20002017考研數(shù)學(xué)二歷年真題

1、2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.（1）若函數(shù)在x=0連續(xù)，則(A) (B) (C) (D)（2）設(shè)二階可到函數(shù)滿足且，則(A) (B) (C) (D)（3）設(shè)數(shù)列收斂，則(A)當(dāng)時(shí)， (B)當(dāng) 時(shí)，則(C)當(dāng), (D)當(dāng)時(shí)，（4）微分方程 的特解可設(shè)為 (A) (B)(C)(D)（5）設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在任意的，都有則(A) (B)(C)(D)（6）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10（單位:m）處,圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線 （單位:m/s）虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面

2、積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位:s）,則(A) (B) (C) (D)（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則(A) (B)(C)(D)（8）已知矩陣，則(A) A與C相似，B與C相似 (B) A與C相似，B與C不相似 (C) A與C不相似，B與C相似 (D) A與C不相似，B與C不相似 二、填空題：914題，每小題4分，共24分.（9）曲線的斜漸近線方程為 （10）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則 （11） = （12）設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則= （13） （14）設(shè)矩陣的一個(gè)特征向量為，則 三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

3、演算步驟.（15）（本題滿分10分）求（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)，,求,（17）（本題滿分10分）求（18）（本題滿分10分）已知函數(shù)yx由方程x3+y3-3x+3y-2=0確定，求yx的極值（19）（本題滿分10分）在上具有2階導(dǎo)數(shù)，證明（1）方程在區(qū)間至少存在一個(gè)根（2）方程 在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的實(shí)根（20）（本題滿分11分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分（21）（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，法線與軸相交于點(diǎn)，若，求上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程。（22）（本題滿分11分）三階行列式有3個(gè)不同的特征值，且 （1

4、）證明（2）如果求方程組 的通解（23）（本題滿分11分） 設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為 求的值及一個(gè)正交矩陣.2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 選擇：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的.（1） 設(shè)，.當(dāng)時(shí)，以上3個(gè)無(wú)窮小量按照從低階到高階拓排序是（A）. （B）.（C）. （D）.（2）已知函數(shù)則的一個(gè)原函數(shù)是（A）（B）（C）（D）（3）反常積分，的斂散性為（A）收斂，收斂.（B）收斂，發(fā)散.（C）收斂，收斂.（D）收斂，發(fā)散.（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則（A）函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線有2個(gè)拐點(diǎn).（B）函數(shù)有2

5、個(gè)極值點(diǎn)，曲線有3個(gè)拐點(diǎn).（C）函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線有1個(gè)拐點(diǎn).（D）函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線有2個(gè)拐點(diǎn).（5）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若兩條曲線在點(diǎn)處具有公切線，且在該點(diǎn)處曲線的曲率大于曲線的曲率，則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，有（A）（B）（C）（D）（6）已知函數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)，是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（A）與相似（B）與相似（C）與相似（D）與相似（8）設(shè)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1,2，則（A）（B）（C）（D）與二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。（9）曲線的斜漸近線方程為_.（10）極限_.（11）以和為特解的一階非齊次線性微分方程為_.

6、（12）已知函數(shù)在上連續(xù)，且，則當(dāng)時(shí)，_.（13）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為.若點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)間的變化率為常數(shù)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，對(duì)時(shí)間的變化率是（14）設(shè)矩陣與等價(jià)，則解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，求并求的最小值.（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值.（18）（本題滿分10分）設(shè)是由直線，圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分（19）（本題滿分10分）已知，是二階微分方程的解，若，求，并寫出該微分方程的通解。（20）（本題滿分11分）設(shè)是由曲線與圍成的平面區(qū)域，求繞

7、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積。（21）（本題滿分11分）已知在上連續(xù)，在內(nèi)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。（）求在區(qū)間上的平均值；（）證明在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。（22）（本題滿分11分）設(shè)矩陣，且方程組無(wú)解。（）求的值；（）求方程組的通解。（23）（本題滿分11分）已知矩陣（）求（）設(shè)3階矩陣滿足。記，將分別表示為的線性組合。2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分中收斂的是（）（A） （B） (C) (D)(2)函數(shù)在內(nèi)（）（A）連續(xù) （

8、B）有可去間斷點(diǎn) （C）有跳躍間斷點(diǎn) (D)有無(wú)窮間斷點(diǎn)(3)設(shè)函數(shù)，若在處連續(xù)，則（）（A） (B) (C) (D)(4) 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).設(shè)函數(shù)滿足，則與依次是（）（A）,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,-(6). 設(shè)D是第一象限中曲線與直線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則=（）（A）（B）（C）（D）(7)設(shè)矩陣A=，b=,若集合=，則線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解的充分必要條件為（）（A） (B) (C) (D) (8)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為其中，若，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為（ ）

9、(A): (B) (C) (D) 二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 設(shè)（10）函數(shù)在處的n 階導(dǎo)數(shù)（11）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，則（12）設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取值3，則=（13）若函數(shù)由方程確定，則= （14）設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2,1，其中E為3階單位矩陣，則行列式=三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，若與在是等價(jià)無(wú)窮小，求的值。16、（本題滿分10分）設(shè)，D是由曲線段及直線所形成的平面區(qū)域， ，分別表示D繞X軸與繞Y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)

10、體的體積，若，求A的值。17、（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足，求的極值。18、（本題滿分10分）計(jì)算二重積分，其中。19、（本題滿分10分）已知函數(shù)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。20、（本題滿分11分）已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對(duì)時(shí)間的關(guān)系的變化與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120的物體在20恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30，若要使物體的溫度繼續(xù)降至21，還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？21、（本題滿分11分）已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與X軸的交點(diǎn)是，證明：。22、（本題滿分11分）設(shè)矩陣,且，（1）求a的值；（2）若矩陣X滿足其中為3階單位矩陣，求

11、X。23、（本題滿分11分）設(shè)矩陣，相似于矩陣，（1）求a,b的值（2）求可逆矩陣P，使為對(duì)角矩陣。 2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)，當(dāng)時(shí)， （ ）（A）比高階的無(wú)窮小 （B）比低階的無(wú)窮?。–）與同階但不等價(jià)無(wú)窮小 （D）與等價(jià)無(wú)窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設(shè)，則（ ）（）為的跳躍間斷點(diǎn) （）為的可去間斷點(diǎn)（）在連續(xù)但不可導(dǎo) （）在可導(dǎo)設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（

12、A） （B） （C） （D）7設(shè)，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 11設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為 13已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為 14設(shè)

13、是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)16（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離20（本題滿分11）設(shè)函數(shù)求的最小值；設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設(shè)曲線L的方程為（1）求L的弧長(zhǎng)（2）設(shè)D是由曲線L，直線及

14、軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)22本題滿分11分）設(shè)，問當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本題滿分11分）設(shè)二次型記（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 (

15、 )(A) 充分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4) 設(shè)則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有則使不等式成立的一個(gè)充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 設(shè), , , ,其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指

16、定位置上.(9) 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 .(10) .(11) 設(shè)其中函數(shù)可微，則 .(12) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .(14) 設(shè)為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則 . 三、解答題：15-23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數(shù)，記，(I)求的值;(II)若時(shí)，與是同階無(wú)窮小，求常數(shù)的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)

17、一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(18)(本題滿分 10 分)計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足方程及,(I) 求的表達(dá)式;(II) 求曲線的拐點(diǎn).(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；(II)記(I)中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設(shè)，(I) 計(jì)算行列式；(II) 當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知，二次型的秩為2，(I) 求實(shí)數(shù)的值；(II) 求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題(A

18、) 選擇題：18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。（1）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，則（ ）（A） （B）（C） （D）（2）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設(shè)函數(shù)，均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）設(shè)，則，的大小關(guān)系為（ ） （A） （B） （C） （D）（7）設(shè)為3階

19、矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。（9） 。（10）微分方程滿足條件的解為 。（11）曲線 的弧長(zhǎng) 。（12）設(shè)函數(shù) ，則 。（13）設(shè)平面區(qū)域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分 。（14）二次型，則的正慣性指數(shù)為 。三、解答題：1523小題，共94分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題

20、滿分10分） 已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。（16）（本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（17）（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求。（18）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若，求的表達(dá)式。（19）（本題滿分10分） （I）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立。 （II）設(shè)，證明數(shù)列收斂。（20）（本題滿分11分） 一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。 （I）求容器的容積； （II）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要

21、做多少功？（長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為）（21）（本題滿分11分） 已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計(jì)算二重積分。（22）（本題滿分11分） 設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示。 （I）求的值； （II）將用線性表示。（23）（本題滿分11分） 設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，且。 （I）求的所有的特征值與特征向量； （II）求矩陣。2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一選擇題(A)A0 B1 C2 D32.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A B C D(1)A4e B3e C2e De4.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的

22、收斂性A僅與取值有關(guān) B僅與取值有關(guān)C與取值都有關(guān) D與取值都無(wú)關(guān)5.設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設(shè)向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無(wú)關(guān)，則 B若向量組I線性相關(guān)，則rsC若向量組II線性無(wú)關(guān)，則 D若向量組II線性相關(guān)，則rs15. 設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_(1) 曲線的漸近線方程為_(2) 函數(shù)(3)(4) 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為_(5) 設(shè)A

23、，B為3階矩陣，且三解答題(6)16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限9、 設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程10、 一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓?，F(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）11、12、13、 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在14、23.設(shè)，正交矩陣Q使得為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（ ）1.2. 3.無(wú)窮多個(gè).（2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（ ）. .（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（ ）不是的連續(xù)點(diǎn).不是的極值點(diǎn). 是的極大值點(diǎn). 是的極小值點(diǎn).（4）