高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法_0

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法 高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法 最值問題，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)的各個分支，是歷年高考重點考查的知識點之一，有一些基礎(chǔ)題，也有一些小綜合的中檔題，更有一些以難題形式出現(xiàn)它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識緊密聯(lián)系所以其解法靈活，綜合性強，能力要求高解決這類問題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識，能綜合運用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇合理的解題方法考生的運算能力，分析問題和解決問題能力在這里充分展現(xiàn)為幫助同學(xué)們探索這類型問題的解題規(guī)律，指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)，本文將這類問題作一個簡單歸納 一、配方法 例：當(dāng)?1?x?0時，求函數(shù)y?2x?2?3?4x的最大值和最

2、小值 解析：y?3(2?)?xymin?1，ymax2241x，當(dāng)?1?x?0時，?2?1顯然由二次函數(shù)的性質(zhì)可得 3324? 3二、判別式法 對于所求的最值問題，如果能將已知函數(shù)式經(jīng)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實根的問題，則常可利用判別式求得函數(shù)的最值 例：已知y2?4xy?4x2?2x?1?0，求y的最值 解析：由已知，變形得4x2?2(2y?1)x?(y2?1)?0，x?r，則?0，即有 4(2y?1)2?16(y2?1)?0 故 y?因此 ymax?5 45，無最小值 422例3：若x、y?r且滿足：x?y?2xy?x?y?0，則xmax= ymin= 解析：由已知，變形得：y

3、?(2x?1)y?(x?x)?0，y?r，則?0，即有 22(2x?1)2?4(x2?x)?0，于是?8x?1?0，即 x?2211即 xmax? 88同理，x?(2y?1)x?(y?y)?0，x?r，則?0，即有 11(2y?1)2?4(y2?y)?0，于是8y?1?0，即 y?即 ymin? 88注意：關(guān)于x、y的有交叉項的二元二次方程，通常用此法 5x2?43x?1例4：已知函數(shù)y?，求y的最值 2x?1解析：函數(shù)式變形為：(y?5)x2?43y?(y?1)?0，x?r，由已知得y?5?0， ?(?43)2?4(y?5)(y?1)?0，即：y2?6y?7?0，即：?1?y?7 因此 ym

4、ax?7，ymin?1 例5：已知函數(shù)y?解析： y?ax?b(x?r)的值域為?1,4，求常數(shù)a,b x2?1ax?b22?yx?y?ax?b?yx?ax?y?b?0 2x?1x?r ?(?a)2?4y(y?b)?0，即4y2?4by?a2?0 由題意：y?1,4?(y?1)(y?4)?0?y2?3y?4?0?4y2?12y?16?0 2所以4b?12，a?16，即b?3，a?4 注意：判別式求函數(shù)的值域或已知值域求參數(shù)，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)f(x,y)?0，通過方程有實根，判別式?0，從而求得原函數(shù)的值域或參數(shù)的值.形如 a1x2?b1x?c1(a1、a2不同時為0)，常用此法求得 y

5、?2a2x?b2x?c2例6：在0?x?2條件下，求y?sinx(1?sinx)的最大值 (1?sinx)2解析：設(shè)t?sinx，因x?(0， ?t(1?t)，故 0?t?1，則y? 22(1?t)即 (1?y)t?(2y?1)t?y?0 2因為 0?t?1，故y?1?0，于是?(2y?1)?4y(y?1)?0 即 y?21 8將y?111代入方程得 t?0，1，所以ymax? 8382注意：因?0僅為方程(1?y)t?(2y?1)t?y?0有實根t?0，1的必要條件，因此，必須將y?1代入方程中檢驗，看等號是否可取 8三、代換法 (一)局部換元法 例7：求函數(shù)y?x2?px?42的最值 解析

6、：令t?x?4，則t?2，函數(shù)y?2x2?px2?4?t?p?4 t當(dāng)p?8時，y?t?p?4?2p?4，當(dāng)t?tp?4時取等號 p?4p?4)?(t2?)(t1?t2)? t1t2當(dāng)p?8時，令2?t1?t2，則y1?y2?(t1?p?4p?4(t2?t1)(t1?t2)(1?)，因為 2?t1?t2，p?8，即有 t1t2t1t2y1?y2?(t1?t2)(1?故 y?2?p?4p?4在2，?)內(nèi)遞增 )?0，所以y?t?tt1t2p?4p? 22所以 當(dāng)p?8時，ymin?2p?4，無最大值； 當(dāng)p?8時，ymin?p，無最大值 2例8：求函數(shù)y?x?1?2x的最值 解析：設(shè)t?1?2x

7、 (t?0)，則由原式得y?時取等號故ymax?1，無最小值 例9：已知0?a?1(t?1)2?1?1當(dāng)且僅當(dāng)t?1 即x?022,求函數(shù)y?(sinx?a)(cosx?a)的最值 2解析：y?sinxcosx?a(sinx?cosx)?a 令sinx?cosx?t 1t2?122則 ?2?t?2且sinxcosx?，于是y?(t?a)?a?1 22112；當(dāng)t?a時，ymin?(a?1) 22注意：若函數(shù)含有sinxcosx和sinx?cosx，可考慮用換元法解 當(dāng)t?2時，ymax?a2?2a?(二)三角代換法(有時也稱參數(shù)方程法) 2222例10：已知x、y?r，1?x?y?4求u?x?

8、xy?y的最值 解析：設(shè)x?tcos?，y?tsin?，(t為參數(shù)) 因 1?x2?y2?4，故 1?t?4 21?u?t2(cos2?cos?sin?sin2?)?t2(1?sin2?) 222故當(dāng)t?4且sin2?1時，umax?6；當(dāng)t?1且sin2?1時，umax?1 2例11：實數(shù)x、y適合：4x2?5xy?4y2?5，設(shè)s?x2?y2，則 1smax+ 1smin=_ 解析：令x?scos?，y?ssin?，則 4s?5scos?sin?5 55 s?54?5sin?cos?4?sin2?2510510當(dāng)sin2?1時，ymax?；當(dāng)sin2?1時，ymin? 535134?4?2

9、2所以 1smax?1smin?3138? 1010522例12：求函數(shù)y?(a?x)x (|x|?a)的最值 解析：令x?acos?，則y?asin2422?acos?a3sin2?cos? 22又令t?sin?cos?，則t?sin?cos?12sin?sin2?2cos2? 21sin2?sin2?2cos2?34)? ?( 2327?2323233233 即有 ?t?a?y?a 9999233233a，ymin?a 99所以ymax?注意：利用重要不等式時，要滿足“一正二定三相等” 22例13：已知x、y?r且3x?2y?6x，求x?y的最值 x?1?cos?y2?解析：化3x?2y?

10、6x為(x?1)? ?1，得參數(shù)方程為?6y?sin?32?2?222 ?x?y?1?cos?610sin?1?sin(?) 221010，(x?y)min?1? 221 8故 (x?y)max?1?(三)均值換元法 44例14：已知a?b?1，求證：a?b的最小值為 解析：由于本題中a、b的取值范圍為一切實數(shù)，故不能用三角換元，但根據(jù)其和為，我 11?t，b?t，(t?r)，則 221111a4?b4?(a2?b2)2?2a2b2?(?t)2?(?t)22?2(?t)2(?t)2 2222112222 ?(?2t)?2(?t) 24112244 ?(?2t?4t)?(?t?2t) 481124 ?3t?2t? 881144a?b的最小值為在t?0即a?b?時取等號 82們可以令a?四、三角函數(shù)有界法 對于x?r，總有|sinx|?1，|cosx|?1 例15：求函數(shù)y?sin2x?2cosx的最值 解析：y?sin2x?2cosx?sin2x?cos2x?1?因為 |sin(2x?當(dāng)sin(2x?222sin(2x?)?1 4?4)|?1，故 ?)?1時，ymax?2?1；當(dāng)sin(2x?)