甘肅蘭州高三數(shù)學(xué)實戰(zhàn)模擬考試二診理

2019年蘭州市高三實戰(zhàn)模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題.在每小題給出的的四個選項中，只有一面是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解。【詳解】，所以，故選B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)求模的問題，考查復(fù)數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題。2.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合的交集運算，直接求出答案即可?！驹斀狻恳驗锳=x-20，所以AB=x00，所以排除B故選A.【點睛】由解析式判斷函數(shù)圖像的一般方法1、求定義域2、判斷奇偶性3、取特殊值4,、求導(dǎo)，判斷增減性4.已知向量a，b滿足a=1，b=2，a+ba2b=8，則a與b的夾角為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】將(a+b)(a-2b)=-8展開，代入a=1，b=2，可求出ab的值，結(jié)合求夾角公式，即可求解?！驹斀狻坑深}意得(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2=1-ab-8=-8，所以ab=1所以cos=abab=112=12，又0,，所以=3，即a與b的夾角為3，故選B?！军c睛】本題考查向量的數(shù)量積公式以及向量夾角的求法，屬基礎(chǔ)題。5.經(jīng)過點M23，25且與雙曲線x23y22=1有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）A. x218y212=1B. x212y218=1C. y218x212=1D. y212x218=1【答案】D【解析】【分析】設(shè)所求雙曲線的方程x23y22=，將點M23，25代入求出，從而求出方程?！驹斀狻吭O(shè)所求雙曲線的方程為x23y22=，將點M23，25代入得23232522=解得=6，所以雙曲線方程為y212x218=1故選D.【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是設(shè)所求雙曲線的方程為x23y22=，屬于簡單題。6.定義“等積數(shù)列”:在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列an是等積數(shù)列且a1=3，前41項的和為103，則這個數(shù)列的公積為（ ）A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由題可得a1+a2=a3+a4=a39+a40，a1=a41 ，先由題求出a2 ，則公積為a1a2.【詳解】由題可知等積數(shù)列的各項以2為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，每相鄰兩項的和相等，前41項的和為103則a1+a2+a3+a4+a39+a40+a41=103 即20a1+a2+a1=103，解得a2=2 所以公積是23=6 故選C.【點睛】本題考查數(shù)列，解題的關(guān)鍵是理解等積數(shù)列的各項以2為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，每相鄰兩項的和相等，考查學(xué)生的類比能力。7.“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，也叫做輾轉(zhuǎn)相除法，可追溯至公元前年前，如圖的程序框的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”，用于計算兩個整數(shù)，的最大公約數(shù)執(zhí)行該程序框圖（圖中“”表示除以的余數(shù)），若輸入的，分別為，則輸出的（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】該程序框圖執(zhí)行的是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，求出運算結(jié)果即可?！驹斀狻枯斎氲腶=1764，b=840，則c=84 ，不滿足循環(huán)條件a=840 ，b=84 ，則c=0滿足循環(huán)條件，則最大公約數(shù)是84. 故選B【點睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，屬于簡單題。8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，則異面直線A1B1與AC1所成角的余弦值為（ ）A. 1414B. 1313C. 66D. 13【答案】C【解析】【分析】由A1B1AB，得BAC1即為異面直線A1B1與AC1所成角，在RtABC1中，求出各邊邊長，即可求解?！驹斀狻恳驗殚L方體ABCD-A1B1C1D1所以A1B1AB，所以BAC1即為異面直線A1B1與AC1所成角。因為AB平面BCC1B1，所以ABBC1，即ABC1為直角三角形由題意得，在BAC1中，AB=1，BC1=5，AC1=6所以cosBAC1=16=66，故選C?！军c睛】本題考查異面直線所成角的求法，解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成相交線所成的角，考查空間想象能力，計算求解能力，屬基礎(chǔ)題。9.已知數(shù)列an中，a1=1，a2=2，且anan+2=an+1nN，則a2019的值為（ ）A. 2B. 1C. 12D. 14【答案】A【解析】【分析】由遞推關(guān)系，結(jié)合a1=1，a2=2，可求得a3，a4，a5 的值，可得數(shù)列an是一個周期為6的周期數(shù)列，進(jìn)而可求a2019的值?！驹斀狻恳驗閍nan+2=an+1nN*，由a1=1，a2=2，得a3=2；由a2=2，a3=2，得a4=1；由a3=2，a4=1，得a5=12；由a4=1，a5=12，得a6=12；由a5=12，a6=12，得a7=1；由a6=12，a7=1，得a8=2 由此推理可得數(shù)列an是一個周期為6的周期數(shù)列，所以a2019=a3=2，故選A。【點睛】本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列中的項，考查數(shù)列周期的判斷，屬基礎(chǔ)題。10.定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx2，且f1=3，則不等式fx2x+1的解集為（ ）A. -,0B. 0,+C. 1,+D. -,1【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)gx=fx2x1，對gx求導(dǎo)研究其單調(diào)性與在x=1處的函數(shù)值，從而求得答案?！驹斀狻縡x2x+1的解集即為fx2x10的解集構(gòu)造函數(shù)gx=fx2x1，則gx=fx2，因為fx2，所以gx=fx20所以gx=fx2x1在R上單調(diào)遞增，且g1=f121=0所以fx2x10的解集為1,+，不等式fx2x+1的解集為1,+.故選C.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)。11.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a0,b0的左焦點F，右頂點為E，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A. 1,2B. 2,1+2C. 1+2,+D. 2,+【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的對稱性可得AEB為鈍角，得即AFEF，利用幾何關(guān)系可得AF，EF的長度，結(jié)合離心率的公式，即可求出離心率的取值范圍?！驹斀狻恳驗殡p曲線關(guān)于x軸對稱，且AB垂直于x軸，所以AEF=BEF,因為ABE是鈍角三角形，所以AEB為鈍角，即AFEF因為F為左焦點，且過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點，所以AF=b2a，又EF=a+c所以b2aa+c，即c2ac2a20由e=ca，可得e2e20，解得e2，或e0的一條切線，則實數(shù)b=_.【答案】1【解析】【分析】設(shè)切點為(x0,y0)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得yx=x0=1x0=e，即可解出x0的值，代入y=lnx，即可求出y0的值，又切點(x0,y0)在切線上，代入方程，即可求解。【詳解】設(shè)切點為(x0,y0)，由題意得y=1x(x0)，所以yx=x0=1x0=e所以x0=1e所以y0=lnx0=ln1e=1又y0=ex0+2b，所以b=1【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題。13.若x，y滿足約束條件x+y2xy20y4，則z=2xy的最小值為_.【答案】8【解析】【分析】由不等式組畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，平移直線y=2xz縱截距最大值，z最小?！驹斀狻靠尚杏蚴窍旅娴娜切蜛BC內(nèi)，如圖平移直線y=2xz縱截距最大值，z最小，則在點A-2,-4處有最小值-8【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是找到不等式組表示的平面區(qū)域，屬于簡單題。14.已知數(shù)列an的前n項和為Sn=n2+2n+3，則an=_.【答案】6，n=12n+1,n2.【解析】分析：當(dāng)n2時，an=SnSn1，驗證首項，即可求通項an詳解：a1=S1=6，當(dāng)n2時，an=SnSn1=2n+1，當(dāng)n=1時，a1=36，an=6，n=12n+1,n2故答案為：6，n=12n+1,n2點睛：本題考查了由數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題，解題時特別注意兩點，第一，要分類討論，分n=1和n2兩種情形，第二要掌握an=snsn1n2這一數(shù)列中的重要關(guān)系，否則無法解決此類問題，最后還要注意對結(jié)果的處理，分段形式還是一個結(jié)果的形式.15.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90榫卯起來.若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_.（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留）【答案】84【解析】【分析】由題若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，求出半徑長再求表面積?！驹斀狻咳羟蛐稳萜鞅砻娣e最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即2R=82+2+22+22=221 所以R=21 球形容器的表面積S=4R2=84【點睛】本題考查球體表面積，解題的關(guān)鍵是求出球體的半徑。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.已知A，B，C是ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊.若cos2Bsin2AsinAsinB=cos2C,（1）求角C的大?。唬?）若A=6，ABC的面積為3，M為BC的中點，求AM【答案】(1) C=23 (2) AM=7【解析】【分析】（1）由sin2+cos2=1，可將cos2B，cos2C轉(zhuǎn)化為1sin2B,1sin2C，代入原式，根據(jù)正弦定理可得c2-b2=a2+ab，結(jié)合余弦定理，及0C，可得角C的大小。（2）因為A=6，所以B=6。所以ABC為等腰三角形，根據(jù)面積為3，可得a=b=2，在MAC，AC=2，CM=1，C=23，結(jié)合余弦定理，即可求解?！驹斀狻浚?）由cos2B-sin2A-sinAsinB=cos2C得sin2A+sinAsinB=sin2C-sin2B由正弦定理，得c2-b2=a2+ab，即a2+b2-c2=-ab所以cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12又0Cb0過點P3，32，且其中一個焦點的坐標(biāo)為1，0，（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l:x=my+1mR與橢圓交于兩點A，B，在x軸上是否存在點M，使得MAMB為定值？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1) x24+y23=1 (2)見證明【解析】分析】（1）根據(jù)焦點為(1,0)可得c=1，且另一個焦點為(1,0)，利用橢圓定義，即可求出a的值，結(jié)合a,b,c的關(guān)系，即可求出b2，代入方程即可求解。（2）設(shè)點Mx0,0，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立橢圓和直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，代入MAMB即可求解?！驹斀狻浚?）F1-1.0和F21,0是橢圓E:x2a2+y2b2=1ab0的兩個焦點，且點P3,32在橢圓E上，依題意，c=1，又2a=3-12+322 +3+12+322 =1219-83+19-83=124-32+4+32=4故a=2.由b2+c2=a2得b2=3.故所求橢圓E的方程為x24+y23=1.（2）假設(shè)存在點Mx0,0，使得MAMB為定值，聯(lián)立x24+y23=1x=my+1，得3m2+4y2+6my-9=0設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，MA=x1-x0,y1，MB=x2-x0,y2，MAMB=x1-x0x2-x0+y1y2=m2+1y1y2+1-x0 my1+y2+1-x02=m2+1-93m2+4+1-x0 m-6m3m2+4+1-x02=6x0-15m2-93m2+4+1-x02要使上式為定值，即與m無關(guān)，應(yīng)有6x0-153=-94解得x0=118，此時MAMB=-13564所以，存在點M118,0使得MAMB=-13564為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，重點掌握韋達(dá)定理的應(yīng)用，需要較強(qiáng)的計算能力，屬中檔題。19.如圖所示，三棱錐SABC中，平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，D，E分別是AB和BC邊上的點，且DEAB，SA=2，AD=3，DE=1，AC=23，AEC=60，F(xiàn)為CE的中點.（1）求證：DE/平面SAF；（2）求直線SC與平面SDE所成角的正弦值.【答案】(1)見證明；(2) 217【解析】【分析】（1）在ACE中，根據(jù)余弦定理，可得CE=4，所以AE2+AC2=EC2，即ACE是直角三角形，又F為CE的中點，所以AEF為等邊三角形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明。（2）以點A為原點，以AB，AF，AS所在直線分別為x軸，y軸，軸建系，求出SC，平面SDE法向量n的坐標(biāo)，計算SC與法向量n的夾角，可得所求?！驹斀狻浚?）平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，平面SAC平面SAB=SA則SA平面ABC，又DEAB，則ADE=90因AD=3，DE=1，ADE=90，所以AE=2，AED=60，在ACE中，AC=23，AE=2，AEC=60由余弦定理可得：AC2=AE2+EC2-2AEECcosAEC解得：CE=4所以AE2+AC2=EC2，所以ACE是直角三角形，又F為CE的中點，所以AF=12EC=EF又AEC=60，所以AEF為等邊三角形，所以EAF=60=DEA，所以DE/AF，又AF平面SAF，DE平面SAF，所以DE/平面SAF.（2）由（1）可知DAF=90，以點A為原點，以AB，AF，AS所在直線分別為x軸，y軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則S0,0,2，D3,0,0，E3,1,0，C-3,3,0.所以SD=3,0,-2，SE=3,1,-2，SC=-3,3,-2.設(shè)n=x,y,z為平面SDE的法向量，則nSD=0nSE=0，即3x-2z=03x+y-2z=0設(shè)x=1，則y=0，z=32，即平面SDE的一個法向量為n=1,0,32，所以cos=nSCnSC =-237416=-217所以直線SC與平面SDE所成角的正弦值為217.【點睛】本題考查線面平行的判定，空間中線面角的求法，利用余弦定理解三角形?？疾榭臻g想象、計算證明的能力，屬中檔題。20.已知fx=x1ex2ax2.（1）當(dāng)a=e4時，求fx的極值；（2）若fx有2個不同零點，求a的取值范圍.【答案】(1) fx極大值=1，fx最小值=e2(2) ,0【解析】【分析】（1）當(dāng)a=e4時，fx=xex-e，令fx=0得x=0或1，對x分類討論，可得fx的單調(diào)性，即可求解。（2）對a分類討論，當(dāng)a 0時，只有一個零點，a0時，根據(jù)fx的單調(diào)性，結(jié)合零點與方程思想，即可求解?！驹斀狻浚?）當(dāng)a=e4時，fx=xex-e令fx=0得x=0或1，x0，fx為增函數(shù)，0x1，fx1，fx0，fx為增函數(shù)fx極大值=f0=-1，fx最小值=f1=-e2（2）fx=xex-4a當(dāng)a=0時，fx=x-1ex，只有一個零點x=1；不滿足題意。當(dāng)a0x-,0，fx0，fx為增函數(shù)，fx極小值=f0=-1而當(dāng)x0,+時，f(1)=2a0，所以x0(0,1)，使f(x0)=0，當(dāng)x-,0時，exx1，即f(x)=(x1)ex2ax2x12ax2=2ax2+x1取x1=-1-1-8a-4afx1=0，fx1f00時，fx=xex-4a，令fx=0得x=0或x=ln4aln4a0，即a14時，當(dāng)x變化時fx，fx變化情況是x-,000,ln4aln4aln4a,+fx+0-0+fx遞增-1遞減遞增fx極大值=f0=-1，函數(shù)fx至多有一個零點，不符合題意；a=14時，ln4a=0，fx0，則fx在-.+.單調(diào)遞增，fx至多有一個零點，不合題意ln4a0時，fln4a0，f0=-1函數(shù)fx至多有一個零點綜上，a的取值范圍是-,0.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的極值，單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，屬中檔題21.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosy=2+2sin（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=4cos.（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為=，0，R，點A是曲線C3與C