外接球內(nèi)切球問題標準答案

1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.1 球與正方體發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為( ) A.B.4C.D.1.3 球與正棱柱例3 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1 球與正四面體解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題帶來極大的方便.例4 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則正2.3 球與正棱錐 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.接球的球心,則. 例7 矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當?shù)奶幚硎侄危鐪蚀_確定各個小球的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時結(jié)論的記憶必須準確.1. 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表為. 3正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案 84.表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A B C D答案 A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C7.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為答案 8.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為答案 9.（一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.答案 10.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_ABCPDEF答案 11. 棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .答案 12.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD以上都不對答案C13.設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）A B2 C4