函數(shù)偶性與周期性.ppt

1、第八講 函數(shù)的奇偶性與周期性,走進(jìn)高考第一關(guān) 考點關(guān),回 歸 教 材1.如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù),如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.一般地,奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,那么這個函數(shù)就是奇函數(shù);偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那么這個函數(shù)就是偶函數(shù).,2.對于函數(shù)y=f(x),如果存在不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域中的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成

2、立,那么f(x)是周期函數(shù),T是它的一個周期,對于一個周期函數(shù)來說,如果在所有周期中存在一個最小正數(shù),則這個最小正數(shù)叫做最小正周期,且若T是函數(shù)的一個周期,則nT也是函數(shù)的一個周期.,考 點 訓(xùn) 練1.若函數(shù)y=(x+1)(x-a)為偶函數(shù),則a=( )A.-2B.-1C.1D.2,答案:C,解析:y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a為偶函數(shù), 1-a=0,故a=1.,2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為 ( )A.-1B.0C.1D.2,答案:B,解析:f(x+2)=-f(x)知f(x)為周期函數(shù),T=4,f(6)=f(2), 由f(x

3、+2)=-f(x),得f(2)=-f(0),又f(x)為奇函數(shù), f(0)=0,故f(2)=0,即f(6)=0.,3.(2009浙江)若函數(shù)f(x)=x2+ (aR),則下列結(jié)論正確的是 ( )A.對于任意aR,f(x)在(0,+)上是增函數(shù)B.對于任意aR,f(x)在(0,+)上是減函數(shù)C.存在aR,f(x)是偶函數(shù)D.存在aR,f(x)是奇函數(shù),答案:C,解析:當(dāng)a=0時,f(x)為偶函數(shù).,4.(2009北京東城模擬)下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增的是 ( )A.y=sinxB.y=-x2C.y=xlg2D.y=-x3,答案:C,解析:逐個檢驗,5.(2009上海)已

4、知對于任意xR,函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),若方程f(x)=0有2009個實數(shù)解,則這2009個實數(shù)解之和為_.,答案:0,解析:f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,故這2009個實數(shù)根必有一個為零,其余兩兩關(guān)于y軸對稱,故和為0.,解讀高考第二關(guān) 熱點關(guān),題型一 判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:,(4)f(x)的定義域為R,當(dāng)x0時,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x).對于xR,總有f(-x)=f(x)為偶函數(shù).,點評:判斷一個函數(shù)的奇偶性,應(yīng)分兩步進(jìn)行,第一步,看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;第二步,看f(-x)等于什么,若f(-x)=-

5、f(x),則f(x)為奇函數(shù),若f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù).,變式1:判斷下列函數(shù)的奇偶性.,題型二 奇偶性的應(yīng)用例2(1)已知f(x)=ax2+bx+1為定義在1-a,2a上的偶函數(shù),則a+b=_;(2)已知函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則f(x)的對稱軸方程為_;(3)已知f(x)為定義在-1,1上的奇函數(shù),且當(dāng)x-1,0上為增函數(shù),、為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則f(cos)與f(sin)的大小關(guān)系為_.,-1,點評:(1)若一個函數(shù)為奇(偶)函數(shù),其定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點對稱;若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),且若f(x

6、)為奇函數(shù),且x=0有意義,f(0)=0.(2)奇函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個區(qū)間如果單調(diào),則單調(diào)性一致,偶函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個區(qū)間,若單調(diào),則單調(diào)性相反.,變式2:(1)(2009廣東模擬)若函數(shù) 是奇函數(shù),則實數(shù)a的值是_.(2)已知f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),在(-1,0)上單調(diào)遞增,若對于任意x(-1,1),總有f(1-m)+f(1-m2)0,求m的取值范圍.,題型三 函數(shù)的周期性例3(1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)f(x)=1,對于任意xR恒成立,且f(0)0,則f(2009)=_.,答案:1,解析:(1)f(x+2)5f(x)=1,知 ,f(x)

7、為以4為周期的函數(shù),f(2009)=f(1),又當(dāng)x=-1時,f(1)5f(-1)=1,又f(x)為偶函數(shù),且f(x)0,故f(1)=1,f(2009)=f(1)=1.,(2)(2009山東日照模擬)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x),若f(x)在-1,0上是減函數(shù),那么f(x)在2,3上是 ( )A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù),答案：A,解析：(2)由f(x+2)=f(x)知f(x)為周期函數(shù),T=2,f(x)在2,3上的單調(diào)性與0,1上的單調(diào)性一致,又f(x)為偶函數(shù),且在-1,0上單調(diào)遞減,故f(x)在上0,1單調(diào)遞增,故答案為A.,

8、點評:抽象函數(shù)的周期性往往是以三角函數(shù)為模型設(shè)計的,故研究抽象函數(shù)的周期性時,可聯(lián)想三角函數(shù)的性質(zhì)、公式等,運(yùn)用類比的思想,分析抽象函數(shù)的周期性.,變式3:已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=-f(x),當(dāng)x-3,-2時,f(x)=2x,則f(116.5)=_.,答案:-5,解析:由f(x+3)=-f(x)知f(x+6)=-f(x+3)=f(x), 故f(x)為周期函數(shù),6為f(x)的一個周期, 故f(116.5)=f(2.5). 又f(x)為偶函數(shù),f(2.5)=f(-2.5)=2(-2.5)=-5.,例4已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對稱.(1)求f(0)的

9、值;(2)證明:函數(shù)f(x)是周期函數(shù);(3)若f(x)=x(0x1),求xR時,函數(shù)f(x)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)f(x)至少一個周期的圖象.,解:(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x),令x=0,則f(0)=-f(0),即2f(0)=0,f(0)=0.(2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),f(x)=-f(-x)又f(x)關(guān)于直線x=1對稱,f(x)=f(2-x)由得,-f(-x)=f(2-x),換-x為x,則f(2+x)=-f(x),f(4+x)=f2+(2+x)=-f(2+x)=-f(x)=f(x),故f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,(3)f(x)=x,0x1,當(dāng)-1x0時,

10、0-x1,f(-x)=-x.又f(x)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x),-f(x)=-x,f(x)=x,又f(0)=0,當(dāng)-1x1時,f(x)=x,當(dāng)1x3時,f(x)=-x+2,點評:(1)周期函數(shù)問題,在考題中常有兩類表現(xiàn)形式:一類是研究三角函數(shù)的周期性;一類是研究抽象函數(shù)的周期性.抽象函數(shù)的周期常常應(yīng)用定義f(T+x)=f(x)給予證明,證明時多從中心對稱、軸對稱所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)等式出發(fā),推導(dǎo)滿足周期定義的等式,從而證明函數(shù)為周期函數(shù)的同時求出周期.(2)根據(jù)函數(shù)周期性,可求某區(qū)間上解析式,畫出某區(qū)間上圖象或求某一函數(shù)值.,變式4:(2009重慶診斷)設(shè)f(x)是定義在R上以3為周期的奇函數(shù)

11、,且f(-1)=1,則f(0)-f(-2)=_.,答案:-1,解析:f(x)為奇函數(shù), f(0)=0,又f(x)的周期為3, 故f(-2)=f(-2+3)=f(1)=-f(-1)=-1, 故f(0)+f(-2)=-1.,笑對高考第三關(guān) 技巧關(guān),函數(shù)的奇偶性、周期性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考的必考內(nèi)容之一,研究函數(shù)的奇偶性必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則,因為定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),研究周期函數(shù)常用定義法,對于抽象函數(shù)的奇偶性常用賦值法.,典例已知函數(shù)y=f(x),(xR,且x0),對任意非零實數(shù)x1,x2,恒有f(x15x2)=f(x1)+f(x2),試判斷f(x)的奇

12、偶性.,解:令x1=x2=1,f(1)=2f(1),故f(1)=0,令x1=x2=-1.則有f(1)=2f(-1)=0,即:f(-1)=0,令x2=x,x1=-1,則f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),f(x)為偶函數(shù).,點評:判斷抽象函數(shù)的奇偶性,常用賦值法.,考 向 精 測1.函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為( )A.3B.0C.-1D.-2,答案:B,解析:設(shè)F(x)=f(x)-1,則F(x)為奇函數(shù), F(-a)=-F(a),即:f(-a)-1=-f(a)-1=-2+1=-1, f(-a)=-1+1=0.,答案:A,課時作業(yè)(八) 函

13、數(shù)的奇偶性與周期性,一選擇題,1.下列函數(shù)中,不具備奇偶性的是 ( ) A.y=sinxB.y=log2 C.y=cos3xD.y=sinx+cosx,答案:D,2.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,則f(99)=( )A.13B.2C. D.,答案:C,解析:由f(x+2)=知,A.(-1,0)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1),答案:D,解析:由f(x)為奇函數(shù),則不等式可化為xf(x)0時,f(x)在(0,+)單調(diào)遞增,又f(1)=0,當(dāng)x1時,f(x)0,當(dāng)00,當(dāng)x-1時,f(x)0,故xf(x)0的解集為(-

14、1,0)(0,1).,4.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(10)的值為( )A.-1 B.0 C.1 D.2,解析:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)為周期函數(shù),故f(10)=f(2),又f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,又f(2)=f(2+0)=-f(0)=0,故f(10)=0.,答案:B,5.定義在R上的函數(shù)f(x)對任意xR,f(x+1)=-f(x-1),則下列結(jié)論成立的是( ) A.f(x)是以4為周期的周期函數(shù) B.f(x)是以6為周期的周期函數(shù) C.f(x)關(guān)于x=1對稱 D.f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱,

15、解析:f(x+1)=-f(x-1), f(x)=-f(x-1-1)=-f(x-2), 故f(x)=f(x-4),f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,答案:A,解析:由f(x-4)=-f(x),f(x-8)=-f(x-4)=f(x),f(x)為周期函數(shù),T=8.f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又f(80)=f(0),又f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,又f(x)在上為增函數(shù),故f(1)0,f(-1)0,故f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11),故答案為D.,答案:A,二、填空題,8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在上是增函數(shù),下面關(guān)于f(x)的判斷:f(x)是周期函數(shù);f(x)關(guān)于x=1對稱;f(x)在0,1上是增函數(shù);f(0)=f(2).其中正確命題的序號是_.,答案:,解析:f(x+1)=-f(x),可知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),可知f(x)為周期函數(shù),故正確.又f(x+2)=f(x)=f(-x),可知f(x)關(guān)于x=1對稱,故正確,顯然不對,由f(x+2)=f(x)可知f(0)=f(2)正確,故正確的有.,9.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為-5,5,若當(dāng)x0,5時,f