知a0.2、為方程的兩個(gè)根。則，可得不等式變?yōu)?，由a0，得，所以其解集為。點(diǎn)評(píng)：若能發(fā)現(xiàn)方程與方程的根互為倒數(shù)，a0，想象圖象，求解更快捷。有興趣的同學(xué)不妨試一試。例6已知a0，二次函數(shù)。設(shè)的解集為A，又已知，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，知二次函數(shù)的圖象必與x軸相交，其開口方向不確定，需要討論。當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，由，如圖6知從而，可得。當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸，由，如圖7知，從而，可得a2。綜上，使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，2）（）。點(diǎn)評(píng)：若求出方程的根，將得到無理不等式，情況復(fù)雜難解。例7若函數(shù)的值域?yàn)?，7，試確定x的取值范圍。解析：設(shè)，由函數(shù)的值域?yàn)?，7，得。作出的圖象，如圖