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江蘇省南京市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試(5月)試題(滿分160分,考試時間120分鐘)20205一、 填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分1. 已知集合Ux|1x0.若x1,x2是方程f(x)2的兩個不同的實數(shù)根,且|x1x2|的最小值為,則當(dāng)x0,時,f(x)的最小值為_10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過雙曲線1(a0,b0)的右焦點F作一條漸近線的平行線,交另一條漸近線于點P.若線段PF的中點恰好在此雙曲線上,則此雙曲線的離心率為_11. 有一個體積為2的長方體,它的長、寬、高依次為a,b,1.現(xiàn)將它的長增加1,寬增加2,且體積不變,則所得新長方體高的最大值為_12. 已知向量a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量,其中a,b是夾角為60的兩個單位向量若向量c滿足c(a2b)5,則|c|的最小值為_13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知MN是圓C:(x1)2(y2)22的一條弦,且CMCN,P是MN的中點當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動時,直線l:x3y50上存在兩點A,B,使得APB恒成立,則線段AB長度的最小值是_14. 已知函數(shù)f(x)x2aln xx,對任意x1,),當(dāng)f(x)mx恒成立時實數(shù)m的最大值為1,則實數(shù)a的取值范圍是_二、 解答題:本大題共6小題,共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)已知a,b,c分別是ABC三個角A,B,C所對的邊,且滿足acos Bbcos A.(1) 求證:AC;(2) 若b2,且1,求sin B的值16. (本小題滿分14分)在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,AB1,BC2,ABC60.(1) 求證:平面PAC平面PAB;(2) 設(shè)平面PBC平面PADl,求證:BCl.17. (本小題滿分14分)如圖,某摩天輪底座中心A與附近的景觀內(nèi)某點B之間的距離AB為160 m摩天輪與景觀之間有一建筑物,此建筑物由一個底面半徑為15 m的圓柱體與一個半徑為15 m的半球體組成圓柱的底面中心P在線段AB上,且PB為45 m半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m把摩天輪看作一個半徑為72 m的圓C,且圓C在平面BPQ內(nèi),點C到地面的距離CA為75 m該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min,若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點)旋轉(zhuǎn)一周,求該游客能看到點B的時長(只考慮此建筑物對游客視線的遮擋)18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:1(ab0)過點(1,),離心率為.A,B分別是橢圓C的上、下頂點,M是橢圓C上異于A,B的一點(1) 求橢圓C的方程;(2) 若點P在直線xy20上,且3,求PMA的面積;(3) 過點M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點N,交y軸于點D,且點D在線段OA上(不包括端點O,A),直線NA與直線BM交于點P,求的值19. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ln x1,aR.(1) 若函數(shù)f(x)在x1處的切線為y2xb,求a,b的值;(2) 記g(x)f(x)ax,若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,)上有最小值,求實數(shù)a的取值范圍;(3) 當(dāng)a0時,關(guān)于x的方程f(x)bx2有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍20. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn.若存在正整數(shù)r,t,且r0)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且AB3,求r的值C. (選修45:不等式選講)若x,y,z為實數(shù),且x24y29z26,求x2y6z的最大值【必做題】 第22,23題,每小題10分,共20分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 在平面直線坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y22px(p0)及點M(2,0),動直線l過點M交拋物線于A,B兩點,當(dāng)l垂直于x軸時,AB4.(1) 求p的值;(2) 若l與x軸不垂直,設(shè)線段AB中點為C,直線l1經(jīng)過點C且垂直于y軸,直線l2經(jīng)過點M且垂直于直線l,記l1,l2相交于點P,求證:點P在定直線上23. 對由0和1這兩個數(shù)字組成的字符串,作如下規(guī)定:按從左向右的順序,當(dāng)?shù)谝粋€子串“010”的最后一個0所在數(shù)位是第k(kN*,且k3)位,則稱子串“010”在第k位出現(xiàn);再繼續(xù)從第k1位按從左往右的順序找子串“010”,若第二個子串“010”的最后一個0所在數(shù)位是第km位(其中m3,且mN*),則稱子串“010”在第km位出現(xiàn);如此不斷地重復(fù)下去如:在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中,子串“010”在第5位和第9位出現(xiàn),而不是在第7位和第11位出現(xiàn)記在n位由0,1組成的所有字符串中,子串“010”在第n位出現(xiàn)的字符串的個數(shù)為f(n)(1) 求f(3),f(4)的值;(2) 求證:對任意的正整數(shù)n,f(4n1)是3的倍數(shù)2020屆高三模擬考試試卷(南京)數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1. 4,52. 四3. 304. 5. 56. 7. 8. 69. 110. 11. 12. 13. 22 14. (,115. (1) 證明:由正弦定理2R,得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,代入acos Bbcos A,得(sin Acos Bsin Bcos A)cos Csin Ccos A,(2分)即sin(AB)cos Csin Ccos A.因為ABC,所以sin (AB)sin C,所以sin Ccos Csin Ccos A(4分)因為C是ABC的內(nèi)角,所以sin C0,所以cos Ccos A.因為A,C是ABC的內(nèi)角,所以AC.(6分)(2) 解:由(1)知AC,所以ac,所以cos B.(8分)因為1,所以a2cos Ba221,所以a23.(10分)所以cos B.(12分)因為B(0,),所以sin B.(14分)16.證明:(1) 因為PA平面ABCD,AC平面ABCD,所以PAAC.(2分)因為AB1,BC2,ABC60,由余弦定理,得AC.(4分)因為12()222,即AB2AC2BC2,所以ACAB.(6分)因為ACPA,且PAABA,PA平面PAB,AB平面PAB,所以AC平面PAB.又AC平面PAC,所以平面PAC平面PAB.(8分)(2) 因為BCAD,AD平面PAD,BC平面PAD,所以BC平面PAD.(10分)因為BC平面PBC,且平面PBC平面PADl,所以BCl.(14分)17. 解:以點B為坐標(biāo)原點,BP所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),Q(45,15),C(160,75)過點B作直線l與圓Q相切,與圓C交于點M,N,設(shè)直線l的方程為ykx,即kxy0,則點Q到l的距離為15,解得k或k0(舍去)所以直線l的方程為yx,即3x4y0.(4分)點C(160,75)到直線l的距離CH36.(6分)在RtCHM中,因為CH36,CM72,所以cosMCH.(8分)因為MCH(0,),所以MCH,所以MCN2MCH,(12分)所以所用時長為3010 min.(13分)答:該游客能看到點B的時長為10 min.(14分)18. 解:(1) 因為橢圓過點(1,),離心率為,所以1,1e2,解得a22,b21,所以橢圓C的方程為y21.(2分)(2) 由(1)知B(0,1),設(shè)M(x0,y0),P(x,y)由3,得(x,y1)3(x0,y01),則x3x0,y3y02.因為P在直線xy20上,所以y0x0.(4分)因為M在橢圓C上,所以y1,將代入上式,得x.(6分)所以|x0|,從而|xP|, 所以SPMASPABSMAB22.(8分)(3) (解法1)由(1)知,A(0,1),B(0,1)設(shè)D(0,m),0m1,M(x1,y1),N(x2,y2)因為MN的斜率為1,所以直線MN的方程為yxm.聯(lián)立方程組消去y,得3x24mx2m220,所以x1x2,x1x2. (10分)直線MB的方程為yx1,直線NA的方程為yx1,聯(lián)立解得yP.(12分)將y1x1m,y2x2m代入,得yP.(14分)所以(0,m)(xP,yP)myPm1.(16分)(解法2)由(1)知,A(0,1),B(0,1)設(shè)M(x0,y0),則y1.因為直線MN的斜率為1,所以直線MN的方程為yxx0y0,則D(0,y0x0)聯(lián)立方程消去y,得3x24(x0y0)x2(x0y0)220,所以xNx0,(10分)所以xN,yN,所以直線NA的方程為yx1x1,直線MB的方程為yx1,聯(lián)立解得yP.(12分)因為y1,所以yP,(14分)所以(0,y0x0)(xP,yP)(y0x0)1.(16分)19. 解:(1) f(x),則f(1)1a2,解得a1,則f(x)ln x1,此時f(1)ln 1110,則切點坐標(biāo)為(1,0),代入切線方程,得b2,所以a1,b2.(2分)(2) g(x)f(x)axln xax1,g(x)a.當(dāng)a0時,g(x)0,則g(x)在區(qū)間(0,)上為增函數(shù),則g(x)在區(qū)間(0,)上無最小值(4分)當(dāng)a0時,方程ax2xa0的判別式14a20,則方程有兩個不相等的實數(shù)根,設(shè)為x1,x2,由韋達(dá)定理得x1x21,則兩根一正一負(fù),不妨設(shè)x10x2.設(shè)函數(shù)m(x)ax2xa(x0),(i) 若a0,當(dāng)x2(0,)時,m(0)a0,m()a0,解得0a.此時當(dāng)x(0,x2)時,m(x)0,則g(x)遞減;當(dāng)x(x2,)時,m(x)0,則g(x)遞增,當(dāng)xx2時,g(x)取極小值,即為最小值當(dāng)x2時,x(0,),m(x)0,則g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,無最小值(6分)(ii) 若a0,當(dāng)x(0,x2)時,m(x)0,則g(x)遞增;當(dāng)x(x2,)時,m(x)0,則g(x)遞減,在區(qū)間(0,)上,g(x)不會有最小值所以a0不滿足條件綜上,當(dāng)0a時,g(x)在區(qū)間(0,)上有最小值(8分)(3) 當(dāng)a0時,由方程f(x)bx2,得ln x1bx20.記h(x)ln x1bx2,x0,則h(x)2bx.當(dāng)b0時,h(x)0恒成立,即h(x)在(0,)上為增函數(shù),則函數(shù)h(x)至多只有一個零點,即方程f(x)bx2至多只有一個實數(shù)根,所以b0不符合題意(10分)當(dāng)b0時,當(dāng)x(0,)時,h(x)0,所以函數(shù)h(x)遞增; 當(dāng)x(,)時,h(x)0,所以函數(shù)h(x)遞減,則h(x)maxh()ln.要使方程f(x)bx2有兩個不相等的實數(shù)根,則h()ln 0,解得0b.(12分)(i) 當(dāng)0b時,h()0.又()2()20,則,所以存在唯一的x1(,),使得h(x1)0.(14分)(ii) h()ln 1ln b1,記k(b)ln b1,0b.因為k(b),則k(b)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,)上為減函數(shù),則k(b)maxk(1)0,則h()0.又()2()20,即,所以存在唯一的x2(,使得h(x2)0.綜上,當(dāng)0b時,方程f(x)bx2有兩個不相等的實數(shù)根(16分)20. (1) 解:因為an是M(r,2r)數(shù)列,所以Sr2r,且S2rr.由Sr2r,得3rd2r.因為r0,所以(r1)d2(*)由S2rr,得6rdr.因為r0,所以(2r1)d5(*)由(*)和(*),解得r3,d1.(2分)(2) 解:(i) 若q1,則Srra1,Stta1.因為an是M(r,2r)數(shù)列,所以ra12r(*),2ra1r(*)由(*)和(*),得a12且a1,矛盾,所以q1.(3分)(ii) 當(dāng)q1,因為an是M(r,2r)數(shù)列,所以Sr2r,且S2rr,即2r(*),r(*)由(*)和(*),得qr.(5分)當(dāng)r1時,q;當(dāng)r2,4時,無解;當(dāng)r3時,q.綜上,q或q.(6分)證明:因為an是M(r,t)數(shù)列,q(1,0),所以Srt,且Str,即t,且r,兩式作商,得,即r(1qr)t(1qt)(8分)(i) 若r為偶數(shù),t為奇數(shù),則r(1|q|r)t(1|q|t)因為rt,01|q|r1,1|q|t1,所以r(1|q|r)t(1|q|t),這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾,所以假設(shè)不成立(10分)(ii) 若r為偶數(shù),t為偶數(shù),則r(1|q|r)t(1|q|t)設(shè)函數(shù)yx(1ax),0a1,則y1axxaxln a.當(dāng)x0時,1ax0,xaxln a0,所以yx(1ax)在(0,)上遞增因為rt,所以r(1|q|r)t(1|q|t),這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾,所以假設(shè)不成立(12分)(iii) 若r為奇數(shù),t為奇數(shù),則r(1|q|r)t(1|q|t)設(shè)函數(shù)yx(1ax),0a1,則y1axxaxln a.設(shè)g(x)1axxaxln a,則g(x)axln a(2xln a)令g(x)0,得x .因為ax0,ln a0,所以當(dāng)x,g(x)0,則g(x)在區(qū)間(,)上遞增;當(dāng)0x,g(x)0,則g(x)在區(qū)間(0,)上遞減,所以g(x)ming()1a.因為0,所以a1, 所以g(x)min0,從而g(x)0在(0,)上恒成立,所以yx(1ax),0a1在(0,)上單調(diào)遞增因為rt,所以r(1|q|r)t(1|q|t),這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾,所以假設(shè)不成立(14分)(iv) 若r為奇數(shù),t為偶數(shù)由知,存在等比數(shù)列an為“M(1,2)數(shù)列”綜上,r為奇數(shù),t為偶數(shù)(16分)2020屆高三模擬考試試卷(南京)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)21. A. 解:(1) M2.(4分)(2) 矩陣M的特征多項式為f()(1)(3)令f()0,解得M的特征值為11,23.(6分)當(dāng)1時,得令x1,則y1,于是矩陣M的一個特征向量為.(8分)當(dāng)3時,3,得令x1,則y1,于是矩陣M的一個特征向量為.因此,矩陣M的特征值為1,3,分別對應(yīng)一個特征向量為,.(10分)B. 解:直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2分)曲線C的普通方程為(x2)2(y1)2r2.(4分)因為圓心C(2,1)到直線l的距離d,(6分)所以r.(10分)C. 解:由柯西不等式,得x2(2y)2(3z)2(121222)(x2y6z)2.(4分)因為x24y29z26,所以(x2y6z)236,(6分)所以6x2y6z6.當(dāng)且僅當(dāng)時,不等式取等號,此時x1,y,z或 x1,y,z,(8分)所以x2y6z的最大值為6.(10分)22. (1) 解:因為l過M(2,0),且當(dāng)l垂直于x軸時,AB4,所以拋物線經(jīng)過點(2,2),代入拋物線方程,得42p2
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