女子體操隊(duì)最佳出場陣容問題

女子體操隊(duì)最佳出場陣容問題摘要本文旨在解決一個(gè)女子體操隊(duì)最佳出場陣容問題，目的是通過對運(yùn)動員以往各項(xiàng)目得分及概率分布進(jìn)行分析，在滿足參賽規(guī)則的條件下，排出一個(gè)出場陣容，使該隊(duì)取得最好的成績。我們想到這是一個(gè)實(shí)際優(yōu)化問題中的分派問題，于是我們用01變量表示一個(gè)運(yùn)動員是否參加比賽，從而建立了問題的01規(guī)劃模型。通過已給出的數(shù)據(jù)，借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行求解，分別給出了每個(gè)選手的各項(xiàng)得分按照最悲觀估算和按照均值估算的前提下的最佳出場陣容。我們靈活地通過改變問題的約束條件與目標(biāo)函數(shù)，建立了要取得冠軍（就是總分大于2362）且概率最大的模型。在模型無解的情況下，我們從新分析了問題，給出了一個(gè)奪冠出場陣容。在求解模型中，我們分析了預(yù)測誤差對決策結(jié)果的影響，即模型的靈敏度分析。由隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望定理，我們得到以該陣容出戰(zhàn)的得分期望。我們并估算了以該陣容出戰(zhàn)有90的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對手。為了讓決策更直觀，在本文中給出了各類數(shù)據(jù)與出場陣容的圖表。關(guān)鍵詞01線性規(guī)劃MATLAB得分期望一問題重述有一場由四個(gè)項(xiàng)目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團(tuán)體賽，賽程規(guī)定每個(gè)隊(duì)至多允許10名運(yùn)動員參賽，每一個(gè)項(xiàng)目可以有6名選手參加。每個(gè)選手參賽的成績評分從高到低依次為10；99；98；01；0。每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊(duì)為優(yōu)勝者。此外，還規(guī)定每個(gè)運(yùn)動員只能參加全能比賽（四項(xiàng)全參加）與單項(xiàng)比賽這兩類中的一類，參加單項(xiàng)比賽的每個(gè)運(yùn)動員至多只能參加三項(xiàng)單項(xiàng)。每個(gè)隊(duì)?wèi)?yīng)有4人參加全能比賽，其余運(yùn)動員參加單項(xiàng)比賽。問題1每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最悲觀估算，在此前提下，請為該隊(duì)排出一個(gè)出場陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高；個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按均值估算，在此前提下，為該隊(duì)排出一個(gè)出場陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高。問題2對以往的資料及近期各種信息進(jìn)行分析得到本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于2362分，該隊(duì)奪冠應(yīng)排出怎樣的陣容以該陣容出戰(zhàn)，其奪冠前景如何得分前景（即期望值）又如何它有90的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對手這是一個(gè)通過搭配選擇運(yùn)動員來達(dá)到比賽時(shí)獲得最佳的戰(zhàn)績的問題。題目給出了運(yùn)動員各項(xiàng)目得分及概率分布表見附錄。二模型假設(shè)1、單項(xiàng)比賽中，每個(gè)隊(duì)員至多參加3個(gè)項(xiàng)目；2、每一個(gè)項(xiàng)目有6名選手參加,參加全能比賽的有4名選手占用4個(gè)名額。三符號說明1其取值只能是1或0，并令1表示第I名運(yùn)動員參加了全能比賽，反之IXIX0；I2其取值只能是1或0，并令1表示第J名運(yùn)動員參加了編號為K的單項(xiàng)比JKYJKY賽，反之0；JKY3表示第I名運(yùn)動員參加了全能比賽的成績；IA4表示第J名運(yùn)動員參加了編號為K的單項(xiàng)比賽成績；JKC5表示第I名參加了全能比賽的最好成績；IB6表示第J名運(yùn)動員參加第K項(xiàng)單項(xiàng)比賽的最好成績；JKD四問題分析問題中，賽程規(guī)定每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，每個(gè)隊(duì)至多允許10個(gè)隊(duì)員參賽，為了使團(tuán)隊(duì)總分盡可能高，則10名運(yùn)動員應(yīng)全部參加比賽。而每個(gè)項(xiàng)目可以有六個(gè)隊(duì)員參加，也就是說每個(gè)單項(xiàng)最多只能有六個(gè)隊(duì)員參加（包括全能隊(duì)員與參加單個(gè)項(xiàng)目的隊(duì)員）。每個(gè)團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)該有四個(gè)人參加全能項(xiàng)目，其余的參加單項(xiàng)比賽每個(gè)運(yùn)動員只能參加單項(xiàng)比賽與全能比賽中的一類；參加單項(xiàng)比賽的運(yùn)動員最多只能參加3個(gè)單項(xiàng)。這兩條就是說參加全能與單項(xiàng)的運(yùn)動員不允許出現(xiàn)沖突。這是一個(gè)優(yōu)化問題，我們要在滿足上述條件的情況下1規(guī)定每個(gè)隊(duì)員的得分按照最悲觀（即項(xiàng)目得分最低值）估算，為了達(dá)到總分最高的要求，我們該建立一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)模型，為該隊(duì)排出一個(gè)最佳陣容；2規(guī)定每個(gè)隊(duì)員的得分按照均值估算，為了達(dá)到總分最高的要求，我們該建立一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)模型，為該隊(duì)排出一個(gè)最佳陣容；3規(guī)定本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于2362分，為了使該隊(duì)奪冠，我們該排出怎么樣的陣容，并計(jì)算以該陣容出戰(zhàn)的奪冠前景和得分期望，最后分析它有90的把握戰(zhàn)勝怎么樣水平的對手。五模型的建立和求解通過對問題的分析，這是一個(gè)實(shí)際優(yōu)化問題中的分派問題，我們建立01線性規(guī)劃模型。（1）要有4名運(yùn)動員參加全能比賽，應(yīng)有410IIX2每一個(gè)比賽項(xiàng)目要有6名選手參加，參加全能比賽的有4名選手占用4個(gè)名額，則有10YJJK2K1,2,3,4（3）參加單項(xiàng)比賽項(xiàng)目的運(yùn)動員最多只能參加3項(xiàng)單項(xiàng)項(xiàng)目，則J1,2,103Y41KJK（4）每個(gè)運(yùn)動員只能參加全能比賽或者單項(xiàng)比賽中的一類，則IJ1,2,10K1,2,3,41JKIYX當(dāng)?shù)贘名運(yùn)動員參加第K項(xiàng)單項(xiàng)比賽時(shí)，其成績?yōu)閱T成績?yōu)?當(dāng)?shù)贗運(yùn)動員參JKCY加全能比賽時(shí)，其成績?yōu)?，于是全?duì)總分可以表示為IAZJKCYIX這就是問題的目標(biāo)函數(shù)。問題一我們針對問題一的最佳陣容的最優(yōu)組合問題建立下列01線性規(guī)劃模型模型一1MAXZ（41K0J1IJKCYIAXSTJ1,2,103Y41KJIJ1,2,10，K1,2,3,4JKIX410II10YJJK2K1,2,3,4,I1,2,10，J1,2,10，K1,，4IX01，JKY01，基于問題一的解，我們給出運(yùn)動員各項(xiàng)目最悲觀得分分布表表一運(yùn)動員各項(xiàng)目最悲觀得分分布表123456789101（高低杠）849384818494958484902（平衡術(shù)）848481879087848884813（跳馬）918484908385838784824（自由操）878995849484848293915（全能）34635344342351350346341345344由表一的數(shù)據(jù)，我們借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB對01線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解（程序命令見附錄2），由屏幕最后顯示結(jié)果得，其他1X96X520，Y71Y101Y42Y82Y13Y43Y34Y1041其他0，Z2123IXJKY表二最悲觀條件下團(tuán)體總分為2123的最佳陣容分配表123456789101高低杠01001110112（平衡木）01011101103（跳馬）11011100104（自由操）01101100111代表參加比賽。由均值（即數(shù)學(xué)期望）的定義，從附錄1，我們得到各運(yùn)動員各單項(xiàng)得分期望，如下表三表三各運(yùn)動員各單項(xiàng)得分均值123456789101（高低杠）9969919979899942（平衡術(shù)）999191949199892913（跳馬）959995898989919924（自由操）9193989979929397955（全能）36636936936737367369372369372由上表的數(shù)據(jù)，借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB對01線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解（程序命令見附錄2），由屏幕最后顯示結(jié)果得X2X8X9X101，其他0,IXY61Y71Y42Y52Y13Y43Y34Y541,其他0，JKYZ2247表四按均值估算下團(tuán)體總分為2247分的最佳陣容分配表123456789101高低杠01000111112（平衡木）01011001113（跳馬）11010001114（自由操）01101001111代表參加比賽。問題二我們分析了每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按均值估算為該隊(duì)排出的最佳陣容，該隊(duì)團(tuán)體總分最高為2247分而對以往的資料及近期的各種信息分析，得到本次奪冠總分估計(jì)為不少于2362分，且這次女子體操團(tuán)體賽的總分為240分。經(jīng)分析，我們決定每個(gè)運(yùn)動員得分按最樂觀估算，再次前提下，我們?yōu)樵撽?duì)排出一個(gè)出場陣容，使該團(tuán)隊(duì)在能奪冠的前提下，其概率最大，即期望值最大。于是，在問題一的模型中再加入一個(gè)約束條件2362410J1IKJKCJYIAX當(dāng)?shù)贘名運(yùn)動員參加第K項(xiàng)單項(xiàng)比賽時(shí)，其成績?yōu)閱T成績?yōu)?當(dāng)?shù)贗運(yùn)動員參JKDY加全能比賽時(shí)，其成績?yōu)?，于是全?duì)期望總分可以表示為IBXZIJKDY這就是問題的目標(biāo)函數(shù)。我們針對問題二的最佳陣容的最優(yōu)組合問題建立下列01線性規(guī)劃模型模型二1MAXZIBXJKDYSTJ1,2,，10341KJIJ1,2,，10，K1,2,3,41JKIYX410II10YJJK2K1,2,3,42362410J1IKJKCIAX,I1,2,，10，J1,2,，10，K1,，4IX01，JKY，對模型求解，我們先給出各運(yùn)動員參加各項(xiàng)目的得最樂觀分（見下表五）表五各運(yùn)動員參加各項(xiàng)目的得最樂觀分表123456789101（高低杠）949810959499101094972（平衡術(shù)）109495999799101098953（跳馬）981094979391939910964（自由操）999610109994989899985（全能）391388389391383383391397391386根據(jù)表五的數(shù)據(jù)，我們借助MATLAB對模型二進(jìn)行求解，由屏幕最后顯示結(jié)果得0，IX0，,I1,2,，10，J1,2,，10，K1,，4ZINFJKY由結(jié)果知，模型二無解，這說明了該隊(duì)既要奪冠，又要使其概率最大，顯然不可能同時(shí)滿足。于是，我們不考慮奪冠的概率，只考慮如何為該隊(duì)排出一個(gè)奪冠的陣容。于是，問題歸結(jié)為，每個(gè)選手的得分按最樂觀計(jì)算，在此前提下，為該隊(duì)排出一個(gè)奪冠的陣容。由表五的數(shù)據(jù)，用MATLAB求解模型一（解法如程序一），由屏幕最后顯示結(jié)果得X1X4X7X81，其他0,Y31Y61Y62Y92Y23Y93Y34Y541,其他IX0，Z2365JKY表六按最樂觀估算下團(tuán)體總分為2365分的最佳陣容分配表123456789101高低杠10110111002（平衡木）10010111103（跳馬）11010011104（自由操）10111011001代表參加比賽。下面我們給出按表六的陣容，各運(yùn)動員得分最高時(shí)的概率分布表123456789101高低杠0101010202012（平衡木）0101010104023（跳馬）0201030201014（自由操）010201020201從表中可以看出，各個(gè)參賽運(yùn)動員都有10以上的機(jī)會拿到各自最好的成績。以該陣容出戰(zhàn)，該隊(duì)奪冠的前景是蠻樂觀的。由隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望定理2兩個(gè)隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望對于它們數(shù)學(xué)期望之和。于是，該陣容的得分期望為參加隊(duì)員的得分期望之和,由參加比賽陣容和表三的數(shù)據(jù)得E2219它有90把握戰(zhàn)勝各個(gè)參賽運(yùn)動員都取得各自最好成績且其概率小于等于9的對手，對手的總分小于或等于2365。六模型的討論1由此模型可以推廣到任何指派問題，容易對約束條件和目標(biāo)函數(shù)的更改，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄繕?biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃模型。2在模型二無解的情況下，我們忽略了奪冠的穩(wěn)定性，只考慮排出陣容所得總分最高。（3）模型可以用數(shù)學(xué)軟件精確的求解。（4）MATLAB的求解不滿足線性規(guī)劃問題的解的不唯一性，約束了原問題的多種方案。七參考文獻(xiàn)1楊尚俊，數(shù)學(xué)建模簡明教程，合肥安徽大學(xué)出版社，2006年3月2劉劍平、陸元鴻，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法與概率論，上海華東理工大學(xué)出版社，2001年8月附錄一運(yùn)動員各項(xiàng)目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳馬）4（自由體操）8401584010910108701090050880209301089020920259006095060910601940101001098020990109301084015840108901095010900508802091010960609202590060930602980209401010010960208401081010840159501088020910509005097010900609303092025980603100109501094010100208101087010900108401091050890209401088020930309106095050900604950109901097030100108401590010830109401090050920108701096010592025940608906097060940109702093020990209401087010850108401596010890208701090050970609106089050920256990209901091030940109501084010830108401097010880208701088010980609006089060920607100201001093020980208401088005870108201088020920058902093050900609805091060950308100101004099010980108401584010840109301090050880108802095010920259206090060970509940109802010010990309001081010820109101092010910509205093010940609303094030950601097020950109601098020附錄二MATLAB的運(yùn)行程序A11110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000100000000000000000000000000000000000000010000000000100000000000000000000000000000000000000100000000000100000000000000000000000000000000000001000000000000100000000000000000000000000000000000010000000000000100000000000000000000000000000000000010000000000000100000000000000000000000000000000000100000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000100000000000000000000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000100000000000000000000000000000100000000000000000000100000000000000000000000000001000000；0000000000000001000000000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000001000000000000000000000000010000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000001000000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000000000000001000000000000000000010000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000010000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000001000000000000000000000000000000000001000000000000010000000000000000000000000000000000001000000000000100000000000000000000000000000000000001