2016年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)文科模擬試卷(5月)含答案解析

第 1 頁（共 23 頁） 2016 年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 5 月份） 一、選擇題 1設(shè)集合 A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8，則集合 AB 中的元素共有（ ） A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2），若 ，則 + 等于（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 3， 1） D（ 3， 1） 3在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) 6+5i、 2+3i 對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A、 B，若復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點(diǎn) C 為線段 的值為（ ） A 61 B 13 C 20 D 10 4從 1， 2， 3， 4， 5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 a，從 1， 2， 3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 b，則 ba 的概率是（ ） A B C D 5如圖是將二進(jìn)制 111111（ 2） 化成十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖，判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A i 6 B i 6 C i 5 D i 5 6九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題： “今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問各得幾何 ”其意思為 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？ ”（ “錢 ”是古代的一種重量單位）這個(gè)問題中，甲所得為（ ） A 錢 B 錢 C 錢 D 錢 7若圓 x2+y2+與圓 x2+ax+都關(guān)于直線 2x y 1=0對稱，則 ） A B C D 8某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng) 大時(shí)，該幾何體的體積為（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 第 2 頁（共 23 頁） 9設(shè)偶函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示， 0， ，則 f（ ）的值為（ ） A B C D 10已知 f（ x） =x， g（ x） =x+1，命題 p： x R， f（ x） 0，命題 q： （ 0，+），使得 g（ =0，則下列說法正確的是（ ） A p 是真命題， p： R， f（ 0 B p 是假命題， p： R， f（ 0 C q 是真命題， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 D q 是假命題， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 11如圖，已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左右焦點(diǎn)分別為 |4， y 軸交于點(diǎn) A， 內(nèi)切圓在邊 的切點(diǎn)為 Q，若|1，則雙曲線的離心率是（ ） A 3 B 2 C D 12定義在區(qū)間（ 0， +）上的函數(shù) f（ x）使不等式 2f（ x） x） 3f（ x）恒成立，其中 f（ x）為 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，則（ ） A 8 16 B 4 8 C 3 4 D 2 3 二、填空題 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 ，則 z= x y 的最大值是 _ 14在 ，角 A， B， C 對應(yīng)的邊分別是 a， b， c，其中 A=120， b=1， 面積 S= ，則 =_ 第 3 頁（共 23 頁） 15已知在三棱錐 P ， ， ， ， 平面 平面 么三棱錐 P 接球的半徑為 _ 16已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =x+1）給出下列命題： 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =1 x） 函數(shù) f（ x）有 2 個(gè)零點(diǎn) f（ x） 0 的解集為（ 1， 0） （ 1， +） R，都有 |f（ f（ | 2 其中正確的命題是 _ 三、解答題 17已知數(shù)列 首項(xiàng) ， = ， n=1， 2， 3， （ ）證明：數(shù)列 1是等比數(shù)列； （ ）求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 18在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào) 類志向的考生全部參加了 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”和 “閱讀與表達(dá) ”兩個(gè)科目的考試，成績分為 A， B， C， D， E 五個(gè)等級(jí)某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的成績?yōu)?B 的考生有 10 人 （ ）求該考場考生中 “閱讀與表達(dá) ”科目中成績?yōu)?A 的人數(shù)； （ ）若等級(jí) A， B， C， D， E 分別對應(yīng) 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求該考場考生 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的平均分； （ ）已知 參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為 A在至少一科成績?yōu)?機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績均為 A 的概率 19如圖所示，在三棱柱 ， 平面 M 是棱 中點(diǎn) 第 4 頁（共 23 頁） （ 1）在棱 是否存在一點(diǎn) N，使 平面 存在，請確定點(diǎn) N 的位置；若不存在，請說明理由； （ 2）當(dāng) 等邊三角形，且 時(shí)，求點(diǎn) M 到平面 距離 20已知兩點(diǎn) A（ 2， 0）， B（ 2， 0），直線 交于點(diǎn) M，且這兩條直線的斜率之積為 （ 1）求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ 2）記點(diǎn) M 的軌跡為曲線 C，曲線 C 上在第一象限的點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 1，過點(diǎn) P 且斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線 C 于 Q， R，求 面積的最大值（其中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 21已知函數(shù) f（ x） =x2+a R （ 1）若函數(shù) f（ x）在其定義域上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍； （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)，函數(shù) g（ x） = x 在區(qū)間 t， +）（ t N*）上存在極值，求 t 的最大值 （參考數(shù)值：自然對數(shù)的底數(shù) e 選修 4何證明選講 22幾何證明選講如圖，已知 圓 O 的直徑，直線 圓 O 相切于點(diǎn) A，直線 C 垂直并相交于點(diǎn) G，與弧 相交于 M，連接 0， 2 （ 1）求證： C=D； （ 2）求 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程選講 23選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第 5 頁（共 23 頁） 已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 =2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角 坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)） （ ）寫出直線 l 與曲線 C 的直角坐標(biāo)系下的方程； （ ）設(shè)曲線 C 經(jīng)過伸縮變換 得到曲線 C設(shè)曲線 C上任一點(diǎn)為 M（ x， y），求的取值范圍 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x+1|+|x 2| m） （ 1）當(dāng) m=5 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）若關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 1 的解集是 R，求 m 的取值范圍 第 6 頁（共 23 頁） 2016 年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 5 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1設(shè)集合 A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8，則集合 AB 中的元素共有（ ） A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 由 A 與 B，求出兩集合的交集，即可作出判斷 【解答】 解： A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8， AB=4， 7， 則集合 AB 中的元素共有 2 個(gè)， 故選： B 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2），若 ，則 + 等于（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 3， 1） D（ 3， 1） 【考點(diǎn)】 平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【分析】 根據(jù)題意，由向量平行的判斷方法，可得 2x 2=0，解可得 x 的值，即可得 的坐標(biāo)，由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算方法，可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2）， 若 ，則有 1x=2（ 2）， 即 x= 4，即 =（ 4， 2）， 則 + =（ 2， 1）， 故選 A 3在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) 6+5i、 2+3i 對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A、 B，若復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點(diǎn) C 為線段 的值為（ ） A 61 B 13 C 20 D 10 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 根據(jù) z 是 A、 B 的中點(diǎn)，由復(fù)平面內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 z，則 可求，代入 可求 的值 【解答】 解：因?yàn)閺?fù)數(shù) 6+5i、 2+3i 對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A、 B，且若復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點(diǎn) C 為線段中點(diǎn)， 所以 z= ，所以 ，所以故選 C 4從 1， 2， 3， 4， 5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 a，從 1， 2， 3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 b，則 ba 的概率是（ ） A B C D 第 7 頁（共 23 頁） 【考點(diǎn)】 等可能事件的概率 【分析 】 由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有 53 種結(jié)果，而滿足條件的事件是 a=1， b=2； a=1， b=3； a=2， b=3 共有 3 種結(jié)果 【解答】 解：由題意知本題是一個(gè)古典概型， 試驗(yàn)包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有 5 3 種結(jié)果， 而滿足條件的事件是 a=1， b=2； a=1， b=3； a=2， b=3 共有 3 種結(jié)果， 由古典概型公式得到 P= = ， 故選 D 5如圖是將 二進(jìn)制 111111（ 2） 化成十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖，判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A i 6 B i 6 C i 5 D i 5 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖程序要要循環(huán) 5 次，根據(jù)循環(huán)變量的初值為 1，步長為 1，故循環(huán)變量的終值為 5，由滿足條件時(shí)退出循環(huán)，分析四個(gè)答案，即可得到結(jié)論 【解答】 解：由已知中程序的功能是將二進(jìn)制數(shù) 111111（ 2） 化為十進(jìn)制數(shù)， 結(jié)合循環(huán)體中 S=1+2S，及二進(jìn)制數(shù) 111111（ 2） 共有 6 位， 可得循環(huán) 體要重復(fù)執(zhí)行 5 次， 又由于循環(huán)變量初值為 1，步長為 1，故循環(huán)終值為 5， 即 i 5 時(shí)，繼續(xù)循環(huán)， i 5 時(shí)，退出循環(huán)， 故選： C 6九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題： “今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問各得幾何 ”其意思為 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？ ”（ “錢 ”是古代的一種重量單位）這個(gè)問題中，甲所得為（ ） A 錢 B 錢 C 錢 D 錢 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為 a 2d， a d， a， a+d， a+2d，由題意求得 a= 6d，結(jié)合 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1，則答案可求 【解答】 解：依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為 a 2d， a d， a， a+d， a+2d， 則由題意可知 ， a 2d+a d=a+a+d+a+2d，即 a= 6d， 又 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5， a=1， 則 a 2d=a 2 = 第 8 頁（共 23 頁） 故選： B 7若圓 x2+y2+與圓 x2+ax+都關(guān)于直線 2x y 1=0對稱，則 ） A B C D 【考點(diǎn)】 圓與圓的位置關(guān)系及其判定 【分析】 求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，得到圓心在直線上，得到 2，利用 1的代換進(jìn)行求解即可 【解答】 解：圓 x2+y2+ 的圓心坐標(biāo)為（ ， 0），圓 x2+ax+ 的圓心坐標(biāo)為（ a， ）， 兩圓都關(guān)于直線 2x y 1=0 對稱， 圓心都在方程為 2x y 1=0 的直線上， 則 2 1=0，得 a= 1， 2a+ 1=0，即 2+ 1=0 則 = 1，即 2， 則 = = = = ， 故選： C 8某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng) 大時(shí)，該幾何體的體積為（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 三視圖復(fù)原幾何體是長方體的一個(gè)角，利用勾股定理，基本不等式，確定 大時(shí) 值，代入棱錐的體積公式計(jì)算可得 【解答】 解：由三視圖得幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖： 7=25 x2+2， 2x2+2， 16，當(dāng) x=y=4 時(shí)，取 “=”， 此時(shí)， ，幾何體的體積 V= 3 4 =2 故選： A 第 9 頁（共 23 頁） 9設(shè)偶函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示， 0， ，則 f（ ）的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用等腰直角三角形求出 A，由周期求出 ，由函數(shù)的奇偶性求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用兩角差的余弦公式，求得 f（ ）的值 【解答】 解：由題意可得 =， =， = ， A= ， f（ x） = x+） 再結(jié)合 f（ x）為偶函數(shù)，以及 所給的圖象，可得 = ， f（ x） = x） 則 f（ ） = ） = ） = = + = ， 故選： B 10已知 f（ x） =x， g（ x） =x+1，命題 p： x R， f（ x） 0，命題 q： （ 0，+），使得 g（ =0，則下列說法正確的是（ ） A p 是真命題， p： R， f（ 0 B p 是假命題， p： R， f（ 0 C q 是真命題， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 D q 是假命題， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 【考點(diǎn)】 全稱命題；特稱命題 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù) 零點(diǎn)存在條件分別判斷命題 p， q 的真假，結(jié)合含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： f（ x） =1，由 f（ x） 0 得 x 0，由 f（ x） 0 得 x 0， 第 10 頁（共 23 頁） 即當(dāng) x=0 時(shí)，函數(shù) f（ x）取得極小值，同時(shí)也是最小值 f（ 0） =0=1 0=1 0， x R， f（ x） 0 成立，即 p 是真命題 g（ x） =x+1 在（ 0， +）上為增函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)， g（ x） 0， g（ 1） =0+1+1=2 0， 則： （ 0， +），使得 g（ =0 成立，即命題 q 是真命題 則 p： R， f（ 0， q： x （ 0， +）， g（ x） 0， 綜上只有 C 成立， 故選： C 11如圖，已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左右焦點(diǎn)分別為 |4， y 軸交于點(diǎn) A， 內(nèi)切圓在邊 的切點(diǎn)為 Q，若|1，則雙曲線的離心率是（ ） A 3 B 2 C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由 |1， 內(nèi)切圓在邊 的切點(diǎn)為 Q，根據(jù)切線長定理，可得 | |2，結(jié)合 |4，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意， |1， 內(nèi)切圓在邊 的切點(diǎn)為 Q， 根據(jù)切線長定理可得 N， 1Q， Q， | 1M=N+ N+Q+ | |Q 1M+Q+Q ， |4， 雙曲線的離心率是 e= =2 故選： B 第 11 頁（共 23 頁） 12定義在區(qū)間（ 0， +）上的函數(shù) f（ x）使不等式 2f（ x） x） 3f（ x）恒成立，其中 f（ x）為 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，則（ ） A 8 16 B 4 8 C 3 4 D 2 3 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 令 g（ x） =g（ x） = ， h（ x） = ，求出 g（ x）， h（ x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（ x）， h（ x）的單調(diào)性，可得 g（ 2） g（ 1）， h（ 2） h（ 1），由 f（ 1） 0，即可得到4 8 【解答】 解：令 g（ x） = ， 則 g（ x） = = ， x） 3f（ x），即 x） 3f（ x） 0， g（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， 即有 g（ x）在（ 0， +）遞減，可得 g（ 2） g（ 1），即 ， 由 2f（ x） 3f（ x），可得 f（ x） 0，則 8； 令 h（ x） = ， h（ x） = = ， x） 2f（ x），即 x） 2f（ x） 0， h（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， 即有 h（ x）在（ 0， +）遞增，可得 h（ 2） h（ 1），即 f（ 1），則 4 即有 4 8 故選： B 二、填空題 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 ，則 z= x y 的最大值是 1 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行平移即可得到結(jié)論 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域， 第 12 頁（共 23 頁） 由 z= x y 得 y= x z， 平移直線 y= x z， 由圖象知當(dāng)直線 y= x z 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，直線的截距最小，此時(shí) z 最大， 由 得 ，即 A（ 2， 0）， 此時(shí) z= 2 0=1， 故答案為： 1 14在 ，角 A， B， C 對應(yīng)的邊分別是 a， b， c，其中 A=120， b=1， 面積 S= ，則 = 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 由條件和三角形的面積公式列出方程求出 c 的值，由余弦定理求出 a 的值，由正弦定理和分式的性質(zhì)求出 的值 【解答】 解：在 ， A=120， b=1， 面積 S= ， ，解得 c=4， 由余弦定理得， a2=b2+21+16 2 =21，則 a= ， 由正弦定理得， = = = ， 故答案為： 15已知在三棱錐 P ， ， ， ， 平面 平面 么三棱錐 P 接球的半徑為 2 第 13 頁（共 23 頁） 【考點(diǎn)】 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積 【分析】 利用等體積轉(zhuǎn)換，求出 得 中點(diǎn)為球心，球的半徑 【解答】 解：由題意，設(shè) x，則 ， 等腰直角三角形， 上的高為 x， 平面 平面 A 到平面 距離為 x， ， PB=x， x， S = ， A x= ， x=2， 中點(diǎn)為球心，球的半徑為 2 故答案為： 2 16已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =x+1）給出下列命題： 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =1 x） 函數(shù) f（ x）有 2 個(gè)零點(diǎn) f（ x） 0 的解集為（ 1， 0） （ 1， +） R，都有 |f（ f（ | 2 其中正確的命題是 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 通過函數(shù)的奇偶性的定義求出函數(shù)的解析式，判斷 的正誤；通過分析出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷 的正誤；直接求解不等式的解集判斷 的正誤；求出函數(shù)的最值判斷 的正誤 【解答】 解：設(shè) x 0，則 x 0，故 f（ x） =e x（ x+1） = f（ x）， f（ x） =e x（ x 1），故 錯(cuò)； f（ x）定義在 R 上的奇函數(shù)， f（ 0） =0，又 x 0 時(shí)， f（ 1） =0， 第 14 頁（共 23 頁） x 0 時(shí)， f（ 1） =0，故 f（ x）有 3 個(gè)零點(diǎn)， 錯(cuò)； 當(dāng) x 0 時(shí)，令 f（ x） =x+1） 0，解得 1 x 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，令 f（ x） =e x（ x 1） 0 解得 x 1，綜上 f（ x） 0 的解集為（ 1， 0） （ 1， +）， 正確； 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =x+2）， f（ x）在 x= 2 處取最小值為 ， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =e x（ x+2）， f（ x）在 x=2 處取最大值為 ， 由此可知函數(shù) f（ x）在定義域上的最小值為 ，最大值為 ，而 = 2， R，都有 |f（ f（ | 2， 正確 故答案為： 三、解答題 17已知數(shù)列 首項(xiàng) ， = ， n=1， 2， 3， （ ）證明：數(shù)列 1是等比數(shù)列； （ ）求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定 【分析】 （ ）由 = ，可得 ，即可證明數(shù)列 1是等比數(shù)列； （ ）分組，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 【解答】 （ ）證明： ， ， ， 又 ， ， 數(shù)列 是以為 首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列 （ ）解：由（ ）知 1= ，即 ， 設(shè) ， 第 15 頁（共 23 頁） 則 ， 由 得 ， 又 1+2+3+ ， 數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 18在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào) 類志向的考生全部參加了 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”和 “閱 讀與表達(dá) ”兩個(gè)科目的考試，成績分為 A， B， C， D， E 五個(gè)等級(jí)某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的成績?yōu)?B 的考生有 10 人 （ ）求該考場考生中 “閱讀與表達(dá) ”科目中成績?yōu)?A 的人數(shù)； （ ）若等級(jí) A， B， C， D， E 分別對應(yīng) 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求該考場考生 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的平均分； （ ）已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為 A在至少一科成績?yōu)?機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績均 為 A 的概率 【考點(diǎn)】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 （ ）根據(jù) “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目中成績等級(jí)為 B 的考生人數(shù)，結(jié)合樣本容量 =頻數(shù) 頻率得出該考場考生人數(shù)，再利用頻率和為 1 求出等級(jí)為 A 的頻率，從而得到該考場考生中 “閱讀與表達(dá) ”科目中成績等級(jí)為 A 的人數(shù) （ ）利用平均數(shù)公式即可計(jì)算該考場考生 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的平均分 （ ）通過列舉的方法計(jì)算出選出的 2 人所有可能的情況及這兩人的兩科成績等級(jí)均為 用古典概型概率公式求出隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績等級(jí)均為 【解答】 解：（ ）因?yàn)?“數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目中成績等級(jí)為 B 的考生有 10 人， 所以該考場有 10 0 人， 所以該考場考生中 “閱讀與表達(dá) ”科目中成績等級(jí)為 A 的人數(shù)為： 40 （ 1 =40 人； 第 16 頁（共 23 頁） （ ）該考場考生 “數(shù)學(xué)與邏輯 ”科目的平均分為： 1 （ 40 +2 （ 40 +3 （ 40 +4 （ 40 +5 （ 40 = （ ）因?yàn)閮?科考試中，共有 6 人得分等級(jí)為 A，又恰有兩人的兩科成績等級(jí)均為 A， 所以還有 2 人只有一個(gè)科目得分為 A， 設(shè)這四人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績都是 A 的同學(xué)， 則在至少一科成績等級(jí)為 A 的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，基本事件空間為： =甲，乙 ， 甲，丙 ， 甲，丁 ， 乙，丙 ， 乙，丁 ， 丙，丁 ，一共有 6 個(gè)基本事件 設(shè) “隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績等級(jí)均為 A”為事件 B，所以事件 B 中包含的基本事件有 1 個(gè)， 則 P（ B） = 19如圖所示，在三棱柱 ， 平面 M 是棱 中點(diǎn) （ 1）在棱 是否存在一點(diǎn) N，使 平面 存在，請確定點(diǎn) N 的位置；若不存在，請說明理由； （ 2）當(dāng) 等邊三角形，且 時(shí)，求點(diǎn) M 到平面 距離 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）在棱 在一點(diǎn) N，使 平面 N 為線段 中點(diǎn)下面給出證明：分別取線段 中點(diǎn) N， P連接 用三角形中位線定理可得： 得 利用線面面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可證明 （ 2）先求點(diǎn) A 到平面 距離 h，則點(diǎn) M 到平面 距離是 由 等邊三角形，且 ，可得點(diǎn) A 到平面 距離 d= 利用= ，即可得出 【解答】 解：（ 1）在棱 在一點(diǎn) N，使 平面 N 為線段 中點(diǎn)下面給出證明： 分別取線段 中點(diǎn) N， P連接 又點(diǎn) M 是棱 中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得： 得 又 面 面 平面 同理可證 平面 M=P 第 17 頁（共 23 頁） 平面 （ 2）先求點(diǎn) A 到平面 距離 h，則點(diǎn) M 到平面 距離是 等邊三角形，且 ， 點(diǎn) A 到平面 距離 d= . = =2 =2 = = = ， = ， h= = = 點(diǎn) M 到平面 距離為 20已知兩點(diǎn) A（ 2， 0）， B（ 2， 0），直線 交于點(diǎn) M，且這兩條直線的斜率之積為 （ 1）求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ 2）記點(diǎn) M 的軌跡為曲線 C，曲線 C 上在第一 象限的點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 1，過點(diǎn) P 且斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線 C 于 Q， R，求 面積的最大值（其中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程 【分析】 （ 1）設(shè)點(diǎn) M（ x， y），通過 ，即可求出所在的曲線 C 的方程 （ 2）求出 ，設(shè)直線 方程，與橢圓方程聯(lián)立消去 y，通過 x=1 是方程的一個(gè)解，求出方程的另一解，求出直線 斜率，把直線 方程 代入橢圓方程，求出 |點(diǎn) O 到直線 距離，表示出面積 S 解最值 【解答】 解：（ 1）設(shè)點(diǎn) M（ x， y）， 第 18 頁（共 23 頁） ， ， 整理得點(diǎn)所在的曲線 C 的方程： （ 2）由題意可得點(diǎn) ， 直線 直線 斜率互為相反數(shù)， 設(shè)直線 方程為 ， 與橢圓方程聯(lián)立消去 y，得：（ 4） 12k 8x+（ 412k 3） =0， 由于 x=1 是方程的一個(gè)解， 所以方程的另一解為 ，同理 ， 故直線 斜率為， 把直線 方程 代入橢圓方程，消去 y 整理得 x2+bx+3=0， 所以 | = 原點(diǎn) O 到直線 距離為 ， S = = 21已知函 數(shù) f（ x） =x2+a R （ 1）若函數(shù) f（ x）在其定義域上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍； （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)，函數(shù) g（ x） = x 在區(qū)間 t， +）（ t N*）上存在極值，求 t 的最大值 （參考數(shù)值：自然對數(shù)的底數(shù) e 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）函數(shù) f（ x）在其定義域上為增函數(shù) f（ x） 0，即 對 x （ 0， +）都成立通過 分離參數(shù) a，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出 第 19 頁（共 23 頁） （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)， g（ x） = . 由于函數(shù) g（ x）在 t， +）（ t N*）上存在極值，可知：方程 g（ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， 即方程 在 t， +）（ t N*）上有解再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)即可 【解答】 解：（ 1）：函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +）， f（ x） =x2+ 函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增， f（ x） 0，即 對 x （ 0， +）都成立 對 x （ 0， +）都成立 當(dāng) x 0 時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)， 取等號(hào) ，即 a 的取值范圍為 （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)， 函數(shù) g（ x）在 t， +）（ t N*）上存在極值， 方程 g（ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， 即方程 在 t， +）（ t N*）上有解 令 （ x 0）， 由于 x 0，則 ， 函數(shù) （ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞減 ， ， 函數(shù) （ x）的零點(diǎn) （ 3， 4） 方程 （ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， t N* t 3 t N*， t 的最大值為 3 選修 4何證明選講 第 20 頁（共 23 頁） 22幾何證明選講如圖，已知 圓 O 的直徑，直線 圓 O 相切于點(diǎn) A，直線 C 垂直并相交于點(diǎn) G，與弧 相交于 M，連接 0， 2 （ 1）求證： C=D； （ 2）求 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ 1）根據(jù) 圓 O 的直徑，得到 似，從而得到 ，又 G，所以 ，從而得到證明； （ 2）根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系求得 根據(jù)直角三角形的相似及切割線定理求解即可 【解答】 （ 1）證明：因?yàn)?以 0 又