線段的垂直平分線與角平分線及練習

線段的垂直平分線與角平分線知識點一：線段垂直平分線的性質（1）垂直平分線性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等. 定理的數(shù)學表示：如圖1，已知直線m與線段AB垂直相交于點D，且ADBD，若點C在直線m上，則ACBC.定理的作用：證明兩條線段相等（2）線段關于它的垂直平分線對稱.知識點二：線段垂直平分線性質定理的逆定理線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上. 定理的數(shù)學表示：如圖2，已知直線m與線段AB垂直相交于點D，且ADBD，若ACBC，則點C在直線m上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.知識點三、關于三角形三邊垂直平分線的定理（1）關于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖3，若直線分別是ABC三邊AB、BC、CA的垂直平分線，則直線相交于一點O，且OAOBOC.定理的作用：證明三角形內的線段相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.反之，三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內部，則該三角形是銳角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.例1、如圖1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm例2、如圖，1）AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果EBC的周長是24cm，那么BC= 2) 如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果BC=8cm，那么EBC的周長是 3） 如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果A=28 度， 那么EBC是 例3、已知：在ABC中，D是AB上的點， AB=AC，DB=DC，E是AD上一點，求證：BE=CE。例4、已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC 求證：點O在BC的垂直平分線NA OCB知識點四：角平分線的性質 角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)學表示：如圖，已知OE是AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點，若CFOA于點C，DFOB于點D，則CFDF. 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；注：角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.知識點五、角平分線性質定理的逆定理：角平分線性質定理的逆定理：在角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上. 定理的數(shù)學表示：如圖5，已知點P在AOB的內部，且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD，則點P在AOB的平分線上. 定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線 知識點六、關于三角形三條角平分線的定理：（1）關于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖6，如果AP、BQ、CR分別是ABC的內角BAC、ABC、ACB的平分線，那么： AP、BQ、CR相交于一點I； 若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F，則DIEIFI. 定理的作用：用于證明三角形內的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關系：三角形三個內角角平分線的交點一定在三角形的內部.知識點七、關于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線； （2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關的簡單綜合問題的圖形.例1、已知：如圖，點B、C在A的兩邊上，且AB=AC，P為A內一點，PB=PC， PEA