高中數(shù)學競賽專題講座 - 數(shù)列與和式不等式(1)

1、高中數(shù)學競賽專題講座 - 數(shù)列與和式不等式(1) 數(shù)列與和式不等式 數(shù)列與和式不等式的解題方法需要同學們深入了解，在解題過程中，往往要利用一些恒等式、變換法等方法對數(shù)列和式進行變形，并結(jié)合數(shù)列求和等相關知識，靈活運用各種技巧尤其當涉及到整數(shù)命題的證明，有時候也可以考慮用歸納法進行證明，當然在證明過程中，解題方法并非千篇一律，而是靈活多變，根據(jù)具體題意可以尋找恰當?shù)慕夥?，二者之間的緊密結(jié)合，也在競賽中作為考察學生的重要題型之一，下面通過例題簡要介紹幾種解題方法與技巧： 例1 已知xi?r(i?1,2,?,n,n?2)，滿足 nn?|xi|?1,?xi?0求證： i?1i?1nnxi11? ?i2

2、2ni?1n證：設 ?xi?a?b,?i?1i?1xi?a?b，其中a,a為正項之和，b,b為負項之和，由題意知， ia?b?0,a?b?1，得a?b?1abab,因為?a?a,b?b?，所以b?a?b?a?, 2nnnnnnxxi111111即?(?，也就是?i? )?22n22n22ni?1ii?1i說明：本題通過設元，將數(shù)列拆分成正負兩部分，然后運用不等式相關知識，很自然過渡到絕對值不 等式 例2 設an?1?aaa112?，n?n*，求證：對n?2，有an?2(2?3?n) 2n23n112112111122an?an?(1?)?(1?)?2?(1?)?122n2n?1nn2n?1證：

3、 a1211?2?(an?)?2?n?2.nnnnn故an?a1?2(2an?2(22aa2a3111?n)?(2?2?2).所以 23n23naaa2a3aa111111?n)?(1?2?2?2)?2(2?3?n)?(1?)23n23n23n1?22?3(n?1)naaaaaa1?2(2?3?n)?2(2?3?n).23nn23n 說明：本題若通過an表達式來證明將非常復雜，可以考慮通過建立遞推關系，使問題很容易得到解決 例3 無窮正實數(shù)列xn有以下性質(zhì)：x0?1,xi?1?xi(i?0) 2x02x12xn?1?3.999 (1) 試證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n?1，使下式

4、成立x1x2xn2x02x12xn?1?4對任一n成立. (2) 尋找這樣一個數(shù)列，使得下列不等式x1x2xn證：（1） 1 222222222x02x12xnxxxxxxxxx?1?0?1?n?2?n?1?0?1?n?3?2xn?1?0?1?x1x2xnx1x2xn?11x1x2xn?2x1x2xx?22xn?3?2xn?3x1lim2n?2?12n?22n?420111?n?322x1?2111?n?222?22?12n?2 .2x02x12xn?1?3.999. ?4，因此必存在足夠大的n使得x1x2xnn2x02x12xn1?1?1?1?2?1?（2）取無窮遞縮等比數(shù)列xn?，x1x2

5、xn2?2?2?n?2?4. ( n?0,1,2,?) 說明：該題用到了數(shù)列極限的思想，運用放縮法，通過步步縮小，得到新數(shù)列之和恒比一極限為4的 數(shù)列大，從而得證 例4 設a1,a2,?是正實數(shù)列，且對所有i,j?1,2,?，滿足ai?j?ai?aj求證：對于正整數(shù)n，有 a1?aa2a3?n?an 23n證：記si?a1?a2?an,i?1,2,?,n，約定s0?0，則2si?(a1?ai)?(ai?a1)?iai?1 nnn?1aisi?si?1ia1111111?si(?)?sn?s1?i?1(?)?snnii?1n22ii?1ni?1ii?1i?1i?1 n?1naa11111?s1?

6、i?1?sn?i?sn.22i?1i?1n2i?1inn?i?1nai222n?1n?1?sn?(sn?1?an)?(an?an)?an?an,原不等式成立 innn2n方法二：對n用數(shù)學歸納法 當n?1時，a1?a1，不等式顯然成立 ?a1?a1?a?a2?a2?2假設當n?1,2,?,k?1時不等式成立，即有? ?ak?1a2?ak?1?a1?2k?1?相加得(k?1)a1?(k?2)aa2?(k?(k?1)k?1?a1?a2?ak?1，即 2k?1aa2?k?1)?2(a1?a2?ak?1)?(a1?ak?1)?(a2?ak?2)?(ak?1?a1)?kak?ak 2k?1aa整理得a1

7、?2?k?ak，得原不等式成立 2kk(a1?說明：本題在證法1中采用了abel變換法，將和式進行轉(zhuǎn)化，得到需要的形式，然后加以證明另 2 外，在證明數(shù)列求和不等式的時候，因是涉及到自然數(shù)的命題，我們也可以多考慮應用數(shù)學歸納法. 222 例5 設a1,a2,?,an(n?2)是n個互不相同的實數(shù)，s?a1?a2?an，m?min(ai?aj), 1?i?j?n2sn(n2?1)求證: ?m12證：不妨設a1?a2?an，則ai?1?ai?m(1?i?n?1),令ai中的第一個非負數(shù)為ak（若所 (1?i?n),則對i?k有ai?bi?0， 有ai?0，則取k?n）,令bk?minak,m,bi

8、?bk?(i?k)mn對i?k有ai?bi?0，所以對一切i均有|bi|?|ai|，再令b?22bi1?b?(n?1?2k)m，則 ?k2i?1nnnnnaibi(bi?b)?b2(bi?b)2?nb2n(bi?b)2s?mi?1mi?1mi?1mmmi?1i?11(n?1?2k)m2nbk?(i?k)m?bk?n12?i?k?(n?1?2k)2 m2i?1i?11n(n2?1)2?i?(n?1)?i?(n?1)?.412i?1i?1n2n說明：將數(shù)列進行排序，化無序為有序，構(gòu)造新的數(shù)列幫助解題 例6 設n?n，x0?0,xi?0(i?1,2,?,n)，且 n*?xi?1ni?1，求證： 1?

9、i?1xi1?x0?xi?1xi?xi?1?xn?2 證：?i?1n1(1?x0?xi?1)(xi?xi?1?xn)?(1?x0?xi?1)?(xi?xi?1?xn)?1. 2xi?xi(1?i?n),故s?si?xi?1，不等式右邊得證 i?1i?1nnsi?1?x0?xi?1xi?xi?1?xn又因為0?x0?x1?xi?1,i?0,1,2,?,n,令?i?arcsin(x0?x1?xi)?0,?2,i?0,1,2,?,n, 0?0?1?2?n?2,而且sin?i?x0?x1?xi,sin?i?1?x0?x1?xi?1, xi?sin?i?sin?i?1?2cos且在?0,?i?i?12s

10、in?i?i?12,i?1,2,?,n. cos?i?i?12?cos2?i?1?cos?i?1, 2?2時，tan?sin?，xi?2cos?i?1?(?i?i?12)?cos?i?1(?i?i?1),i?1,2,?,n nnxixi?(?i?i?1)?n?0?, ?i?i?1,故? 2cos?i?1i?1cos?i?1i?1 3 而cos?i?1?sin?i?1?1?(x0?x1?xi?1)?1?x0?xi?1?xi?xi?1?xn, s?22?2. 說明：本題采用的是三角代換法，將其中的一個算式用反三角函數(shù)代替，利用三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關系，達到證明的目的 例7 設a1,a2,?,an為正

11、實數(shù)列，且滿足a1?a2?an?111? a1a2an求證： 111?1 n?1?a1n?1?a2n?1?an1?(n?1)bi11,i?1,2,?,n,則bi?,i?1,2,?,n. ，且ai?n?1?aibin?1證：令bi?nn1?(n?1)bibi?故條件轉(zhuǎn)化為?,下面用反證法，假設b1?b2?bn?1. （1） bii?1i?11?(n?1)bi由柯西不等式，得 ?(1?(n?1)b)?1?(n?1)bjj?ij?i1?(n?1)2,由（1）， j(?)1n)?(b)1?1jj?in?bj， n1?(n?1)bi1?(n?1)bi1n?1?(n?1)?,故,上式對i?1,2,?,n求

12、和，有 ?bibij?i1?(n?1)bjj?i1?(n?1)bjn1?(n?1)bi1?(n?1)bi?(n?1), （2） 由（1）得，?(1?(n?1)bi)?bj(n?1),由（2）可得， ?1?(n?1)bbi?1j?ii?1i?jjin(n?1)?i?1bj1?(n?1)bj?(n?1)?1?(n?1)bi111?1. ,矛盾！ bin?1?a1n?1?a2n?1?ani?1n說明：當問題從正面入手難以解決時，可考慮用反證法，反正假設就相當于又多了一個條件，更如意 入手解決 例8 設ak(k?1)是一個正實數(shù)數(shù)列，存在一個常數(shù)k，使得a1?a2?an?kan?1, （對所有n?1）

13、證明：存在一個常數(shù)c，使得：a1?a2?an?can?1（對所有n?1） 證：考查不等式鏈(a1?a2?an)?t(a1?a2?an)?can?1， 2其中，t(a1?a2?an)?tk?an?1，故只需取tk?c即可（t為一參數(shù)）. 22222222222222設命題pi為：(a1?a2?ai)?t(a1?a2?ai),設命題qi為：a1?a2?ai?cai?1. 當i?1時，欲使p可取t?1現(xiàn)在設命題pk成立，即 (a1?a2?ak)?t(a1?a2?ak) 1成立，于是，由不等式鏈，得(a1?a2?ak)?tkak?1?cak?1，即 a1?a2?ak?cak?1 4 222222222

14、222因此pk成立?qk成立我們希望證明：若qk成立?pk?1成立，即由 22?aka1?a2?ak?cak?1?(a1?a2?ak?1)2?t(a12?a2?1),上述不等式成立，僅需 22ak?1?2ak?1(a1?a2?ak)?tak?1，即a1?a2?ak?t?1t?1即可滿足要求 ak?1，故取c?22c2?1c2t?1k22c?，化簡得c?2kc?k?0,取c?k?k?k，則t?1符合條件，進而由歸納?k22法原理知結(jié)論成立 說明：本題運用了數(shù)學歸納法的另一種形式，即螺旋歸納法：設p(n),q(n)是兩列關于正整數(shù)n的命題，如果：（1）命題p(1)成立；（2）對任何正整數(shù)k，若命題

15、p(k)成立，則命題q(k)成立；若命題q(k)成立，則命題p(k?1)成立那么對于所有正整數(shù)n，命題p(n),q(n)都成立 強化練習： 設sn?1?111?,n?2，證明：n(n?1)a?n?sn?n?(n?1)nb，其中a和b滿足an?1和23nb(n?1)?1. 1134n?134n?11n?sn?(1?1)?(1?)?(1?)?2?n(2?)n2n23n23n證： ?n(n?1).1?1112n?112n?1n1?n?sn?(1?1)?(1?)?(1?)?(n?1)(?)?1?(n?1)nn?1. 2n23n23n1n得證 1?ai1?n?2設ai?0(i?1,2,?,n)，a?mina1,a2,?,an，試證：?(1?a)2i?11?ai?1an?1?a1 n?(a?a)ii?1n2，其中 證： nnnnnn1?ai1?aiai?ai?1ai?aai?1?aai?aai?a?n?(?1)?i?11?ai?1i?11?