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文檔簡(jiǎn)介
導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)一導(dǎo)數(shù)的定義00000|LIMLIXXFXFXYFXFYF1函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟求函數(shù)的增量;求平均變化率;00YFXF00FXFXY取極限得導(dǎo)數(shù)LIMXY(下面內(nèi)容必記)二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式;0C為常數(shù)1NX1NNNX1MMNNXX;SINCOSXCSIEL0,AA且;1LLG0,LAAX且法則1;口訣和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差FXF法則2口訣前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘,后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘,間是正號(hào)FGX法則320GG口訣分母平方要記牢,上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘,下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘,間是負(fù)號(hào)(2)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法YFX換元,令,則分別求導(dǎo)再相乘回代UFUYGXFUGX題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1、已知,則2SINFX0F2、若,則SIEFX3AX33X22,則A()F41319360DCBA三導(dǎo)數(shù)的物理意義1求瞬時(shí)速度物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律在時(shí)的導(dǎo)數(shù),0T0VSFT0T0FT即有。00VFT2VS/T表示即時(shí)速度。AV/T表示加速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在點(diǎn)處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切FX0YFX0,PFX0KFX線方程是。00YFX題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況(1)曲線在點(diǎn)處切線性質(zhì)。相應(yīng)的切線方程是F0,PF0KFX切線00YX(2)曲線過(guò)點(diǎn)處切線先設(shè)切點(diǎn),切點(diǎn)為,則斜率K,切點(diǎn)在曲線XYQABFA,QB上,切點(diǎn)在切線上,切點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得關(guān)于A,B的方程組,解方F,QAB00FAX程組確定切點(diǎn),最后求斜率K,確定切線方程。F例題在曲線YX33X26X10的切線,求斜率最小的切線方程;解析(1)當(dāng)X01時(shí),K有最小值3,3136X|YK200X0此時(shí)P的坐標(biāo)為(1,14)故所求切線的方程為3XY110五函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),YFX(1)該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);0FXFX(2)該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);注意當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零,在其余點(diǎn)處為正(或負(fù))時(shí),在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增(或遞減)FX的。(3)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立;FX0FX(4)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立;題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明(或判斷)函數(shù)FX在某一區(qū)間上單調(diào)性步驟(1)求導(dǎo)數(shù)Y2判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)X3下結(jié)論該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);0FXF該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為FY(1)分析的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)XXFY(3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間0(4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間F題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題)思路一(1)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立;X0FX(2)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立;F思路二先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間,則已知限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意若函數(shù)F(X)在(A,C)上為減函數(shù),在(C,B)上為增函數(shù),則XC兩側(cè)使函數(shù)(X)變號(hào),即XC為函F數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以0F例題若函數(shù),若則FLN5,4,3FCFBFAA0,EXA0,EXA,XLNAFX的單調(diào)遞增區(qū)間為L(zhǎng)NA,(2)F(X)在R內(nèi)單調(diào)遞增,F(xiàn)0在R上恒成立EXA0,即AEX在R上恒成立A(EX)MIN,又EX0,A0(3)由題意知,X0為FX的極小值點(diǎn)0F0,即E0A0,A1例2已知函數(shù)FXX3AX2BXC,曲線YFX)在點(diǎn)X1處的切線為L(zhǎng)3XY10,若X32時(shí),YFX)有極值(1)求A,B,C的值;(2)求YFX)在3,1上的最大值和最小值解(1)由FXX3AX2BXC,得XF3X22AXB,當(dāng)X1時(shí),切線L的斜率為3,可得2AB0當(dāng)X32時(shí),YFX有極值,則F0,可得4A3B40由解得A2,B4由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X1,F141ABC4C5(2)由(1)可得FXX32X24X5,XF3X24X4,令XF0,得X2,X32當(dāng)X變化時(shí),Y,Y的取值及變化如下表X33,2232,1,321Y00Y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減2795單調(diào)遞增4YF(X)在3,1上的最大值為13,最小值為例3當(dāng)0,證明不等式XX1LN證明XFLN,G,則21XF,當(dāng)0X時(shí)。XF在,0內(nèi)是增函數(shù),0FXF,即01LNX,又G1,當(dāng)時(shí),0XG,G在,內(nèi)是減函數(shù),G,即01LNX,因此,當(dāng)X時(shí),不等式1LN成立點(diǎn)評(píng)由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)XXF,X1LN利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值,從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵七定積分求值1定積分的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則FX,AB1LIMNBIABAFDXF2用定義求定積分的一般方法是分割等分區(qū)間;近似代替取點(diǎn);求和N,1,IIIX;取極限1NIIBAF1LIMBIAFDFN3曲邊圖形面積;0,FXSX0,BASFXD在軸上方的面積取正,下方的面積取負(fù)變速運(yùn)動(dòng)路程;變力做功21TVDBAWFR4定積分的性質(zhì)性質(zhì)1(其K是不為0的常數(shù))BABAXFKDXF性質(zhì)21212BADFX性質(zhì)3(定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性)BCBAACFFFC其中5定理函數(shù)是上的一個(gè)原函數(shù),即則FX,XFXF|BBAAFXDF導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)(一)關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法(1)對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在(二)分析每種題型的本質(zhì),你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”,創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。(三)同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí),請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值;不等式恒成立;1、此類(lèi)問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決第一步令得到兩個(gè)根;0XF第二步畫(huà)兩圖或列表;第三步由圖表可知;其不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題,2、常見(jiàn)處理方法有三種第一種分離變量求最值用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類(lèi)討論(0,0,0)第二種變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))(已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元);例1設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,若在區(qū)間D上,恒YFXFXFGX0GX成立,則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”,已知實(shí)數(shù)M是常數(shù),43216MF(1)若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,求M的取值范圍;YFX0,3(2)若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”,求的最大值2MFX,ABBA解由函數(shù)得4216XF32F23GX(1)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,YF0,則在區(qū)間0,3上恒成立2X解法一從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手等價(jià)于MAX0G0329G解法二分離變量法當(dāng)時(shí),恒成立,0X20X當(dāng)時(shí),恒成立33GM等價(jià)于的最大值()恒成立,2X而()是增函數(shù),則HX0XMA32H2M2當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”F,AB則等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立230GX變更主元法再等價(jià)于在恒成立(視為關(guān)于M的一次函數(shù)最值問(wèn)題)2FM223010FXXBA例2設(shè)函數(shù),1032312RBAXAXF()求函數(shù)F(X)的單調(diào)區(qū)間和極值;()若對(duì)任意的不等式恒成立,求A的取值范圍,F(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解()2243FAXA01A令得的單調(diào)遞增區(qū)間為(A,3A),0XFXF令得的單調(diào)遞減區(qū)間為(,A)和(3A,)當(dāng)XA時(shí),極小值當(dāng)X3A時(shí),極大值BF43BXF()由|A,得對(duì)任意的恒成立X,2,1X2243A223AAFA3A則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸GXMAXING2243GXA2XA01,A(放縮法)12A即定義域在對(duì)稱軸的右邊,這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題單調(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。上是增函數(shù)22431,GXA、(9分)MAXIN4于是,對(duì)任意,不等式恒成立,等價(jià)于2,1A24115GA、又,0點(diǎn)評(píng)重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系第三種構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型XGF0XGFXH例3;已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為,32A1,PB32610TGXTT()求的值;,AB()當(dāng)時(shí),求的值域;4FX()當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)T的取值范圍。,XG解(),解得/23FA/13FBA32AB()由()知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減FX,00,4又14,0,46FF的值域是X16()令2131,4THFXGXX思路1要使恒成立,只需,即分離變量0H26T思路2二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立,回歸基礎(chǔ)題型0XFF或解法2利用子區(qū)間(即子集思想);首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集;做題時(shí)一定要看清楚“在(M,N)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(A,B)”,要弄清楚兩句話的區(qū)別前者是后者的子集例4已知,函數(shù)RAXAXXF14213()如果函數(shù)是偶函數(shù),求的極大值和極小值;GF()如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍F,2XA1,2解14412AXXF()是偶函數(shù),此時(shí),XXF3123412XF令,解得0XF3X列表如下,222,222,F00X遞增極大值遞減極小值遞增可知的極大值為,的極小值為F34FFX34F()函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),,,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法21104FXAX則解得24A,02A綜上,的取值范圍是例5、已知函數(shù)32110FXAXA(I)求的單調(diào)區(qū)間;(II)若在0,1上單調(diào)遞增,求A的取值范圍。子集思想F(I)21XXX1、20,0,A當(dāng)時(shí)恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào),單調(diào)遞增。F在2、1212,FAX當(dāng)時(shí)由得且單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間,(II)當(dāng)則是上述增區(qū)間的子集0,FX在上單調(diào)遞增0,11、時(shí),單調(diào)遞增符合題意A,在2、,0,1,1AA綜上,A的取值范圍是0,1。三、根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提型一函數(shù)FX與GX(或與X軸)的交點(diǎn)即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題解題步驟第一步畫(huà)出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;第二步由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫(xiě)不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;第三步解不等式(組)即可;例6、已知函數(shù),且在區(qū)間上為增函數(shù)231XKXFKXG31F,2(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;K(2)若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍FG解(1)由題意在區(qū)間上為增函數(shù),XKX12F,2在區(qū)間上恒成立(分離變量法)02F,即恒成立,又,故的取值范圍為K1K1KA11X(2)設(shè),3123KXXGXFH112KKX令得或由(1)知,0當(dāng)時(shí),在R上遞增,顯然不合題意02XXH當(dāng)時(shí),隨的變化情況如下表H,KK1,K,100X極大值3263極小值2由于,欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),即方程有三個(gè)不同的實(shí)根,故需021KFG0XH,即,解得363021KK212K31K綜上,所求的取值范圍為K3根的個(gè)數(shù)知道,部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)321FXAXC(1)若是的極值點(diǎn)且F的圖像過(guò)原點(diǎn),求FX的極值;(2)若2GBD,在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)B,使得函數(shù)GX的圖像與函數(shù)FX的圖像恒有含X的三個(gè)不同交點(diǎn)若存在,求出實(shí)數(shù)B的取值范圍;否則說(shuō)明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解(1)FX的圖像過(guò)原點(diǎn),則,0FC3FA又是的極值點(diǎn),則312AA0XXFF、237FXF、(2)設(shè)函數(shù)G的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含1X的三個(gè)不同交點(diǎn),等價(jià)于有含的三個(gè)根,即FX1X12FGDB整理得3221B即恒有含的三個(gè)不等實(shí)根3210XBXBX(計(jì)算難點(diǎn)了)有含的根,32110H1X則必可分解為,故用添項(xiàng)配湊法因式分解,H1、3X220BB11X220XBB十字相乘法分解11X1FX21102XBX恒有含的三個(gè)不等實(shí)根32110XBXB等價(jià)于有兩個(gè)不等于1的不等實(shí)根。2221410B,1,3,B題型二切線的條數(shù)問(wèn)題以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)0X例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為,求32FXACX0FX1,3(1)的解析式;(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍F1,PMYFM(1)由題意得3,FBAA在上;在上;在上,0,0F因此在處取得極小值FX014,4ABC2FC2760FBC由聯(lián)立得,69A3269FXX(2)設(shè)切點(diǎn)Q,,TF,YFTT2321969YTXTT過(guò)223131TXT21,M26MTT令,90GTM260GTT求得,方程有三個(gè)根。,需102312641M故;因此所求實(shí)數(shù)的范圍為,6題型三已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)0的根的個(gè)數(shù)FX解法根分布或判別式法例8、解函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┊?dāng)M4時(shí),F(xiàn)XX3X210X,R1372X27X10,令,解得或F0FX5,令,解得5可知函數(shù)FX的單調(diào)遞增區(qū)間為和(5,),單調(diào)遞減區(qū)間為,22,5()X2M3XM6,要使函數(shù)YFX在(1,)有兩個(gè)極值點(diǎn),X2M3XM60F的根在(1,)根分布問(wèn)題1則,解得M3234601MF例9、已知函數(shù),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)令X4F(X)231XAXF0,ARXFG1(XR)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn),求A的取值范圍解(1)2F當(dāng)時(shí),令解得,令解得,0A0XF01X、0XF01XA所以的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為XF,A,當(dāng)時(shí),同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為0AXF10A、,10,A(2)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)4321GX0有3個(gè)根,則或,231AX2X2方程有兩個(gè)非零實(shí)根,所以20A240,A或而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)YGX其它例題(一)最值問(wèn)題與主元變更法的例子已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是11R32FXAXB)(0A2,1()求函數(shù)的解析式;()若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍1,TTF)X解()322,434FF令0,得X140,1X因?yàn)?,所以可得下表A2,00,1FX0極大因此必為最大值,因此,0F50)(FB2165,12FAFF即,162AA23X)(),等價(jià)于,XXF4320TXF)04T令,則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍,TGG,TX為此只需,即,01(52解得,所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是0,10XX(二)根分布與線性規(guī)劃例子例已知函數(shù)32FABC若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行,求的解析X10,130XYXF式;當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí),設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾,F0,2X2,1MBA經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為13的兩部分,求直線L的方程解由,函數(shù)在時(shí)有極值,2FXAXBF10B1F1C又在處的切線與直線平行,X,30XY故03FB2A7分21FXX解法一由及在取得極大值且在取得極小值,ABFX0,112X即令,則012FF0248MXYBYA故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC,12AYBX2046XYM易得,0A1B2,C0,1D30,2E2ABCS同時(shí)DE為ABC的位線,3DEABES四邊形所求一條直線L的方程為0X另一種情況設(shè)不垂直于X軸的直線L也將S分為面積比為13的兩部分,設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分YKX別交于F、G,則,K1S四邊形DEGF由得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為20YX21FXK由得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為46KY64G即OEFDSS四邊形DEGF131221KK2650K解得或舍去故這時(shí)直線方程為12K58KYX綜上,所求直線方程為或12分0X12YX解法二由及在取得極大值且在取得極小值,2FABF0,112X即令,則012F48MXYBYA故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC,AYBX026XY易得,20A1B,C0,1D30,2E2ABCS同時(shí)DE為ABC的位線,所求一條直線L的方程為3DEABES四邊形0X另一種情況由于直線BO方程為,設(shè)直線BO與AC交于H,12YX由得直線L與AC交點(diǎn)為120YX1,2,ABCS12DECS122HABOHSS所求直線方程為或0X12YX(三)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題例已知函數(shù)的圖象如圖所示。32FABC3ABDA0()求
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