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天津市南開中學(xué)2019屆高三上第二次月考數(shù)學(xué)試題(理科)一、選擇題(本大題共8小題,共40.0分)1.已知R為實(shí)數(shù)集,則A. B. C. D. 【答案】A【解析】考點(diǎn):交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算分析:集合M為二次不等式的解集,集合N為函數(shù)的定義域,分別求出,再進(jìn)行集合的運(yùn)算解:M=x|x2-2x0=x|0x2,N=x|y=x|x1,則C1N=x|x1,所以M(C1N)=x|0x1故選A2.已知實(shí)數(shù)x、y滿足y33xy302x+y20,則目標(biāo)函數(shù)z=2xy的最大值為( )A. -4B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】試題分析:作出可行域如圖所示:作直線l0: 2xy=0,再作一組平行于l0的直線l: 2xy=z,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),z=2xy取得最大值,由3xy3=02x+y2=0得:x=1y=0,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),所以zmax=210=2,故選C考點(diǎn):線性規(guī)劃【此處有視頻,請(qǐng)去附件查看】3.已知q是等比數(shù)列an的公比,則“a1(1-q)0”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的條件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì),舉特例可得出選項(xiàng)【詳解】已知q是等比數(shù)列an的公比,當(dāng)a11,q1,則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,即數(shù)列an不是遞增數(shù)列,當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列,不妨?。篴n2n,則a12,q2,不滿足a1(1q)0,故“a1(1q)0”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的判斷,涉及等比數(shù)列的性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題4.已知a=log23,b=log46,c=0.4-1.2,則A. abcB. bacC. cabD. cba【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)比較a與b的大小,再比較b,c與2的大小關(guān)系得答案【詳解】alog232,blog46=12log26=log26log23,c0.41.2=(52)1.2522,cab故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值的大小比較,考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題5.設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A,是常數(shù),A0,0),且函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則有( )A. f(34)f(53)f(76)B. f(34)f(76)f(53)C. f(53)f(76)f(34)D. f(53)f(34)2), 若關(guān)于的方程f(x)2+af(x)+b=0,bR有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A. (52,94)B. (94,1)C. (52,94)(94,1)D. (52,1)【答案】C【解析】試題分析:由題意y=f(x)在上是遞增,在上遞減,當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值;當(dāng)時(shí),取得極小值要使關(guān)于的方程f(x)2+af(x)+b=0,bR有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,設(shè)t=f(x),則必有兩個(gè)根,則有兩種情況符合題意:(),此時(shí);(),此時(shí)同理可得綜合可得a的取值范圍故選C.考點(diǎn):分段函數(shù);函數(shù)的圖象【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的圖象,函數(shù)與方程的關(guān)系,函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)本題由給定的關(guān)于f(x)的方程有六個(gè)根可知方程有兩個(gè)解,根據(jù)根的范圍分兩種情況,可得每種情況下a的范圍,最后可得a的范圍本題考查了知識(shí)點(diǎn)較多,邏輯能力,分析能力等能力也進(jìn)行著重的考查本題屬于難題二、填空題(本大題共6小題,共30.0分)9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,且z1=-1+i,則z1z2=_【答案】i【解析】【分析】由已知求得z21+i,代入z1z2,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【詳解】復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,且z11+i,則z21+i,z1z2=-1+i1+i=(-1+i)(1-i)(1+i)(1-i)=2i2=i,故答案為:i【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計(jì)算題10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn),則三棱錐B1-ADE的體積為_【答案】112【解析】【分析】由題意,三棱錐B1ADE的體積三棱錐DB1AE的體積,即可得出結(jié)論【詳解】由題意,三棱錐B1ADE的體積三棱錐DB1AE的體積=13121211=112故答案為:112【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求法,正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題11.設(shè)a0(sinx+cosx)dx,則二項(xiàng)式(ax1x)6展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是 【答案】192【解析】因?yàn)閍=(sinx+cosx)|0=11=2,所以(ax1x)6=(2x1x)6=(2x+1x)6,由于通項(xiàng)公式Tr+1=C6r(2x)6r(1x)=26rC6r(x)6rr,令12(62r)=2r=2,則632=192,應(yīng)填答案192。12.在極坐標(biāo)系中,求點(diǎn)(2,6)到直線sin(-6)=1的距離.【答案】3+1【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),將直線方程化為直角坐標(biāo)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離即可.【詳解】點(diǎn)(2,6)的直角坐標(biāo)為(2cos6,2sin6),即(3,1),又sin(-6)=1可化為32sin-12cos=1,所以直線的直角坐標(biāo)方程為x-3y+2=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得d=1.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化以及距離公式,注意利用三角函數(shù)公式.注意區(qū)分點(diǎn)的橫縱坐標(biāo).13.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足9a2+b2=1,則ab3a+b的最大值為 【答案】212【解析】設(shè)3acos,bsin,其中為銳角,設(shè)tsincos,為銳角,則1t,sincos,而150成立的最小的正整數(shù)?!敬鸢浮浚?)an2n. (2)n的最小值為5.【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出(2)利用錯(cuò)位相減法即可得出;要使Sn+n2n+1-500,代入公式可得2n26成立即可試題解析:(1)設(shè)此等比數(shù)列首項(xiàng)為a1,公比為q,其中a10,q0,由題意知:a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得6a1q3-15a1q2+6a1q=0,即2q2-5q+2=0q=2,q=12,等比數(shù)列an單調(diào)遞增,a1=2,q=2an=2n.(2)bn=-n2n,Sn=b1+b2+b3+bn= -(12+222+323+n2n),設(shè)Tn=12+222+323+n2n,則2Tn=122+223+324+n2n+1,得-Tn=12+122+123+12n-n2n+1 =-(n-1)2n+1-2,Sn=-(n-1)2n+1-2,要使Sn+n2n+1-500成立,即-(n-1)2n+1-2+n2n+1-500,即2n26,24163226,且y=2x是單調(diào)遞增函數(shù),滿足條件的n的最小值為5.19.設(shè)數(shù)列an,bn,已知a1=3,b1=5,an+1=4+bn2,bn+1=4+an2,(nN*).(1)求數(shù)列bn-an的通項(xiàng)公式;(2)求證:對(duì)任意nN*,an+bn為定值;(3)設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意nN*,都有p(Sn-4n)1,3,求實(shí)數(shù)p的取值范圍【答案】(1)bn-an=2(-12)n-1;(2)詳見解析;(3)2,3【解析】【分析】(1)通過變形易得數(shù)列bn-an是以2為首項(xiàng)、-12為公比的等比數(shù)列,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)通過變形可得an+1+bn+1-8=12(an+bn-8),取n=1即得結(jié)論;(3)通過an+bn=8與bn-an=2(-12)n-1兩式相加可得Sn,通過p(Sn-4n)1,3,化簡(jiǎn)可得11-(-12)n2p331-(-12)n,對(duì)n分奇偶數(shù)討論,分別求得不等式左邊的最大值及右邊的最小值,進(jìn)而可得結(jié)論【詳解】(1)bn+1-an+1=4+an2-4+bn2=an-bn2=-12(bn-an),又b1-a1=2,bn-an是以2為首項(xiàng),-12為公比的等比數(shù)列,bn-an=2(-12)n-1;(2)an+1+bn+1=4+bn2+4+an2=an+bn2+4,an+1+bn+1-8=12(an+bn-8),又a1+b1-8=0,an+bn-8=0恒成立,即an+bn=8為定值;(3)由(1)(2)得:an+bn=8,bn-an=2(-12)n-1,兩式相加即得:bn=4+(-12)n-1,Sn=4n+1-(-12)n1-(-12)=4n+231-(-12)n,p(Sn-4n)=2p31-(-12)n,p(Sn-4n)1,3,12p31-(-12)n3,1-(-12)n0,11-(-12)n2p331-(-12)n,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),11-(-12)n=11+12n隨n的增大而遞增,且011-(-12)n1;11-(-12)n的最大值為43,31-(-12)n的最小值為2,11-(-12)n2p331-(-12)n,432p32,解得:2p3,實(shí)數(shù)p的取值范圍為:2,3【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng),考查分類討論的思想,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題20.設(shè)f(x)=alnx+bx-b,g(x)=exex,其中a,bR求g(x)的極大值;設(shè)b=1,a0,若|f(x2)-f(x1)|0時(shí),求出f(x)的導(dǎo)數(shù),以及h(x)=1g(x)的導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,去掉絕對(duì)值可得f(x2)-h(x2)f(x1)-h(x1),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-h(x),求得F(x)的導(dǎo)數(shù),通過分離參數(shù),求出右邊的最小值,即可得到a的范圍;求出g(x)的導(dǎo)數(shù),通過單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)g(x)在(0,e上的值域?yàn)?0,1,由題意分析a=-2時(shí),結(jié)合f(x)的導(dǎo)數(shù)得到f(x)在區(qū)間(0,e上不單調(diào),所以,02b1時(shí),g(x)0,g(x)在(1,+)遞增;當(dāng)x0,g(x)在(-,1)遞減則有g(shù)(x)的極大值為g(1)=1;當(dāng)b=1,a0時(shí),f(x)=alnx+x-1,x0,f(x)=ax+1=a+xx0在3,4恒成立,f(x)在3,4遞增;由h(x)=1g(x)=exex,h(x)=ex(x-1)ex20在3,4恒成立,h(x)在3,4遞增設(shè)x1x2,原不等式等價(jià)為f(x2)-f(x1)h(x2)-h(x1),即f(x2)-h(x2)34e2-10,G(x)在3,4遞增,即有a23e2-3,即amax=23e2-3;)g(x)=e1-x-xe1-x=(1-x)e1-x,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,e時(shí),g(x)0,所以,函數(shù)g(x)在(0,e上的值域?yàn)?0,1由題意,
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