二次函數(shù)壓軸題

1、面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合分析：（1）已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對值即為MN的長

2、（3）設(shè)MN交x軸于D，那么BNC的面積可表示為：SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，MN的表達(dá)式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于SBNC、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出BNC是否具有最大值解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x3），則：a（0+1）（03）=3，a=1；拋物線的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=x+3已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MNy，則M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；故MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0

3、m3）（3）如圖；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；當(dāng)m=時(shí)，BNC的面積最大，最大值為2如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明ABC是直角三角形來

4、推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)（3）MBC的面積可由SMBC=BCh表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a42，即：a=；拋物線的解析式為：y=x2x2（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC為直角三角形，AB為ABC外接圓的直徑；所

5、以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直線BC的解析式為：y=x2；設(shè)直線lBC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=0，即b=4；直線l：y=x4所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即 M（2，3）過M點(diǎn)作MNx軸于N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=2（2+3）+2324=4平行四邊形類3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x

6、軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時(shí)，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.專題：壓軸題；存在型分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；（

7、2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=時(shí)，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計(jì)算即可；（3）由PMOB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值解答：解：（1）把A（3

8、，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=x3；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），因?yàn)閜在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，當(dāng)t=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=，則SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能有PM=3當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t

9、22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABO（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積4倍？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB

10、的兩條性質(zhì)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A（1，0），B（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）利用S四邊形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假設(shè)四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）利用P點(diǎn)坐標(biāo)以及B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形PBAB為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可解答：解：（1）ABO是由ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），A（1，0），B（0，2）方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，解得：，滿足條

11、件的拋物線的解析式為y=x2+x+2方法二：A（1，0），B（0，2），B（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2）將B（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02），解得：a=1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=（x+1）（x2）=x2+x+2；（2）P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x，y），則x0，y0，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=x2+x+2連接PB，PO，PB，S四邊形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=x2+2x+3AO=1，BO=2，ABO面積為：12=1，假設(shè)四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，則4=x2+2x+3，

12、即x22x+1=0，解得：x1=x2=1，此時(shí)y=12+1+2=2，即P（1，2）存在點(diǎn)P（1，2），使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍 （3）四邊形PBAB為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形對角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10分）或用符號(hào)表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB（10分）5如圖，拋物線y=x22x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷ABD的形狀；（3）在直線l上是否存

13、在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；分類討論分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀（3）若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分AB為對角線、AD為對角線兩種情況討論，即ADPB、ABPD，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)解答：解：（1）頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=1，且頂點(diǎn)A在y

14、=x5上，當(dāng)x=1時(shí)，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形將A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）當(dāng)y=0時(shí)，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由題意知：直線y=x5交y軸于點(diǎn)E（0，5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF與OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點(diǎn)

15、P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G設(shè)P（x1，x15），則G（1，x15）則PG=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2或4P（2，7）或P（4，1），存在點(diǎn)P（2，7）或P（4，1）使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形周長類6如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸

16、向右平移得到DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），以及頂點(diǎn)在直線

17、x=上，得出b，c即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時(shí)，求出y即可；（4）利用MNBD，得出OMNOBD，進(jìn)而得出，得到ON=，進(jìn)而表示出PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可解答：解：（1）拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）c=4，頂點(diǎn)在直線x=上，=，b=；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng)x=5時(shí)，y=，當(dāng)x

18、=2時(shí)，y=，點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當(dāng)x=時(shí)，y=，P（），（4）MNBD，OMNOBD，即得ON=，設(shè)對稱軸交x于點(diǎn)F，則（PF+OM）OF=（+t），SPNF=NFPF=（t）=，S=（），=（0t4），a=0拋物線開口向下，S存在最大值由SPMN=t2+t=（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）等腰三角形類7如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的

19、對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；分類討論分析：（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)解答：解：（1）如圖，過B點(diǎn)作BCx軸，垂足

20、為C，則BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=2，當(dāng)y=2時(shí)，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，

21、舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，2），8在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次

22、函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案解答：解：（1）過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（3，1），則得到1=9a3a2，（5分）解得a

23、=，所以拋物線的解析式為y=x2+x2；（7分）（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）過點(diǎn)P1作P1Mx軸，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，1）；（11分）若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）過點(diǎn)P2作P2Ny軸，同理可證AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），（14

24、分）經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y=x2+x2上（16分）9在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）首先過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，易證得BDCCOA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用待定系

25、數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3）分別從以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1Mx軸，若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2Ny軸，若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3Hy軸，去分析則可求得答案解答：解：（1）過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，

26、CD=OA=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線y=ax2ax2過點(diǎn)B（3，1），1=9a3a2，解得：a=，拋物線的解析式為y=x2x2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=x2x2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2

27、Ny軸，如圖（2），同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（2，1）也在拋物線y=x2x2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3Hy軸，如圖（3），同理可證AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=x2x2上；故符合條件的點(diǎn)有P1（1，1），P2（2，1）兩點(diǎn)綜合類10如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）（1）求直線BC與拋物線的解

28、析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNy軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值

29、與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；（3）先求出ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形證明EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為（1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=x1，然后解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入

30、，得，解得，所以直線BC的解析式為y=x+5；將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x26x+5；（2）設(shè)M（x，x26x+5）（1x5），則N（x，x+5），MN=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+，當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值；（3）MN取得最大值時(shí)，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）解方程x26x+5=0，得x=1或5，A（1，0），B（5，0），AB=51=4，ABN的面積S2=42.5=5，平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BCBDBC=

31、5，BCBD=30，BD=3過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6，B（5，0），E（1，0），設(shè)直線PQ的解析式為y=x+t，將E（1，0）代入，得1+t=0，解得t=1直線PQ的解析式為y=x1解方程組，得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（2，3）（與點(diǎn)D重合）或P2（3，4）11如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線

32、CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）關(guān)鍵是證明CEQ與CDO均為等腰直角三角形；（4）如答圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，連接CC，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的

33、周長等于線段CC的長度利用軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)PCF的周長最小如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長度，即PCF周長的最小值解答：解：（1）C（0，1），OD=OC，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k0），將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直線CD的解析式為：y=x+1（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2+3，將C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）證明：由題意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD為等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx軸，則

34、點(diǎn)C、E關(guān)于對稱軸（直線x=2）對稱，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）如答圖所示，設(shè)對稱軸（直線x=2）與CE交于點(diǎn)M，則M（2，1），ME=CM=QM=2，QME與QMC均為等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD為等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，連接CC，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的周長等于線段CC的長度（證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P，連接FC，

35、FP，PC由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的周長=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是點(diǎn)C，C之間的折線段，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周長大于PCE的周長）如答圖所示，連接CE，C，C關(guān)于直線QE對稱，QCE為等腰直角三角形，QCE為等腰直角三角形，CEC為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，5）；C，C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）過點(diǎn)C作CNy軸于點(diǎn)N，則NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，PCF的周長存在最小值，最小值為12如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（

36、0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2）試判斷BCD的形狀，并說明理由（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用勾股定理求得BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可知c=3即拋物線的解析式為y=ax

37、2+bx+3把點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0）代入，得解得a=1，b=2拋物線的解析式為y=x22x+3y=x22x+3=（x+1）2+4頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）BCD是直角三角形理由如下：解法一：過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=OB2+OC2=18在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1，CD2=DF2+CF2=2在RtBDE中，DE=4，BE=OBOE=31=2，BD2=DE2+BE2=20BC2+CD2=BD2BCD為直角三角形解法二：過點(diǎn)D作DFy軸于點(diǎn)F在RtBOC中，OB=3，OC=3OB=OCOCB=45在

38、RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1DF=CFDCF=45BCD=180DCFOCB=90BCD為直角三角形（3）BCD的三邊，=，又=，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，ACPDBC；當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3a，=，即=，解得：a=9，則P的坐標(biāo)是（0，9），三角形ACP不是直角三角形，則ACPCBD不成立；當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3b，則=，即=，解得：b=，故P是（0，）時(shí)，則ACPCBD一定成立；當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）則AP=1d，當(dāng)AC與CD是

39、對應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得：d=13，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）則AP=1e，當(dāng)AC與DC是對應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得：e=9，符合條件總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：對應(yīng)練習(xí)13如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使BCD的周長最小？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求ACE的最大面積

40、及E點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式=0時(shí)，ACE的面積最大，然后求出此時(shí)與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解解答：解：（1）拋物

41、線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（4，3），解得，所以，拋物線的解析式為y=x24x+3；（2）點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)D為AC與對稱軸的交點(diǎn)時(shí)BCD的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k0），則，解得，所以，直線AC的解析式為y=x1，y=x24x+3=（x2）21，拋物線的對稱軸為直線x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=21=1，拋物線對稱軸上存在點(diǎn)D（2，1），使BCD的周長最?。唬?）如圖，設(shè)過點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即m=時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，ACE的面積最大，此時(shí)x=，y=，點(diǎn)E的坐標(biāo)

42、為（，），設(shè)過點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F，則F（，0），AF=1=，直線AC的解析式為y=x1，CAB=45，點(diǎn)F到AC的距離為=，又AC=3，ACE的最大面積=3=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）14如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題分析：

43、（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本問為存在型問題若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解解答：解：（1）拋物線y=x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，對稱軸方程為：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=