不等式教材分析與教學(xué)建議(推薦)

“不等式”教材分析與教學(xué)建議一、教材分析1.地位與作用 “相等”與“不等”是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間的兩種基本關(guān)系，就像等式表達(dá)的是相等關(guān)系一樣， 不等式是表達(dá)不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式。不等式作為本章的第一單元， 是在學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)、一元一次方程和二元一次方程組之后， 學(xué)生已初步建立用等式和方程刻畫(huà)相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，展開(kāi)對(duì)不等式的學(xué)習(xí)。體會(huì)不等式是研究不等關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型， 可以更好地認(rèn)識(shí)事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。 在研究不等問(wèn)題的過(guò)程中繞不開(kāi)與相等關(guān)系的類(lèi)比， 類(lèi)比既是一種數(shù)學(xué)思想， 用它可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)， 也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的研究問(wèn)題的方法。本章第一單元“不等式”，從知識(shí)的角度看，是后兩節(jié)“實(shí)際問(wèn)題與一元一次不等式”“一元一次不等式組” 的基礎(chǔ)，從方法的角度說(shuō)， 這種類(lèi)比研究問(wèn)題的方法， 對(duì)以后的研究學(xué)習(xí)也起到了引領(lǐng)示范的作用。2.內(nèi)容安排本單元的主要內(nèi)容包括： 不等式及其解集的相關(guān)概念，不等式的性質(zhì)、一元一次不等式、利用不等式的性質(zhì)解不等式，共2節(jié)。全單元將實(shí)際問(wèn)題貫穿始終，對(duì)不等式概念引入，及其解法的討論都在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中進(jìn)行，在體現(xiàn)不等式中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)建模思想和解不等式中蘊(yùn)涵的化歸思想的同時(shí)，也使該單元的難度有所增加，對(duì)此應(yīng)多加注意。章前圖是與第9.2節(jié)的選擇購(gòu)物商店問(wèn)題情景相對(duì)應(yīng)，與本單元關(guān)系不大。但利用好章前圖下方的文字，則會(huì)使問(wèn)題的引入自然、輕松。首先，從第一段“比較班上同學(xué)身高、體重、臂力”的文字中， 學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)本章之前， 關(guān)于不等關(guān)系其實(shí)在生活中早已不自覺(jué)地應(yīng)用過(guò)了； 而第二段則將有理數(shù)大小的比較， 三角形兩邊之和大于第三邊這些已學(xué)過(guò)的七年級(jí)數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容拿出來(lái)， 除了讓學(xué)生感受不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用外， 還為研究不等式的性質(zhì)埋好了伏筆； 第三段則對(duì)本章內(nèi)容的地位與作用進(jìn)行了簡(jiǎn)述；第四段則把本章要研究的問(wèn)題說(shuō)了個(gè)明白。理解好這些，對(duì)于如何引出本單元內(nèi)容，會(huì)有幫助。第9.1.1節(jié)中，首先從一個(gè)具體行程問(wèn)題情景引入，讓學(xué)生感受如何用數(shù)學(xué)的眼光去分析現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)的不等關(guān)系，在經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)表達(dá)能力，自然地引出了不等式的概念，以及幾種常見(jiàn)的不等式。在含有未知數(shù)的不等式中，由未知數(shù)的取值，進(jìn)一步引出了不等式的解，不等式的解集的概念。整個(gè)過(guò)程的設(shè)計(jì)自然流暢，與方程的類(lèi)比貫穿始終，既提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，也在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，和等式的有關(guān)知識(shí)、方程解的定義相呼應(yīng)。在教學(xué)的過(guò)程中，教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際選擇合適的時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生將等式與不等式的相關(guān)概念進(jìn)行對(duì)比，以便更深刻地理解概念的內(nèi)涵。教材“思考” 欄目的設(shè)置， 讓學(xué)生更清楚地體會(huì)出不等式的解與方程的解的不同之處， 為接下來(lái)解集概念的得出做好了準(zhǔn)備。對(duì)于解集的表示， 教材從“ 數(shù)” 和“ 形” 兩方面入手：一種是用式子形式（即用最簡(jiǎn)形式的不等式xa 或xa）；另一種是用數(shù)軸， 標(biāo)出數(shù)軸上的某一區(qū)間， 其中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值都是不等式的解。注意，教材中對(duì)于用數(shù)軸表示解集的表述可以再清晰一點(diǎn)，比如：“不等式x75的解集可以用數(shù)軸上表示75的點(diǎn)的右邊部分來(lái)表示”。數(shù)軸表示解集， 進(jìn)一步加深了對(duì)不等式解集的理解，使學(xué)生體會(huì)到解集的連續(xù)性，也為學(xué)習(xí)不等式組的解集做好了鋪墊。數(shù)軸表示解集的另一個(gè)作用是告訴人們： 如此可以避免用式子形式表示不等式組的解集時(shí)還要去死記硬背口訣之類(lèi)的做法（這是后話）。接下來(lái)繼續(xù)類(lèi)比一元一次方程， 給出一元一次不等式的概念。第9.1.2 節(jié)從解不等式的需要出發(fā)，討論不等式的基本性質(zhì)，它們是解不等式的依據(jù)。教材先通過(guò)數(shù)字運(yùn)算的大小比較，類(lèi)比等式的性質(zhì)，歸納出不等式的三條基本性質(zhì)。用符號(hào)語(yǔ)言表示不等式的性質(zhì)，使書(shū)寫(xiě)更加簡(jiǎn)明。接著教材安排利用不等式的性質(zhì)解不等式的例題1。通過(guò)例1加深了不等式性質(zhì)的理解，了解解一元一次不等式的基本目標(biāo)（使不等式逐步轉(zhuǎn)化為xa或xa的形式）， 體會(huì)解法中蘊(yùn)涵的化歸思想。并能在數(shù)軸上表示出解集，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。例2展示了一個(gè)生活中常見(jiàn)的帶“” 關(guān)系的例子， 讓學(xué)生弄清題中的基本數(shù)量關(guān)系， 注意問(wèn)題的實(shí)際意義。通過(guò)例3，應(yīng)用不等式的變形，得出“三角形中的任意兩邊之差小于第三邊”的結(jié)論。教材在本單元結(jié)束后還安排閱讀與思考“用求差法比較大小”。從多方面體現(xiàn)不等式在實(shí)際生活中的用途，拓寬了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)本單元的重點(diǎn)：（1）認(rèn)識(shí)不等式解的概念和不等式解集的概念的聯(lián)系與區(qū)別。（2）理解不等式的性質(zhì)，會(huì)利用不等式性質(zhì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式， 并能在數(shù)軸上表示出不等式的解集。本單元的難點(diǎn)：（1）不等式的性質(zhì)3的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用； （2）列不等式表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：（1） 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、類(lèi)比和歸納不等式的性質(zhì)的探索過(guò)程，加深對(duì)不等式的性質(zhì)3的理解；讓學(xué)生比較不等式的性質(zhì)2和3的區(qū)別，以及等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)的異同，加深對(duì)不等式的性質(zhì)3的認(rèn)識(shí)；適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，及時(shí)糾正易錯(cuò)點(diǎn)，強(qiáng)化不等式的性質(zhì)3的應(yīng)用。（2）引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題情境， 弄清其中的不等關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生從多種角度思考數(shù)量之間的大小關(guān)系，依據(jù)不等關(guān)系列出含未知數(shù)的不等式，解決實(shí)際問(wèn)題。4.課時(shí)安排略二、教學(xué)建議1.承上啟下溫故知新本單元是在學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)、一元一次方程和二元一次方程組之后，展開(kāi)不等式學(xué)習(xí)的。方程與不等式都是“ 數(shù)與代數(shù)” 部分的內(nèi)容， 都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的模型， 一個(gè)刻畫(huà)的是現(xiàn)實(shí)世界中的相等關(guān)系， 一個(gè)刻畫(huà)的是現(xiàn)實(shí)世界中的不相等關(guān)系。在教學(xué)的過(guò)程中， 教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從相同之處找到研究問(wèn)題的方法，從不同之處探求新知所在。教材在給出一元一次不等式及其相關(guān)概念時(shí)，注意與方程有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比； 類(lèi)比等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)； 解不等式的過(guò)程與解方程的過(guò)程進(jìn)行比較，都運(yùn)用化歸思想，變形為最簡(jiǎn)形式（不等式化為xa或xa的形式，方程化為x=a的形式）。教材中注意了新舊知識(shí)聯(lián)系， 同時(shí)又強(qiáng)調(diào)它們的區(qū)別。如解不等式與解方程的不同之處， 解不等式要將未知數(shù)的系數(shù)化為1時(shí)，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)，決定不等號(hào)的方向。新舊知識(shí)的對(duì)照，加強(qiáng)了知識(shí)間的橫向聯(lián)系，突出新知識(shí)的特點(diǎn)，加深對(duì)新知識(shí)的理解。2.重在引導(dǎo)發(fā)展能力本單元教材在引出和歸納知識(shí)點(diǎn)時(shí)， 會(huì)設(shè)置“ 思考” 欄目， 以問(wèn)題、填空等形式引導(dǎo)學(xué)生自主探索， 激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)合作交流。改進(jìn)教與學(xué)的方式， 使學(xué)生樂(lè)意投入到現(xiàn)實(shí)的探索性數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。案例1 不等式性質(zhì)的探索過(guò)程思考：用“”或“”填空，并總結(jié)其中的規(guī)律：（1）53，5+2_3+2，5-2_3-2；（2）- 1 3 ， - 1 + 2_3 + 2 ，- 1 - 3 _3-3；（3）6 2 ， 6 5_2 5 ，6 （ - 5 ） _2（-5）；（4）-23，（-2）6_36，（-2）（-6）_3（-6）。根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： 當(dāng)不等式兩邊加上或減去同一個(gè)數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)）時(shí)，不等號(hào)的方向_。當(dāng)不等式兩邊乘同一個(gè)正數(shù)時(shí)， 不等號(hào)的方向_； 而乘同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)， 不等號(hào)的方向_。通過(guò)“ 思考” 欄目， 讓學(xué)生觀察具體數(shù)字運(yùn)算的大小比較， 總結(jié)其中的規(guī)律。接著對(duì)比等式的性質(zhì)填空，從而歸納出不等式的三條基本性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、對(duì)比和歸納，探索不等式性質(zhì)的過(guò)程。教材設(shè)置的“思考”欄目和填空， 給學(xué)生起到一個(gè)引導(dǎo)和歸納的作用， 有利于提高學(xué)生的探究能力和歸納能力，發(fā)展學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用多種策略分析解決問(wèn)題， 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性。3.互為依存偏重方法教學(xué)的過(guò)程，是知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，也是思想方法滲透的過(guò)程。知識(shí)的落實(shí)是課堂的明線， 思想方法的指引是數(shù)學(xué)課堂的靈魂。不等式的概念產(chǎn)生的過(guò)程， 既是基本知識(shí)落實(shí)的過(guò)程， 也是數(shù)學(xué)建模思想滲透的過(guò)程。解不等式的過(guò)程，也是化歸思想滲透的過(guò)程。案例2 不等式概念的建立通過(guò)一個(gè)具體的行程問(wèn)題，“一輛勻速行駛的汽車(chē)在1120距離A地50千米，要在1200之前駛過(guò)A地，車(chē)速應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？ ”對(duì)于不等關(guān)系還認(rèn)識(shí)較淺的學(xué)生而言，這是一個(gè)比較開(kāi)放、有一定難度的實(shí)際問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中，老師可以充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性， 將問(wèn)題拋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，多種方法解決。從學(xué)情分析來(lái)看，學(xué)生解答此類(lèi)問(wèn)題不外乎從列等式和不等式兩個(gè)角度入手， 再就是考慮路程會(huì)有怎樣的關(guān)系式？ 考慮速度或時(shí)間又會(huì)怎樣？ 如果學(xué)生列出的是等式，無(wú)非下面三種情況： 23x=50， 50x= 23，x=50 23，此時(shí)教師應(yīng)該首先肯定學(xué)生的做法有一定道理， 然后引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)， 體現(xiàn)的是一種相等關(guān)系還是不等關(guān)系，比如“之前”“駛過(guò)”，從如何體現(xiàn)這些關(guān)鍵詞語(yǔ)入手， 將方程過(guò)渡到不等式，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，表面看耗時(shí)費(fèi)力， 實(shí)質(zhì)上卻更好地體現(xiàn)了等式和不等式都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型，對(duì)比出了等式和不等式的異同，更好地體現(xiàn)了教材的設(shè)計(jì)意圖， 并且為接下來(lái)的等式和不等式的進(jìn)一步類(lèi)比做好鋪墊， 這個(gè)引例的選取可謂獨(dú)具匠心，執(zhí)教者需反復(fù)揣摩，才能領(lǐng)會(huì)其中的深意， 在這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)中舍得花費(fèi)點(diǎn)時(shí)間是值得的。4. 雙基落實(shí)重在及時(shí)一元一次不等式是最基本的代數(shù)不等式，對(duì)它的理解和掌握對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要的基礎(chǔ)作用。但由于本單元是以實(shí)際問(wèn)題為線索展開(kāi)的， 教材并沒(méi)有安排一節(jié)內(nèi)容來(lái)專(zhuān)門(mén)介紹解一元一次不等式， 而是把不等式的解法（含有括號(hào)和分母的不等式）放在了9.2解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)， 把利用移項(xiàng)解不等式這一知識(shí)點(diǎn)通過(guò)9.1.2中的例3，馬馬虎虎地過(guò)去了，把例3前需要用到不等式組才能解決的例2 按了進(jìn)來(lái)， 這需要老師們對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)整合。利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，本來(lái)就是一個(gè)難點(diǎn)，如這時(shí)缺乏對(duì)不等式解法的分析歸納， 忽視它們， 不利于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。所以教學(xué)中要及時(shí)對(duì)解不等式進(jìn)行歸納整理，安排必要的、適量的練習(xí)，為后面學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。案例3 一元一次不等式的解法利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：（1）x-726；（2）3x2x+1；（3） 23x50；（4）-4x3。這是第9.1.2中的例1。建議在例1前增加一個(gè)正向應(yīng)用不等式性質(zhì)的問(wèn)題，例如習(xí)