第八章 回歸正交試驗設計

8回歸正交試驗設計本章要點主要講述了一次回歸正交試驗設計、二次回歸正交試驗設計的原理、基本方法和統(tǒng)計分析步驟，并針對不同類型的回歸正交試驗給出了相應的計算案例。重點回歸正交試驗設計的方法，統(tǒng)計過程中方程的建立以及顯著性分析檢驗。難點二次回歸組合設計正交性的實現(xiàn)及其統(tǒng)計分析。81回歸正交試驗設計簡介產(chǎn)品質量通常受多因素的綜合影響，試驗效應既包括因素的主效應，也包括因素間的交互作用，因此，在產(chǎn)品研究中總希望安排足夠多的研究因素以使試驗效應有充分的試驗論據(jù)。但因素和水平的增加造成試驗規(guī)模龐大，特別是對于多指標分析的試驗往往由于分析困難而無法實施。線性反應試驗一般是研究一個因素多水平的試驗設計，面體反應試驗是研究兩個因素多水平的的試驗設計。當試驗因素超過3個的多水平試驗時，由于采用組合處理，處理數(shù)目等于因素水平間的乘積，它隨因素的增加呈幾何級數(shù)增加。例如，一個3因素4水平的試驗，總共有4364個試驗處理，而4因素5水平的試驗就有54625個處理，由于處理數(shù)目太大，不僅增加了試驗誤差，而且由于受試材和條件的限制，這對產(chǎn)品研究來說是難以實施的。正交試驗設計方法在產(chǎn)品工藝改進、新產(chǎn)品的試制中得到了廣泛的應用，它能夠利用較少的處理安排較多的試驗因素，獲得較佳的試驗結果。但是正交設計不能在一定的試驗范圍內(nèi)，根據(jù)數(shù)據(jù)樣本，去確定變量間的相關關系及相應的回歸方程。如果試驗傳統(tǒng)的回歸分析，又只能被動地去處理由試驗所得到的數(shù)據(jù)，而對試驗的設計安排幾乎不提出任何要求。這樣不僅盲目地增加了試驗次數(shù)，而且由數(shù)據(jù)所分析出的結果還往往不能提供充分的信息，造成在多因素試驗的分析中，由于設計的缺陷而達不到預期的試驗目的。因而回歸正交試驗設計應運而生?；貧w正交試驗設計是將試驗安排與數(shù)據(jù)的回歸分析結合起來考慮。在試驗中，通過適當?shù)匕才旁囼烖c，使得在每個試驗點上獲得的數(shù)據(jù)含有最大的信息，并且各自變量因素向量間滿足正交性以便于回歸分析。然后再用回歸分析處理試驗數(shù)據(jù)，將試驗指標與被考察的各因素間的關系以回歸方程表示出來?；貧w正交設計兼容了正交試驗設計與回歸分析兩者的優(yōu)點，又避免了回歸分析計算及分析麻煩的缺點，是一種優(yōu)良的試驗設計方法。82一次回歸正交試驗設計原理一次回歸正交設計就是利用回歸正交原理，建立試驗指標（）與個試驗因素YM之間的一元回歸方程12,MX81或（82）其中，回歸模型的參數(shù)，是模型的自變量。012,MB12,MX它解決的是多元線性回歸問題，但是多元回歸分析的計算過程是非常復雜的，由于試驗點是隨意定的，因而由試驗點上變量的取值所構成的系數(shù)矩陣在求其逆矩陣時就很復012MYBXBX,JKJJK雜。根據(jù)多元線性回歸的理論，用矩陣表示，以最小二乘法，可以推導出系數(shù)矩陣為。數(shù)學模型82式，是表示變量與變量間相關關系的數(shù)Y據(jù)結構式。它的結構矩陣為X正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為A（83）可以看出，結構矩陣中的元素除第一列外，其余都是變量在各試驗點上的取值，其X系數(shù)矩陣各元素的值，又決定于結構矩陣各元素的值。由線性代數(shù)知道，系數(shù)矩陣如為對角陣時，其逆矩陣就便于計算了。因此，如果能經(jīng)過某種安排適當?shù)脑囼烖c，使系數(shù)矩陣為對角矩陣，這樣不僅能簡化其逆矩陣的計算，而且還能使得回歸系數(shù)間不存在相關性。A從上面的系數(shù)矩陣來看，欲使為對角矩陣，須使結構矩陣中的任一列的和為零，任A兩列的相應元素乘積之和為零，即（84）從數(shù)學意義上講，也就是要使結構矩陣具有正交性。對于回歸正交試驗設計表的選擇，A可以引用正交試驗設計表，下面看一張最簡單的兩水平正交試驗表，見表81。121121312221212131MMNNNNXXXX10,12,NIJIKJXKJMIN342L1212131122221111NNNNNIIIMIIIMIIIIIIINNNIIIITXXXXAX32121112321NNIIIMIMIMIMNNNIIIIIXXX對1321IINIMX稱1TBXY12,表81L4（23）正交表試驗號1231234112212121221表82回歸正交表試驗號1231234111111111111用“1”代換表81中的二水平符號“2”，代換后成表82，顯然這兩種正交表之間并無本質差別，然而，代換后可明顯地看出正交表的正交性，即每列所有數(shù)字相加之和為零，且任意兩列相乘之和為零。由此可見，要使結構矩陣成為有正交性的，首先要按二水平正交表來安排試驗，一次回歸正交設計正是運用二水平正交表如、342L78等等來安排試驗的，其設計的步驟及分析方法如下。12L821一次回歸正交試驗設計的基本方法1）確定因素的變化范圍根據(jù)試驗指標，選擇需要考察的個因素，并確定每個因素的YM1,2JXM取值范圍。確定因素水平的上限和下限一般要根據(jù)專業(yè)的知識或預備試驗，一般地說，上限與下限的距離愈小、愈接近最佳水平范圍，試驗求得的回歸方程的預測性就越好。設因素的變化范圍為，分別稱和為因素的下限和上限，并將它們的算術JX12,JX1J2JJ平均值稱為零水平，即0（85）上限與零水平之差稱為因素XJ的變化區(qū)間，用表示，即J（86）或（87）2）對因素的水平進行編碼編碼的目的是為了將試驗效應對因素的回歸關系轉化為對編碼值的回歸關系。編YY碼值0JJJ20JJ1JJJX0JJJXZ（88）通過編碼公式，將因素取值作線性變換后，可以找到因素取值與編碼的對應關系，從而在編碼空間中選擇析因點。編碼以后，試驗因素水平被編為1，0和1，即，。一般JZ0JZ21J稱為自然變量，為規(guī)范變量。對每個因素的各水平，按公式86進行線性代換，JXJZJX就可以列出因素水平編碼表，見表83。表83因素水平編碼表因素1X2JX下水平1上水平1變化區(qū)間J零水平21MX1X2M12JMJX3）確定零水平的重復次數(shù)在一次回歸正交試驗中，因為每個因素只有兩個水平點，而且不設重復，很難得到一個正確無偏誤差估計，因此增加零水平的重復次數(shù)不僅可以考察因素的線性變化，而且可以得到試驗的一個純誤差，以對匹配的回歸方程進行擬合性測驗。這些零水平取值是各個因素的基準水平，其重復的次數(shù)應根據(jù)實際情況和試驗的要求而定。4）選擇合適的正交設計表將二水平的正交表中的“2”用“1”代換，就可以得到一次回歸正交設計表。例如正交表經(jīng)過變換后得到的回歸正交設計表如表84。782L表84一次回歸正交設計表列號試驗號12345671234567811111111111111111111111111111111111111111111111111111111代換后，正交表中的編碼不僅表示因素的不同水平，也表示了因素水平數(shù)值上的大小。從表82可以看出回歸正交設計表具有如下特點1任一列編碼的和為0，即10NJIIZ（89）所以有（810）（2）任兩列編碼的乘積之和等于0，即（811）上述特點說明了代換后的正交表同樣具有正交性，可使回歸計算大大簡化。5）試驗方案的確定與正交試驗設計類似，在確定試驗方案之前，要將規(guī)范變量安排在一元回歸正交表JZ相應的列中，即表頭設計。例如，需考察三個因素，可選用進行試驗設計，根據(jù)正交表123,X782L的表頭設計表，應將分別安排在第1、2和4列，也就是將安排782L123,Z在表82的第1、2和4列上。如果還要考慮交互作用，也可參考正交表X13的交互作用表，將和分別安排在表82的第3、5列上，表頭設計結果見12Z3表83。每號試驗的方案由對應的水平確定，這與正交試驗是一致的。,從表85可以看出，第3列的編碼等于第1，2列編碼的乘積，同樣第5列的編碼等于第1，4列編碼的乘積，即交互作用列的編碼等于表中對應兩因素列編碼的乘積，所以用回歸正交表安排交互作用時，可以不參考正交表的交互作用表，直接根據(jù)這一規(guī)律寫出交互作用列的編碼，這比原正交表的使用更方便。表85三因素一次回歸正交表12345試驗號ZZ12Z3Z13Z1234567891011111111001111111100111111110011111111001111111100表85中的第9，10號試驗稱為零水平試驗或中心試驗。安排零水平試驗的目的是為了進行更精確的統(tǒng)計分析（如回歸方程的失擬檢驗等），得到精確度較高的回歸方程。當然，1,1,2NJIKIZMJK,IJZJ如果不考慮失擬檢驗，也可不安排零水平試驗。6）試驗處理的隨機化回歸正交試驗設計由于處理數(shù)目較多，不能全部重復，只能零水平適當?shù)囟嘀貜蛶状?，用零水平重復得到試驗誤差，各處理的隨機化可采用抽簽、隨機數(shù)字表或隨機函數(shù)。之后就可以根據(jù)試驗方案進行試驗，收集數(shù)據(jù)。822一次回歸正交試驗設計的統(tǒng)計分析回歸正交試驗經(jīng)設計、實施后，就可以調查指標、收集資料，進行統(tǒng)計分析?；貧w正交試驗設計是試驗設計與結果分析結合的產(chǎn)物，試驗設計時就考慮到結果的分析，因此回歸正交試驗的結果分析比較簡單。1）一次回歸方程的建立如果采用二水平正交表編制元一次回歸正交設計，一共進行了次試驗，其試驗結果以MN表示，則一次回歸的數(shù)學模型為12,MY根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程為（812）由于一次回歸正交設計的結構陣具有正交性，即除第一列的和為外，其余各列的和XN以及任意兩列的內(nèi)積和均為零，因而它的信息矩陣（系數(shù)矩陣）為對稱矩陣A212121212132100000000NININIMNIINIINIMIINXXAXX對稱011,1,23,NIJIIJKIJIBXBXKJ01MIJIJY一次回歸正交的次試驗中，當時，矩陣為N0MA其逆矩陣為C00NAN對稱1100000101NCANN對稱121231,00000MMNAAA對稱當時，矩陣為0MA逆矩陣為C常數(shù)項矩陣為B1012121122313111NIIIIINIIINIMIIIIINIIMINIMIIIYXBBXYXYBXY00000000NMANMNM對稱010001001011NMCANMN對稱于是當時，回歸系數(shù)0M即同理，當時，回歸系數(shù)為0M001122111223311100/100/10/MMNBNBABNBNN對稱0100100,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMMYBBN011,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMYBB以上可以看出，由于按正交表來安排試驗和對變量進行了線性代換，使得系數(shù)矩陣的逆矩陣運算簡單了，同時也使得回歸系數(shù)之間不存在相關性。所以一次回歸正交設計的計算C也就簡單了。將上述計算結果代入公式（82），即可得到一次回歸方程。需要指出的是，如果一次回歸方程中含有交互作用項，則回歸方程不是線性JKZ的，但交互作用項的回歸系數(shù)的計算和檢驗與線性項是相同的，因為交互作用對試驗結果也J有影響，可以看作是影響因素。通過上述方法確定偏回歸系數(shù)后，可以直接根據(jù)它們的絕對值的大小來判斷各因素和交互作用的相對重要性。因為在回歸正交設計中，所有因素的水平都經(jīng)過了無因次的編碼變換，它們在所研究的范圍內(nèi)都是“平等的”，因而所求得的回歸系數(shù)不受因素的單位和取值的影響，直接反映了該因素作用的大小。另外，回歸系數(shù)的符號反映了因素對試驗指標影響的正負。2）回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析（1）無零水平試驗時首先計算各種平方和及自由度。總平方和為將代入上式得（813）其自由度為。一次項偏回歸平方和的計算公式為（814）交互項偏回歸平方和的計算公式為（815）各種偏回歸平方和的自由度都為1。一次項偏回歸平方和與交互項偏回歸平方和的總和就是回歸平方和（816）所以回歸平方和的自由度也是各偏回歸平方和的自由度之和（817）殘差平方和為（818）其自由度為RJIJDFFDF222111NNNTYIIIISLYYETRS001IBBN2200TIIBSYYBN1DFN2JJSA2IJIJBSARJIJSS于是一次回歸正交設計的計算和方差分析可如表86及表87那樣進行。ETRDFF表86一次回歸正交設計計算表試驗號0Z1ZMZ12Z1MZIY12N111211NZ12NMZ2112NZ211NMZ12MY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB201NIZ1NI021NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBAS1NII12NIIZY12A12S21NIII1NIMIZY1BA1MS21NI201NTIBSYN1221RMSETRS如果考慮了所有的一次項和交互項，則可參照表87進行方差分析。表87一次回歸正交設計的方差分析表變異來源平方和（）S自由度（）DF均方（）MSF1Z2MZ12MZ回歸剩余12MS12MRSE11111RDFE1/DF2/MSF12D/MMFRRMS/EEDF1/ES2/ME12S/EMR總計TTFF在實際做試驗時，往往只需要考慮幾個交互作用，或者可以不考慮交互作用，所以在計算回歸和殘差自由度時應與實際情況相符。如果不考慮交互作用，RF。值得注意的是，無論是否考慮交互作用，都不影響偏回歸系數(shù)的計算公1EDFNM式。經(jīng)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗，證明對試驗結果影響不顯著的因素或交互作用，可以將其從回歸方程中剔除，而不會影響到其他回歸系數(shù)的值，也不需要重新建立回歸方程。但應對回歸方程再次進行檢驗，將被剔除變量的偏回歸平方和、自由度并入到殘差平方和與自由度中，然后再進行相關的分析計算。（2）有零水平試驗時如果零水平試驗的次數(shù)，則可以進行回歸方程的失擬性（LACKOFFIT）檢驗。02M前面對回歸方程進行的顯著性檢驗，只能說明相對于殘差平方和而言，各因素對試驗結果的影響是否顯著。即使所建立的回歸方程是顯著的，也只反映了回歸方程在試驗點上與試驗結果擬合得較好，不能說明在整個研究范圍內(nèi)回歸方程都能與實測值有好的擬合。為了檢驗一次回歸方程在整個研究范圍內(nèi)的擬合情況，則應安排次零水平試驗，進02M行回歸方程的失擬性檢驗，或稱擬合度檢驗（TESTOFGOODNESSOFFIT）。設次零水平試驗結果為，根據(jù)這次重復試驗，可以計算出重復0M0120,MY試驗誤差為（816）試驗誤差對應的自由度為（817）由前述知，只有回歸系數(shù)與零水平試驗次數(shù)有關，其他各偏回歸系數(shù)都只與二0B0M水平試驗次數(shù)有關，所以增加零水平試驗后回歸平方和沒有變化，于是定義失擬平CMRS方和為（818）000222111MELIIIIIISYY0ELDFLFTRELSS或（819）可見，失擬平方和表示了回歸方程未能擬合的部分，包括未考慮的其他因素及各的JX高次項等所引起的差異。它對應的自由度為（820）所以有（821）（822）這時（823）服從自由度為的分布。對應給定的顯著性水平（一般取01），當,LFELDF時，就認為回歸方程失擬不顯著，失擬平方和是由隨機誤差造成的，否則說LFELFLFS明所建立的回歸方程擬合得不好，需要進一步改進回歸模型，引入別的因素或建立更高次的回歸方程。只有當回歸方程顯著、失擬檢驗不顯著時，才能說明所建立的回歸方程是擬合得很好的。最后需要指出的是，回歸正交試驗得到的回歸方程是規(guī)范變量與試驗指標之間的關系式，還應對回歸方程的編碼值進行回代，得到自然變量與試驗指標的回歸關系式。例81硝基蒽醌中某物質的含量與以下三個因子有關Y亞硝酸鈉（G）X大蘇打（G）2反應時間（H）3為提高該物質的含量，需建立Y關于變量的回歸方程，考慮交互作用。123,X123,X1）確定因子變化范圍并對因子水平進行編碼因，所以其上水平，下水平，零水平1905XG、90150X變化區(qū)間，以為例，對121072XA應的編碼。同理可對其他因素水平進行編碼，編碼結果見表88。表88例81因素水平編碼表編碼值JZ亞硝酸鈉（G）1X大蘇打（G）2X反應時間（H）3X上水平（1）90453下水平（1）50251零水平（0）703522107LFELSSLFELDFTRERLFELSSSFLDFFDELFFLFSD105X變化區(qū)間JA2112）正交表的選擇和試驗方案的確定本例有三個因子，選用，經(jīng)編碼轉換后，得到回歸正交表（如表89）所示。782L不進行零水平試驗，故試驗次數(shù)8，從而可得試驗計劃，并按計劃進行試驗，試驗結果N列在表89中。表89例81三元一次回歸正交設計試驗方案及試驗結果試驗號1Z2Z3Z13Z23Z試驗結果Y123456781111111111111111111111111111111111111111923586008958870585708326839583383）計算并建立回歸方程由于不進行零水平試驗，故，。根據(jù)回歸系數(shù)的計算公式，將有關0M8CN計算列在表810中。由表可知，回歸方程為編碼方程中各因素都已轉變?yōu)闊o量綱數(shù)，因此系數(shù)的絕對值的大小可作為判斷因素作用的大小。從上述編碼方程看，因素作用大小排序為。13123ZZZ4）方差分析方差分析結果見表811。由表可知，因素對試驗指標有極顯著的影響，、Y3、對試驗指標有顯著影響，因此原回歸方程可以簡化為13Z2Y根據(jù)編碼公式，進行線性回歸方程的回代，得1231323642384370698YZZZZZ10172XZ30331XZ313236448072698ZZZZ113323232778642848960698XXYXX225XX表810例81三元一次回歸正交設計計算表試驗號0Z1Z2Z3Z13Z23ZY12345678111111111111111111111111111111111111111111111111923586108958870585708326839583382NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA86913786421381879234884413383450431314878811791473817375585770721241616855906988390659820521NIY71440420/TISBN43187354163907163R405ETR表811例81方差分析表差異源SDFMSF顯著性Z1Z2Z3Z1Z3Z2Z3回歸殘差441331487817375541616390671063903765111115244133148781737554161639061421280188323437679012922756221009207435744796總和714404N17注05005011,28,98,293,5,2930FFFF例82從某種植物中提取黃酮類物質，為了對提取工藝進行優(yōu)化，選取三個相對重要的因素乙醇濃度（）、液固比（）和回流次數(shù)（）進行了回歸正交試驗，不考慮交1X2X3X互作用。已知6080，812，13次。試通過回歸正交試驗確定黃酮提取率與三個因素之間的函數(shù)關系式。解1）因素水平編碼及試驗方案的確定表812例82因素水平編碼表編碼值JZ乙醇濃度1X液固比2X回流次數(shù)上水平（1）80123下水平（1）6081零水平（0）70102變化區(qū)間J1021由于不考慮交互作用，所以本例要求建立一個三元線性方程。因素水平編碼如表812所示。選正交表安排試驗，將三個因素分別安排在回歸正交表的第1、2、4782L列，試驗方案及結果見表813，表中的第9、10、11號試驗為零水平試驗。表813例82試驗方案及試驗結果試驗號1Z2Z3Z提取率Y12345678910111（80）1111（60）1110（70）001（12）11（8）111110（10）001（3）1（1）1111110（2）0080736964696560516665662）計算并建立回歸方程由題意可知，本試驗含有零水平試驗，。根據(jù)回歸系數(shù)的計算公式，03,8CMN將有關計算列在表814中。表814例82正交回歸設計計算表試驗號0Z12Z3ZY123456789101111111111111111111110001111111100011111111000807369646965605166656621NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB1172866182841051252101843053752311825031250781487121NIY5296201NTIBSN23519RS0103ETRS由表可知，回歸系數(shù)66182、05125、05375、03125，則回歸方0B1B23B程為由該回歸方程偏回歸系數(shù)絕對值的大小，可以得到各因素的主次順序為，即液固比乙醇濃度回流次數(shù)。又由于各偏回歸系數(shù)都為正，所以這些213X影響因素取上水平時，試驗指標最好。3）回歸方程顯著性檢驗方差分析結果見表815。682503751YZZZ表815例82方差分析表差異源SDFMSF顯著性Z1Z2Z3回歸殘差2101231107815193010311137210123110781173100147142915725311178總和5296N110注010,725,845FF由方差分析表可知，各因素對試驗指標均有極顯著影響，回歸方程無須簡化。Y4）失擬性檢驗本例中，零水平試驗次數(shù)，可以進行失擬性檢驗，有關計算如下。03M所以檢驗結果表明，失擬結果不顯著，回歸模型與實際情況擬合得很好。5）回歸方程的回代將，代入上述回歸方程得整理后得到83二次回歸正交組合設計831二次回歸組合設計假設有個試驗因素（自變量），試驗指標為因變量，則二次回M1,2JXMY歸方程的一般形式為02221101456243565607MELIIIISYY017093LFELSSLDF25LFELF01E0963/7,922FLLFLFSDFF170XZ210XZ3321XZ12370618205552XXYZX1236871XX（824）其中，為回歸系數(shù)，可以看出該方程共有,JKJJAB項，要使回歸系數(shù)的估算成為可能，必要條件為試驗次數(shù)；同時，為了計算出二次回歸方程的系數(shù)，每個因素至少要取3個水平，所以用一元回歸正交設計的方法來安排試驗，往往不能滿足這一條件。例如，當因素數(shù)時，二次回歸方程的項數(shù)為10，要求試驗次數(shù)10，如果用正交表3MN安排試驗，則試驗次數(shù)不符合要求，如果進行全面試驗，則試驗次數(shù)為次，49L327試驗次數(shù)又偏多為解決這一矛盾，可以在一次回歸正交試驗設計的基礎上再增加一些特定的試驗點，通過適當?shù)慕M合形成試驗方案，即所謂的組合設計。正交組合設計由三類試驗點組成，即二水平試驗、星號試驗和零水平試驗。例如，設有兩個因素和,試驗指標為，則它們之間的二次回歸方程為1X2Y（825）該方程共有6個回歸系數(shù)，所以要求試驗次數(shù)6，而二水平全面試驗的次數(shù)為N次，顯然不能滿足要求，于是在此基礎上再增加5次試驗，試驗方案如表816和2,4圖81所示。表816二元二次回歸正交組合設計試驗方案試驗號1Z2ZY說明1234111111111234Y二水平試驗567800005678Y星號試驗9009零水平試驗211,1MMJKJJYXBXKJK1221N21211YABXBX圖81二元二次回歸正交組合設計試驗點分布圖二水平試驗是一次正交回歸試驗設計中的試驗點，設二水平試驗的次數(shù)為，若為全CM面試驗（全實施），則，若根據(jù)正交表只進行部分二水平試驗（1/2或1/4實施），2MC這時或，對于二元二次回歸正交組合設計，。12MC24C由圖81可以看出，58號試驗點都在坐標軸上，一般用星號表示，所以被稱作星號試驗，他們與原點（中心點）的距離都為，稱作星號臂或軸臂。星號試驗次數(shù)為與試驗因素數(shù)有關，即，對于二元二次回歸正交組合設計，。2零水平試驗點位于圖81的中心點（原點），即各因素水平編碼都為零時的試驗，該試驗可只做一次，也可重復多次，零水平試驗次數(shù)記為。0M所以，二次回歸正交組合設計的總試驗次數(shù)為（826）如果將兩因素的交互項和二次項列入組合設計表中，則可得到表815。其中交互列和二次項列中的編碼可直接由和寫出。例如，交互列的編碼是對應和的乘積，1Z212Z1Z2而的編碼則是列編碼的平方。21Z1表817二元二次回歸正交組合設計試驗號Z2Z12Z21Z2Z123411111111111111111111567800000000200002900000832二次回歸組合設計正交性的實現(xiàn)由表815可以看出，增加了星號試驗和零水平試驗之后，二次項失去了正交性，即該列編碼的和不為零，與其他任一列編碼的乘積和也不為零。為了使表817具有正交性，必須對二次項進行中性化處理，并確定合適的星號臂長度。1）星號臂長度確定根據(jù)正交性的要求，可以推導出星號臂長度必須滿足如下關系式（證明略）（827）可見，星號臂長度與因素數(shù)，零水平試驗次數(shù)及二水平試驗數(shù)有關。為了設計M0MC0CN2CC方便，將上述公式計算出來的一些常用的值列于表818。表818二次回歸正交組合設計值表因素數(shù)M0234（1/2實施）45（1/2實施）512345678910100010781147121012671320136914141457149812151287135314141471152515751623166817111353141414711525157516231688171117521792141414831547160716641719177118201868191415471607166417191771182018681914195820001596166217241784184118961949200010492097根據(jù)表818可知，對于二元二次回歸正交組合設計，當零水平試驗次數(shù)時，01M。12）二次項的中心化設二次回歸方程中的二次項為，其對應的編碼用21,1,2JIJZMIN表示，可以用下式對二次項的每個編碼進行中心化處理JIZ（828）式中，是中心化后的編碼。這樣組合設計表中的列就可以變成列。表819JIZ2JZJZ是二次項中心化之后的二元二次回歸正交組合設計編碼表。表819二元二次回歸正交組合設計編碼表試驗號1Z2Z12Z21Z2Z1Z2Z1234567811111100111100111111000011111100111100111/31/31/31/31/31/32/32/31/31/31/31/32/32/31/31/3221NJIJIJIIZZ9000002/32/3表819中后兩列是根據(jù)公式（828）計算得到的，以列的中心化為例，該21Z列的和，所以有，等。833二次回歸正交組合設計的基本步驟1）因素水平編碼確定因素的變化范圍和零水平試驗的次數(shù)，再根據(jù)星號臂長1,2JXM0M的計算公式（824）或表818確定值，對因素水平進行編碼，得到規(guī)范變量。如果以和分別表示因素的上下水平，則它們的算術平均值就,2JZ2JX1JJX是因素的零水平，以表示。設與為因素XJ的上下星號臂水平，則與J0JJX為因素的上下限，于是有JXJ（829）所以，該因素的變化間距為830）然后對因素的各個水平進行線性變換，得到水平的編碼為JX（831）這樣，編碼公式就將因素的實際取值與編碼值一一對應起來（見表820），編碼后，JXJZ試驗因素的水平被編為，1，0，1，。表820因素水平的編碼表自然變量JX規(guī)范變量JZ12MX上星號臂上水平1零水平0下水平1下星號臂變化間距JA201A1X102XA212A20MAM1XMA9216IIZ2211693NIZ17103NIZ0JJJZ120JJJJJX2JJJ2）二次回歸正交組合設計的確定首先根據(jù)因素數(shù)選擇合適的正交表進行變換，明確二水平試驗方案，二水平試驗次M數(shù)和星號試驗次數(shù)也能隨之確定，這一過程可以參考表821。C表821正交表的選用因素數(shù)選用正交表表頭設計CM234（1/2實施）45（1/2實施）5342L781562L31，2列1，2，4列1，2，4，7列1，2，4，8列1，2，4，8，15列1，2，4，8，16列2242382418241625116253246881010然后對二次項進行中心化處理，就可以得到具有正交性的二次回歸正交組合設計編碼表。附錄8列出了時的常用二次回歸正交組合設計表，可以直接參考選用。0M3）試驗處理的隨機化回歸正交試驗各處理的隨機化可采用抽簽、隨機數(shù)字表或隨機函數(shù)。之后根據(jù)試驗方案進行試驗，收集數(shù)據(jù)。834二次回歸正交組合設計試驗結果統(tǒng)計分析如果研究個因素，采用二次回歸正交組合設計共有個處理，其試驗結果以MN表示，當對平方項進行了中心變換，消除平方項與常數(shù)項的相關性以后，數(shù)12N,Y學模型為要建立二次回歸方程，首先必須計算出不同類型的回歸系數(shù)。0,JIJB由于二次回歸正交組合設計的結構矩陣具有正交性，因而它的信息矩陣為A011MMJIKJIJJIYBXBX11210000MMMNAAAXA對稱其中常數(shù)項矩陣為01121,MMMBXYBB式中相關矩陣為C于是二次回歸方程的回歸系數(shù)，則1BAB為簡便起見，上述計算可列表進行，如表822所示。將值計算結果代入二次回歸正交數(shù)學模型中，即可得到回歸方程。B方程及回歸系數(shù)顯著性檢驗與一次回歸相同，詳見一次正交回歸方差分析表。如果在中心點設有次重復，且試驗結果分別為，則可先用計算的誤差平方和（0M0120M,Y）對失擬平方和（）進行檢驗，方法也與一次回歸相同。LESLFS1112111000000MMMNAACAA對稱01121122,NNIIJJJIJNNIJIKJIJIJJIJIJIJIYXYBBNAXYXYBBBJAA01111,NNNNIJIJJIJIJIKJIYXYXYXYJ22211,NNNJIJIJIKJJIJAXAXJAX表822二次回歸正交設計計算表試驗號0Z1ZMZ12Z1MZ1ZMZY12N11121N1Z12NMZ2112NZ211NMZ211NZ12NMZ12NY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB20NI1NI02NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBASNII12NIIZY1212S2NIII1NIMIZY1BA1MS2NI1NIZ1A1S21NI1NIMZYMBAS21NI201NTIBSYRJETRS例83為提高鉆頭的壽命，在數(shù)控機床上進行試驗，考察鉆頭的壽命與鉆頭軸向振動頻率Y及振幅的關系。在試驗中，與的變動范圍分別為125HZ，375HZ與15，55，1X21X2試用二次回歸正交組合設計分析出、與試驗指標（）之間的關系，要求在中心點重復進Y行三次試驗。解1）對因子的取值進行編碼由于因素數(shù)，中心點重復試驗，則可以根據(jù)星號臂長度的計算公式或表2M03M818得。47依題意，鉆頭軸向振動頻率（）的上限為375，下限為125，所以零水平為1X1XX250，變化間距（375125）/（21147）109，同理可計算出因素的編碼，如1X1AX表823所示。表823因素水平的編碼表自然變量JX規(guī)范變量JZ12X上星號臂上水平1零水平0下水平1下星號臂3753592501411255552435176152）正交組合設計根據(jù)題意選用正交表進行變換，二水平試驗次數(shù)，星號試驗的次數(shù)為34L4CM。4M表824例83試驗方案及試驗結果試驗號（振動頻率）1Z（振幅）2Z（壽命）Y12345678910111111114711470000011110011471147000161129166135187170174146203185230根據(jù)二元二次回歸正交組合設計的要求，參照式（825）將二次項和分別進行中心化，1Z2得到和，二次項中心化結果見表825。1Z2表825例83二元二次回歸正交組合設計表及試驗結果試驗號1ZZ12Z1Z2ZY123456789101111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852303）回歸方程的建立表826例83二元二次回歸正交組合設計計算表試驗號0Z1Z2Z1Z12ZY12345678910111111111111111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852302NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA1118861714556631851282108986631951143421364410250253465764462212169540534651251383611545193763321381NIY877472720/TISBN89136425194051376892R78ETR所以規(guī)范變量與試驗指標的回歸關系為Y方差分析結果見表827。表827例83方差分析表差異源SDFMSF顯著性1Z21Z2回歸殘差1089813640251695405451937