導數(shù)在研究函數(shù)問題中的應用

導數(shù)在研究函數(shù)問題中的應用一、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)例1.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.評注：（1）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)。在引入導數(shù)這一工具之前，我們判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般方法是定義法，但是對于上述題目這種方法就無法得到答案，而有了導數(shù)之后，問題就迎刃而解了.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)密切相關，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負即可，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.此方法簡單快捷而且適用面廣。（2）在定義域為（1，+）的條件下，為了判定符號，必須討論實數(shù)與0及1的大小，分類討論是解本題的關鍵.二、函數(shù)的極值與導數(shù)例2.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）.A.（-,0） B.（0,） C.（0,1） D.（0，+）評注：函數(shù)有兩個極值點，即有兩個不等的實數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為兩個曲線有兩個交點.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中的一種重要的解題方法，可以使問題直觀明了。三、函數(shù)的最值與導數(shù)例3. 設若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是 .例4. 若函數(shù)，其中，設g（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間0，1上的最小值.評注：本題首先得到g（x）的解析式，然后進行分類討論，研究不同情況下函數(shù)的變化趨勢，得出最值.合理分類是解題的關鍵.四、導數(shù)在求曲線的切線方程中的應用例5.求曲線在原點處的切線方程.評注：此類題型為已知點不在曲線上求切線方程，應先設出切點坐標，表示出切線方程，把已知點代入方程，求出切點坐標后，再求切線方程.五、利用導數(shù)解決實際問題3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）.設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元（x為圓周率）.（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.評注：利用導數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題時，既要注意將題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還要注意函數(shù)表達式中自變量的取值范圍，如果目標函數(shù)在定義域中只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義，該極值點就是最值點.集合易錯警示集合是學習數(shù)學的基礎，是高考的必考內(nèi)容，同學們在學習中不但要掌握其中的知識和方法，還要掃清解題中的誤區(qū)。下面歸納了幾種高頻誤區(qū)，給同學們提個醒，以免發(fā)生錯誤。一、忽視元素的互異性致誤集合中的元素必須具有確定性、互異性、無序性三個特性，其中元素的互異性最容易被忽視。例1.已知集合A=1，3，a），集合B=1，如果，求a的值?！惧e解】 若，即，則；若，即，則a=1.綜上，所求a的值為-1，1，2.在解決集合問題時，要注意集合元素的特征相同，但是集合的含義未必相同。例2. 設集合.【錯解】由題意可得.所以.三、忽視空集的討論致誤集合間的關系比較抽象，常常與方程、函數(shù)、不等式等知識聯(lián)系，在解此類問題時不要忽視了空集的存在。例3.已知集合，則實數(shù)m的取值集合是 . 四、忽視端點值的取舍致誤在求集合中字母取值范圍時，要特別注意該字母在取值范圍的邊界能否取等號，否則會導致解題結(jié)果錯誤. 例4.已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍.【錯解】因為，則 解得a-1.五、忽視補集的含義致誤對于給定集合求補集的問題，要先求出元素的具體范圍，再在對應全集下求其補集.不可隨便猜測，否則易錯.例5.已知全集I=R，集合，集合，則下列關系正確的是（ ）.函數(shù)易錯警示函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容.它包括函數(shù)的定義域和值域，圖像和解析式，函數(shù)的性質(zhì)等問題，又涉及高中數(shù)學的很多數(shù)學思想.對于函數(shù)方面易錯點的研究，有助于大家跳出誤區(qū)，優(yōu)化思維，使邏輯思維更加嚴密，也有助于數(shù)學其他模塊的學習。一、忽視隱含條件致誤例1.已知的范圍.【錯解】 由題意可得范圍是-2，+）.二、忽視判別式約束致誤例2.若a，是實系數(shù)一元二次方程的兩根，求的最小值.【錯解】 由韋達定理，有，則，所以的最小值是.三、忽視分界點致誤例3.函數(shù)在（-，+）上單調(diào)，則a的取值范圍是 .【錯解】 由題意可得，若函數(shù)在（-，+）上單調(diào)遞減，則有，得a1.故a1.四、函數(shù)零點存在性定理理解不清致誤例4.已知方程有且只有一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的取值范圍?！惧e解】 設有且只有一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，得m-2.導數(shù)易錯警示導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，有著廣泛的應用，但是同學們在學習中存在一些誤區(qū)，經(jīng)常出現(xiàn)一些錯誤，本講對有關易錯點進行歸納剖析，供大家參考。一、對導數(shù)的定義理解不透致誤例1.設，若=0，則=（ ）.A.任意正實數(shù) B.1 C.e D.【錯解】因為為一常數(shù)C，而（C）=0，所以x0為任意正實數(shù)，故答案為A.二、將“過某點的切線”作為“在某點的切線”致誤例2.已知曲線，求過點P（2，-2）的切線方程.【錯解】 由題意可知點P（2，-2）在曲線S上，且，則過點P的切線斜率，由點斜式方程得過點P的切線方程為，即.三、誤解導函數(shù)與原函數(shù)圖像的關系致誤例3.已知函數(shù)的圖像如圖所示（其中是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），下面四個圖像中y=f（x）的圖像大致是（）.【錯解】選A或B或D.四、對函數(shù)取極值的充要條件理解不清致誤例4.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的極值點.【錯解】 .因為a0得x-2a，由f（x）0得x-2a.故函數(shù)f（x）在（-，-2a）上單調(diào)遞減，在（-2a，+）上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)f（x）的最小值為f（-2a），故g（a）=f（-2a）=.則由得，所以g（a）在（-，0）上的極值點是.剖析上述解法有兩點錯誤，一是忽視了函數(shù)的定義域是（0，+），所以單調(diào)區(qū)間求解錯誤；二是將的點直接說成極值點，即沒有對它們是否為極值點進行判斷.可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0，但是導數(shù)為0的點不一定就是極值點，必須要判斷其左右的單調(diào)性才能得出是否為極值點.例如函數(shù)的導數(shù)為0的點是x=0，但其不是極值點.5、 “函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)”與“函數(shù)的增（減）區(qū)間是區(qū)間D”混淆致誤例5.若函數(shù)的減區(qū)間是（0，2），則實數(shù)m的取值范圍是 .【錯解】 因為函數(shù)的減區(qū)間是（0，2），所以函數(shù)對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故m3.六、對函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清致誤例6.函數(shù)在區(qū)間（-，+）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍?！惧e解】函數(shù)f（x）的導數(shù)，由題意可知在（-，+）上恒成立，所以，解得，所以a的取值范圍是七、忽視函數(shù)的變化趨勢致誤例7.已知方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.【錯解】原題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與y=a的交點問題，因為當時得，又因為的定義域是（0，+），所以當時，在（0，e）上單調(diào)遞增；當時，在（e，+）上單調(diào)遞減，綜上所述，f（x）在x=e處取得極大值也是最大值，所以當時函數(shù)與y=a有兩個交點，即方程有兩個實數(shù)解。能力提升篇二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)是函數(shù)中最基本最簡單的函數(shù)之一，同時也是其他數(shù)學知識的載體.二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問題是初中二次函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)，隨著區(qū)間的確定或變化，以及系數(shù)中參變數(shù)的變化，使其成為高中數(shù)學的熱點.一、定對稱軸定區(qū)間例1.已知，函數(shù)的最大值和最小值分別是 和 。評注：該題二次函數(shù)的系數(shù)是常數(shù)，給出的區(qū)間也是固定的，對于這類最值問題只要結(jié)合函數(shù)的圖像就能迅速求解。二、動對稱軸定區(qū)間例2.已知，若時，f（x）0恒成立，求a的取值范圍.評注：本題是恒成立問題，但是命題的意圖就是要求當時f（x）的最小值非負.先利用配方法確定拋物線的頂點坐標，然后對對稱軸與區(qū)間的位置進行討論，借助于二次函數(shù)的單調(diào)性解題.這是常用的基本方法之一三、定對稱軸動區(qū)間例3.已知函數(shù)時，求函數(shù)f（x）的最小值.評注：所求二次函數(shù)解析式固定，對稱軸是確定的，區(qū)間變動，可考慮區(qū)間在變動過程中，二次函數(shù)的單調(diào)性，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，主要看區(qū)間是落在二次函數(shù)的哪一個單調(diào)區(qū)間上。四、動對稱軸動區(qū)間例4.已知，且當xa時，的最小值為4，求參數(shù)a的值.評注：本題經(jīng)過化簡后我們可以發(fā)現(xiàn)，拋物線的對稱軸和區(qū)間都是動的，但是函數(shù)的開口是確定的，只要討論對稱軸與區(qū)間的相對位置就能得出最小值，從而解出a的值。函數(shù)單調(diào)性在解題中的應用函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，本講通過一些實例挖掘函數(shù)單調(diào)性在解題中的功能，增強同學們分析問題和解決問題的能力.