第十三講--菱形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)含答案

1、第十三講 菱形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)一、 知識(shí)梳理1、菱形的定義：_的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它具有四邊形和平行四邊形的_：還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)菱形既是_圖形（兩條對(duì)稱軸分別是 ），也是_對(duì)稱圖形；菱形的四條邊 _ ；菱形的對(duì)角線 ，并且每一條對(duì)角線平分 ；菱形的面積S菱形=底邊長(zhǎng)高=_ 。注意：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于_。3、菱形的判定：一組鄰邊相等的_ 是菱形；四條邊_的 是菱形；對(duì)角線 的平行四邊形是菱形二、經(jīng)典例題菱形的性質(zhì)與應(yīng)用【例1】如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DEAB，AB4求：(1)ABC的度數(shù)；(2)菱形ABCD

2、的面積【變式題組】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AECF2(1)求證：BDEBCF；(2)判斷BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍菱形的 判定與應(yīng)用【例2】如圖，四邊形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由【例3】已知如圖，ABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于M，EFBC于F求證：四邊形AEFM是菱形【例4】如圖，在菱形ABCD中，ABC120，E是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，

3、PBPE的最小值是，求AB的值三、【綜合提升】【例5】、如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AFBD，連接BF（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是菱形？并說(shuō)明理由【變式題組】如圖，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒

4、（t0）.過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由.（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.培優(yōu)升級(jí) 檢測(cè)1、 選擇題 1、若菱形的周長(zhǎng)為24cm，一個(gè)內(nèi)角為60，則菱形較短的一條對(duì)角線為（ ）A9cmB8cmC7cmD6cm2、過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFAC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE、CF若AB，DCF30，則EF的長(zhǎng)為（ ）A2 B3 C D3、 如圖，菱形ABCD中，AB2，A120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK

5、+QK的最小值為（）A1 B C2 D+1二、填空題4、菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則此菱形的周長(zhǎng)為 ，面積為 5、菱形ABCD中，AB15，若周長(zhǎng)為8cm，則此菱形的高等于_ _.6、已知ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添 ，使ABCD成為一個(gè)菱形7、如圖所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=24，AEBC于E，則AE的長(zhǎng)是 8、如圖已知菱形中，、分別是、上的點(diǎn)，若，求的度數(shù) 9、如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，且A=EDF=60，有下列結(jié)論：AE=BF；DEF是等邊三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 7題圖 8題圖 9題圖 10題

6、圖 11題圖 10、如圖，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，則EF的最小值為 11、如圖將兩張長(zhǎng)為8,寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)有最小值 ，菱形周長(zhǎng)的最大值是 12、如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為 13、如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是 14、已如圖，兩個(gè)連接在一起的菱形的邊長(zhǎng)都

7、是1cm，一只電子甲蟲，從點(diǎn)A開(kāi)始按ABCDAEFGAB的順序沿菱形的邊循環(huán)爬行，當(dāng)電子甲蟲爬行2022cm時(shí)停下，則它停的位置是 .12題圖 13題圖 14題圖 15題圖 15、如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，A60順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A1B1C1D1；順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，可得四邊形A2B2C2D2；順次連接四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn)，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，則四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是20；四邊形A2017B2017C2017D2017的周長(zhǎng)是 三、解答題16、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作

8、DEAC且DEOC，連接 CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F（1）求證：OECD；（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，ABC60，求AE的長(zhǎng)17、如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形？（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)OPD為等腰三角形時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫過(guò)程）第十三講 菱形性質(zhì)與判定培優(yōu)輔導(dǎo)答案二、 知識(shí)梳理1、菱形的定義：_有一組鄰邊相等_的平行四邊形叫

9、做菱形2、菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它不僅具有四邊形和平行四邊形的_一切性質(zhì)_，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。菱形既是_軸對(duì)稱_圖形（兩條對(duì)稱軸分別是 對(duì)角線所在的直線 ），也是中心_對(duì)稱圖形；菱形的四條邊 _相等_；菱形的對(duì)角線 互相垂直平分 ，并且每一條對(duì)角線平分 每一組對(duì)角 ；菱形的面積S菱形=底邊長(zhǎng)高=_對(duì)角線之積的一半_ 。注意：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于_對(duì)角線之積的一半_。3、菱形的判定：一組鄰邊相等的_平行四邊形_ 是菱形；四條邊_相等_的 四邊形 是菱形；對(duì)角線 互相垂直 的平行四邊形是菱形二、經(jīng)典例題菱形的性質(zhì)與應(yīng)用【例1】如圖，在菱形ABCD中，E是A

10、B的中點(diǎn)，且DEAB，AB4求：(1)ABC的度數(shù)；(2)菱形ABCD的面積解：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，在菱形ABCD中AD=ABE是AB的中點(diǎn)，且DEABAD=BD，AD=BD=ABABD為等邊三角形，BAD=60，ABC=120（2）在RtABO中，BAO=30，AB=4，則BO=2故A0=2菱形ABCD的面積【變式題組】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AECF2(1)求證：BDEBCF；(2)判斷BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍解：（1）證明：菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，ABD和BCD都為正三角

11、形，BDE=BCF=60，BD=BC，AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，DE=CF，BDEBCF；（2）解：BEF為正三角形理由：BDEBCF，DBE=CBF，BE=BF，DBC=DBF+CBF=60，DBF+DBE=60即EBF=60，BEF為正三角形；（3）解：設(shè)BE=BF=EF=x，當(dāng)BEAD時(shí)，x最小=，S最小=，當(dāng)BE與AB重合時(shí)，x最大=2，S最大=22=， 菱形的 判定與應(yīng)用【例2】如圖，四邊形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由（1）證明：ABCD，即AECD，

12、又CEAD，四邊形AECD是平行四邊形AC平分BAD，CAE=CAD，ADCE，ACE=CAD，ACE=CAE，AE=CE，四邊形AECD是菱形； （2）解：ABC是直角三角形 證法一：E是AB中點(diǎn)，AE=BE 又AE=CE，BE=CE，B=BCE，B+BCA+BAC=180，2BCE+2ACE=180，BCE+ACE=90即ACB=90，ABC是直角三角形證法二：連DE，由四邊形AECD是菱形，得到DEAC，且平分AC，設(shè)DE交AC于F，E是AB的中點(diǎn)，且F為AC中點(diǎn)，EFBCAFE=90，ACB=AFE=90，BCAC，ABC是直角三角形 【變式題組】如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，A

13、MBC，垂足為M，ANDC，垂足為N若BADBCD，AMAN，求證四邊形ABCD是菱形證明：ADBC，B+BAD=180，D+C=180，BAD=BCD，B=D，四邊形ABCD是平行四邊形，AMBC，ANDC，AMB=AND=90，在ABM和ADN中，BD，AMBAND90，AMAN，ABMADN（AAS），AB=AD，四邊形ABCD是菱形（也可用等積法證鄰邊等）【例3】已知如圖，ABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于M，EFBC于F求證：四邊形AEFM是菱形證明：ADBC，EFBCADEF，AME=MEF，BE平分ABC,BAC90,EFBC，EA=EF，AFB=FEM

14、AN平分DAC，CAN=DAN，AME=AEM，AM=AEAM=EF四邊形AMFE是平行四邊形，且AM=AE平行四邊形AMNE是菱形【例4】如圖，在菱形ABCD中，ABC120，E是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PBPE的最小值是，求AB的值解：由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD=PB，PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，BAD=60，AD=AB，ABD是等邊三角形，AE=BE，DEAB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）在RtADE中，DE=，BAD=60AD=2三、【綜合提升】【例5】、如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)

15、作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AFBD，連接BF（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是菱形？并說(shuō)明理由【解答】（1）證明：E是AD的中點(diǎn)，AEED，AFBC，AFEECD，在AEF和DEC中，AEFDEC，AFDC，AFBD，BDDC（2）當(dāng)ABAC時(shí)，四邊形AFBD是矩形證明：AFBD，AFBD，四邊形AFBD是平行四邊形，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，四邊形AFBD是矩形當(dāng)BAC90時(shí)，四邊形AFBD是菱形證明：AFBD，AFBD，四邊形AFBD是平行四邊形，BA

16、C90，BDDC，ADBDDC，四邊形AFBD是菱形【變式題組】如圖，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）.過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由.（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）在DFC中，DFC=90，C=30，DC=2t，DF=t，又AE=

17、t，AE=DF；（2）能；理由如下：ABBC，DFBC，AEDF，又AE=DF，四邊形AEFD為平行四邊形，AB=5，AC=2，AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若使為菱形，則需AE=AD，即t=10-2t，t=，即當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形；（3）EDF=90時(shí)，四邊形EBFD為矩形，在RtAED中，ADE=C=30，AD=2AE，即10-2t=2t，t=；DEF=90時(shí)，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90，A=90-C=60，AD=AE，即10-2t=t，t=4；EFD=90時(shí)，此種情況不存在；綜上所述，當(dāng)或4時(shí)，DEF為直角三角形。培優(yōu)升級(jí) 檢測(cè)2、 選擇題 1、若菱形

18、的周長(zhǎng)為24cm，一個(gè)內(nèi)角為60，則菱形較短的一條對(duì)角線為（D）A9cmB8cmC7cmD6cm2、過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFAC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE、CF若AB，DCF30，則EF的長(zhǎng)為（A）A2 B3 C D3、如圖，菱形ABCD中，AB2，A120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（B）A1 B C2 D+1二、填空題4、菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則此菱形的周長(zhǎng)為20，面積為245、菱形ABCD中，AB15，若周長(zhǎng)為8cm，則此菱形的高等于_1_.6、已知ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添 答案

19、不唯一如AB=BC，使ABCD成為一個(gè)菱形7、如圖所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=24，AEBC于E，則AE的長(zhǎng)是_8、如圖已知菱形中，、分別是、上的點(diǎn)，若，求的度數(shù)1009、如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，且A=EDF=60，有下列結(jié)論：AE=BF；DEF是等邊三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是_3個(gè)_ 7題圖 8題圖 9題圖 10題圖 11題圖 10、如圖，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，則EF的最小值為4.811、如圖將兩張長(zhǎng)為8,寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易

20、知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)有最小值_12_，菱形周長(zhǎng)的最大值是_12、如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為 12 13、如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是5 14、已如圖，兩個(gè)連接在一起的菱形的邊長(zhǎng)都是1cm，一只電子甲蟲，從點(diǎn)A開(kāi)始按ABCDAEFGAB的順序沿菱形的邊循環(huán)爬行，當(dāng)電子甲蟲爬行2022cm時(shí)停下，則它停的位置是_點(diǎn)F_.12題圖 13題圖 14題圖 15題圖 15、如

21、圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，A60順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A1B1C1D1；順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，可得四邊形A2B2C2D2；順次連接四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn)，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，則四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是20；四邊形A2017B2017C2017D2017的周長(zhǎng)是【解答】解：菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，A60，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)，AA1D1是等邊三角形，四邊形A2B2C2D2是菱形，A1D15，C1D1AC5，A2B2C2D2C2B2A2D25，四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是：5420，同理可得出：A3D35，C3D3C1D15，A5D55（）2，C5D5C3D3（）25，四邊形A2015B2015C2015D2015的周長(zhǎng)是：，故答案為：20；三、解答題16、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DEAC且DEOC，連接 CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F（1）求證：OECD；（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，ABC60，求AE的長(zhǎng)【解答】（1）證明：四邊形ABCD是菱形，DEAC，ACBD，DEOCDEAC，四邊形OCED是平行四邊形，ACBD，四邊形OCED