考前歸納總結(jié)導(dǎo)數(shù)中的單調(diào)性問題

導(dǎo)數(shù)中的單調(diào)性問題1、常見基本問題求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要注意函數(shù)的定義域；（2）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍。例1、已知函數(shù)2LNFXAX（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍GF1,2A解（1）函數(shù)的定義域為FX0,當時,，的單調(diào)遞增區(qū)間為；0AFX0,當時2AFX當變化時，的變化情況如下,FX0A,AFX極小值由上表可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；FX0,A單調(diào)遞增區(qū)間是,A（2）由得，2LNGXAX2GX由已知為上的單調(diào)減函數(shù)，則在上恒成立，X1,01,即在上恒成立，2AX,2即在上恒成立1A,令，在上，2HX,2210HXXX在為減函數(shù)HX1,2MIN72HX2A例2已知函數(shù)FXA1LNXAX21,討論函數(shù)FX的單調(diào)性；解FX的定義域為0，,211AX當A0時，故FX在0，上單調(diào)遞增0FX當A1時，故FX在0，上單調(diào)遞減當1A0時，令，解得X，0FA12A則當時，；當時，1,2X,0FX故FX在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減0,A1,2A2、針對性練習1已知函數(shù)，設(shè)討論函數(shù)01XNFFX,RXFFX的單調(diào)性；解22110,20AXFXANXFX當時，恒有，F(xiàn)（X）在上是增函數(shù)；0F,0當時，令，得，解得；A0F21A12XA令，得，解得；FX2X0綜上，當時，F(xiàn)（X）在上是增函數(shù)；0A,當時，F(xiàn)（X）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減0A21,21A2已知函數(shù)，在處取得極值為BAF2X（1）求函數(shù)的解析式；X（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；XF,21M解（1）已知函數(shù)，BAF222BXAF又函數(shù)在處取得極值2，XF110F即4210BABA42XF（2）由，22114XXF0F得，即02所以的單調(diào)增區(qū)間為（1，1）42XF因函數(shù)在（M，2M1）上單調(diào)遞增，則有，12解得即時，函數(shù)在（M，2M1）上為增函數(shù)0M0，XF導(dǎo)數(shù)中的圖像關(guān)系問題一、常見基本題型（1）已知圖像交點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，例1已知是函數(shù)的一個極值點3X216LN10FXX1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2若直線與函數(shù)的圖像有三個交點，求的取值范圍YBYFB解1FX16LN1XX210X，X1，2431XF當X1,13，時，；0FX當X1,3時，F(xiàn)X的單調(diào)增區(qū)間是1,1，3，8；F的單調(diào)減區(qū)間是1,3，（2）由1知在1,1單調(diào)增加，在1,3單調(diào)減小，F(xiàn)X在3，上單調(diào)增加，且當X1，或X3時，F(xiàn)X0，F(xiàn)X的極大值為F116LN29，極小值為F332LN221F16162101616LN29F1，F(xiàn)E2132X21F3，在FX的三個單調(diào)區(qū)間1,1，1,3，3，直線YB與YFX的圖像各有一個交點，即F3BF1B的取值范圍為32LN221,16LN29例2已知函數(shù)1LN2RAAXF（1）當時，求函數(shù)的最值；AXF（2）說明是否存在實數(shù)使的圖象與無公共點XFY2LN85Y解（1）函數(shù)的定義域是（1，）LN2RAAXF當A1時，1232XXF所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，XF3,1,所以函數(shù)的最小值為XF2LN43F（2）時，由（1）知在（1，）的最小值為，AXF2LN1422AAF令在1，）上單調(diào)遞減，2LN422AAFG所以，則L31MAXG,0812LN5MAXG因此存在實數(shù)使的最小值大于，1AXF2LN85故存在實數(shù)使Y的圖象與Y無公共點FL2已知圖像的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍例3已知二次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)20HXABCYHX的圖象如圖所示，若函數(shù),LNF2LNYX的圖象總在函數(shù)的圖象的上方，求C的取值范圍1,4XYFX解由題意可知，2XLNXX23XCLNX在X1,4上恒成立，即當X1,4時，CX25X2LNX恒成立設(shè)GXX25X2LNX，X1,4，則CGXMAX易知2X52X2X25X2X12令得，X或X20G12當X1,2時，函數(shù)單調(diào)遞減；G當X2,4時，函數(shù)單調(diào)遞增而G1X512LN14，G442542LN444LN2，顯然G144LN2C的取值范圍為44LN2，二、針對性練習1已知函數(shù)21LNFXX，求證在區(qū)間1,上，函數(shù)FX的圖象在函數(shù)3G的圖象的下方證明令231LNFXFGXX則221X當1X時0F，函數(shù)FX在區(qū)間1,上為減函數(shù)2103X即在,上，F(xiàn)XG在區(qū)間1,上，函數(shù)F的圖象在函數(shù)3X的圖象的下方。2已知函數(shù)LNRAXF（1）求F的極值；（2）若函數(shù)XF的圖象與函數(shù)XG1的圖象在區(qū)間,02E上有公共點，求實數(shù)A的取值范圍。解（1）2LN1,0XFF的定義域為令A(yù)EX得當,0,1FFEXA時是增函數(shù)當X時是減函數(shù)111,AAEFFEXF極大值處取得極大值在3、（I）當21EA時，時，由（1）知,01AF在上是增函數(shù)，在,21EA上是減函數(shù)1AMAXFE又當,0,2EXFEXAA當時當時時，01F所以1XGF與圖象的圖象在,2E上有公共點，等價于1A解得1,AA所以又（II）當21E即時，,02EXF在上是增函數(shù)，2,0AXF上的最大值為在所以原問題等價于2,12EAE解得又A，無解3設(shè)，若函數(shù)在1,3上恰有22LN,FXXHXKXFHX兩個不同零點，求實數(shù)A的取值范圍解、函數(shù)KXFXHX在1,3上恰有兩個不同的零點等價于方程X2LNXA，在1,3上恰有兩個相異實根令GXX2LN，則GX12X當X1,2時，GX0；當X2,3時，GX0GX在1,2上是單調(diào)遞減函數(shù)，在2,3上是單調(diào)遞增函數(shù)故GXMING222LN2又G11，G332LN3，G1G3，只需G2AG3故A的取值范圍是2LN2,32LN3導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題一、常見基本題型（1）已知某個不等式恒成立，去求參數(shù)的取值范圍；（2）讓你去證明某個不等式恒成立。解此類問題的指導(dǎo)思想是構(gòu)造函數(shù)，或參變量分離后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題。例1已知函數(shù),2LNFXAX當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍T13TFTA解不等式可化為，2FTFT224LNL1TTT即LN1LN1TATTAT記，要使上式成立，2LN1GXAX只須是增函數(shù)即可即在1,上恒成立，20AGX即在上恒成立，故，1,2A所以實數(shù)的取值范圍是（，2A例2已知，函數(shù)0XAAXF13LN12（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求的值；10Y（2）在（1）的條件下，若對任意，恒成立，求實數(shù),X62BXF的取值組成的集合B解（1），由已知，213AFXX13F即，解得或,2202A又因為，所以A3（2）當時，由（2）知該函數(shù)在上單調(diào)遞3A215LNXXF50,2增，因此在區(qū)間上的最小值只能在處取到,F1又，521F若要保證對任意，恒成立，應(yīng)該有，,X260FXB256B即，解得，260B1因此實數(shù)的取值組成的集合是|5例3函數(shù)R,21LN2BXXF，設(shè)XFXG2，若B，求證對任意,1，且2，都有211證明因為XXFL2，所以1221XBXBF，因為2B，所以0F（當且僅當0,時等號成立），所以F在區(qū)間,上是增函數(shù)，從而對任意1,21X，當21X時，21XFF，即2GG,所以G。二、針對性練習1已知函數(shù)23XMINXF在31處取得極值，若對任意31,6X,不等式0|/FIA恒成立,求實數(shù)A的取值范圍解函數(shù)的定義域為|又MXF2，由題設(shè)XF在31處取得極值，031F，即或3,01。XF2。不等式03|FINA恒成立，即2|X恒成立。又,316X56,0IN，當且僅當31X時02XIN，故IA時，不等式0|FINXA恒成立。2、設(shè)函數(shù)LN1FXP（）求函數(shù)的極值點；（）當P0時，若對任意的X0，恒有0XF，求P的取值范圍；解（1）,1LN的定義域為PXF，F(xiàn)當,0,0在時，XFP上無極值點當P0時，令XFPXF隨、，,010的變化情況如下表X0，1,PF0X極大值從上表可以看出當P0時，F(xiàn)X有唯一的極大值點PX1（）當P0時在1XP處取得極大值1LNFP，此極大值也是最大值，要使0F恒成立，只需L0F，1P。3已知函數(shù)03LNARAXXF且（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為，問在什么XFY2,F45M范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在,1T23XFMXG3,T極值解（）由知XAF當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；0AF1,0,1當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；0（）由,，21F2A23FXLNX2FX故，332MMGXF,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，2342GXMXXG3,T有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)0又函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，X0203GT由，在上單調(diào)遞減，4320TMTGTH432T,1所以；，9INM由，解得；0234273G37綜上得所以當在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)9M9,72,1T在區(qū)間上總存在極值。23XFXG3T導(dǎo)數(shù)中的探索性問題一、常見基本題型1探索圖像的交點個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化方程解的個數(shù)求解，例1、已知函數(shù)32FXAX,1若1是F的極值點，求F在1,A上的最大值；（2）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)B，使得函數(shù)GXB的圖像與函數(shù)FX的圖象恰有3個交點若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由。解（1）因為13X是FX的極值點,所以,10,4,3FA0FX由得,在區(qū)間1,4上,F在1,3單調(diào)減在3,4單調(diào)增,且16,412,FF所以,MAX16FF2設(shè)3FXGXB,由題意可得FX有三個零點,又由于0是的一個零點,所以,只要再有兩個零點且都不相同即可因此,方程2430XB有兩個不等實根且無零根,所以,所以,存在實數(shù)B使得函數(shù)GXB的圖像與函數(shù)FX的圖象恰有3個交點,7且3（2）探索函數(shù)的零點個數(shù)問題例2已知函數(shù)，是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)21,LNFXAXGA在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點若存在，請求出GXF1,E的取值范圍；若不存在，請說明理由A解，LN21XA因在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點,所以，E0X即方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實根210AXXLN1,E設(shè)，2HALX012XAX2121AX令，因為為正數(shù)，解得或（舍）0X當時,是減函數(shù)；1XE0HX當時,，是增函數(shù)為滿足題意，只需在內(nèi)有兩個不相等的零點,故X1E,解得MIN10HEX12EA3探索函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題例3若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿KBFXGX足和，則稱直線為和的“隔離直線”FXKBGXKBLYKXBFGX已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）2HLNEE1求的極值；FXHX2函數(shù)和是否存在隔離直線若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，HX請說明理由解1，F(xiàn)XHX2LN0EX2E當時，X0FX當時，此時函數(shù)遞減；0EX當時，此時函數(shù)遞增；XX當時，取極小值，其極小值為XEFX02由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，HEX則，2EEGX當時，0X當時，此時函數(shù)遞增；0XEGX當時，此時函數(shù)遞減；GX當時，取極大值，其極大值為XE0從而，即恒成立2LN0X2XEX函數(shù)和存在唯一的隔離直線HXY二、針對性練習1設(shè)函數(shù)2LN1FXX1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2當時,是否存在整數(shù)，使不等式恒1XEM22FXME成立若存在，求整數(shù)的值；若不存在，請說明理由。解1由得函數(shù)的定義域為，0XFX1,。22XF由得；由得，0FX0F01函數(shù)的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是。,2由1知,在上遞減,在上遞增。FX10E1,0EMINFF又，且,21FE213E221E時,。1XE2MAX3FE不等式恒成立,22MF，2MAXINEFFX即2223300M13100M是整數(shù)，。存在整數(shù)，使不等式恒成立。M22FXE2已知定義在R上的二次函數(shù)滿足，且的CBAXR20XRX最小值為0，函數(shù)，又函數(shù)。NH1XHF（I）求的單調(diào)區(qū)間；XF（II）若二次函數(shù)圖象過（4，2）點，對于給定的函數(shù)圖象上的點A（XF），1,YX當時，探求函數(shù)圖象上是否存在點B（）（），使A、B23XF2,YX連線平行于X軸，并說明理由。（參考數(shù)據(jù)E271828）解（I）,2,0RXRXXR即可得又在X0時取得最小值0，,CAB,0212XAXFNRHC令,0F解得當X變化時，的變化情況如下表XFF的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是（，）。FX20,AXFA2（II）證明若二次函數(shù)圖象過（4，2）點，則，所以XR81812XNXF令由（I）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，3FGXF故,2GF即取則,3EX032941EX所以存在,2G使即存在2,FXFX使所以函數(shù)圖象上存在點B（）（），使A、B連線平行于X軸XF2,Y導(dǎo)數(shù)中的易錯題分析一切線問題中忽視切點的位置致錯X（0，）A2A2（，）A2F0X增函數(shù)極大值減函數(shù)例1已知曲線，過點作曲線的切線，求切線方XXF320,32MFX程。分析本題常會這樣解由導(dǎo)數(shù)的X意義知，所以曲線的切線方KF程為。這是錯誤的，原因是點根本不在曲線上。32Y0,32解設(shè)切點坐標為，則切線的斜率，30,2NX2063FX故切線方程為，又因為點N在切線上，6YX所以，30X20解得，所以切線方程為Y21X32。注意導(dǎo)數(shù)的X意義是過曲線上該點的切線的斜率，應(yīng)注意此點是否在曲線上。二忽視單調(diào)性的條件致錯例4已知函數(shù)（為常數(shù)），在內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取1AXF1,A值范圍。分析課本上給出的有關(guān)單調(diào)性的結(jié)論是若在上有0，則有FX,ABFX在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若在上有0，則FX,ABFX,AB有在上為單調(diào)遞減函數(shù)。注意這一條件只是單調(diào)的充分條件并不是充要條件，這一充分條件也可擴大為在上有0（或F,FF0）且在任一子區(qū)間