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文檔簡介
1、普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材隨 機(jī) 數(shù) 學(xué)(B)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)簡答吉林大學(xué)公共數(shù)學(xué)中心2013.2借鑒相關(guān)#第一次作業(yè)一、填空題1解:應(yīng)填.分析:樣本空間含基本事件總數(shù),事件所含基本事件數(shù)為10個(gè),即(1,2),(2,3),(9,10),(10,1)共10個(gè),故所求概率為.2應(yīng)填0.6.分析: ,故3應(yīng)填4. 應(yīng)填.5應(yīng)填6應(yīng)填 二、選擇題1(D)2.(C)3(B)4.(C)5(C)6.(A).三、計(jì)算題1將只球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中,設(shè)每個(gè)盒子都可以容納只球,求:(1)每個(gè)盒子最多有一只球的概率;(2)恰有只球放入某一個(gè)指定的盒子中的概率;(3)只球全部都放入某一個(gè)盒子中的概率解:此題為古典
2、概型,由公式直接計(jì)算概率.(1).(2).(3).2三個(gè)人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已知每個(gè)人能譯出的概率分別為,問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解:設(shè)表示事件“第個(gè)人譯出密碼”,B表示事件“至少有一人譯出密碼”.則.3隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸夾角小于的概率.解:此為幾何概型問題.設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸夾角小于”.則.4儀器中有三個(gè)元件,它們損壞的概率都是0.2,并且損壞與否相互獨(dú)立.當(dāng)一個(gè)元件損壞時(shí), 儀器發(fā)生故障的概率為0.25,當(dāng)兩個(gè)元件損壞時(shí),儀器發(fā)生故障的概率為0.6,當(dāng)三個(gè)元件損壞時(shí),儀器發(fā)生故
3、障的概率為0.95, 當(dāng)三個(gè)元件都不損壞時(shí),儀器不發(fā)生故障.求:(1)儀器發(fā)生故障的概率;(2)儀器發(fā)生故障時(shí)恰有二個(gè)元件損壞的概率.解: 設(shè)A表示事件“儀器出現(xiàn)故障”,Bi表示事件“有i個(gè)元件出現(xiàn)故障”,i=1,2,3.(1),.所以.(2).5在100件產(chǎn)品中有10件次品;現(xiàn)在進(jìn)行5次放回抽樣檢查,每次隨機(jī)地抽取一件產(chǎn)品,求下列事件的概率:(1)抽到2件次品;(2)至少抽到1件次品解:設(shè)表示取到件次品,(1)(2)四、證明題1設(shè),證明事件與相互獨(dú)立證明:由定義證明.所以事件與相互獨(dú)立2設(shè)事件的概率,證明與任意事件都相互獨(dú)立證明:設(shè)B為任意事件,顯然,從而,即,滿足,故與任意事件都相互獨(dú)立第
4、二次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填.2. 應(yīng)填-113P0.40.40.23應(yīng)填4應(yīng)填5應(yīng)填 6. 應(yīng)填7. 應(yīng)填 二、選擇題1.(D). 2.(D). 3(A)4(B)5(D)6. (C). 7(C)三、計(jì)算題1一批產(chǎn)品由9個(gè)正品和3個(gè)次品組成,從這批產(chǎn)品中每次任取一個(gè),取后不放回,直到取得正品為止用表示取到的次品個(gè)數(shù),寫出的分布律和分布函數(shù)解:的分布律為0123P的分布函數(shù)為2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為-2-10123P0.100.200.250.200.150.10(1)求的概率分布;(2)求的概率分布解:倒表即可.-2-10123P0.100.200.250.200.150.10Y420-2-4-6
5、Z410149即Y-6-4-2024P0.100.150.200.250.200.10Z0149P0.250.400.250.103設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求:(1)的值;(2)的分布函數(shù)解:(1)由,得. (2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.4設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,求:,解:5設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求:(1)常數(shù)、(2)隨機(jī)變量落在內(nèi)的概率(3)的概率密度函數(shù)解:(1),得(2)(3)的概率密度函數(shù)6已知隨機(jī)變量的概率密度為且求(1)常數(shù)的值;(2)解:(1)由,再由解得.(2)7已知隨機(jī)變量的概率密度為又設(shè)求:(1)Y的分布律;(2)計(jì)算.解:(1)分布律為 -1 1 (2).8已
6、知隨機(jī)變量的概率密度為求:隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)解:設(shè)Y的分布函數(shù)為.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此Y的概率密度函數(shù)為四、證明題1. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,證明:仍然服從正態(tài)分布,并指出參數(shù).解:教材59頁例題.2. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,證明:服從上的均勻分布解:設(shè)的分布函數(shù)為取值范圍為.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此Y的概率密度函數(shù)為第三次作業(yè)一、填空題1的分布律為010.160.842. ,.3應(yīng)填0.4應(yīng)填5應(yīng)填6. 應(yīng)填3.7. 應(yīng)填二、選擇題1.(B). 2(B) 3(A). 4(C) 5(D) 6(D). 7.(B).三、計(jì)算題1設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中等可能取值,隨機(jī)變量在中
7、等可能地取一整數(shù)值,求的概率分布,并判斷和是否獨(dú)立解:的概率分布為 Y X12341000200304可以驗(yàn)證和不相互獨(dú)立2. 設(shè)隨機(jī)事件A、B滿足令 求(1)的概率分布;(2)的概率分布.解:(1),.(2)可能取值為0,1,2.3已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布,求常數(shù),使得概率解:X的概率密度為Y的概率密度為由于和相互獨(dú)立,從而聯(lián)合概率密度為,解得.4已知二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)求系數(shù);(2)條件概率密度;(3)判斷和是否相互獨(dú)立;(4)計(jì)算概率;(5)求的密度函數(shù).解:(1)由得.(2)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為從而X和Y是相互獨(dú)立的,(3)相互獨(dú)立. (4).(5)
8、的分布函數(shù)為所以5. 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布,令 求的聯(lián)合分布律.解:可能取的值為(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1),.6設(shè)的概率密度求的概率密度.解:設(shè)的分布函數(shù)為,取值范圍,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.從而的概率密度第四次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填-0.2, 2.8,,13.42應(yīng)填3應(yīng)填4應(yīng)填13. 5應(yīng)填6應(yīng)填7應(yīng)填,二、選擇題1.(C). 2(D) 3(B)4 (B)5(A) 6.(C) 7.(C).三、計(jì)算題1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為已知,求的值解:由以下三個(gè)條件解得.2設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求和解:,,,.3設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 012001002
9、0(1)寫出關(guān)于、及的概率分布;(2)求和的相關(guān)系數(shù).解:(1)012PY012P XY014P(2),,.4在數(shù)軸上的區(qū)間內(nèi)任意獨(dú)立地選取兩點(diǎn)與,求線段長度的數(shù)學(xué)期望 解:設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為X,Y,則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為所求.5一民航送客車載有20名乘客自機(jī)場開出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車,假設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車的可能性相同,且各個(gè)旅客是否下車相互獨(dú)立,求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望解:引入隨機(jī)變量,令從而,又,所以(次).6假設(shè)由自動流水線加工的某種零件的內(nèi)徑(毫米)服從正態(tài)分布,內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品,其余為合格品;銷售合格品獲利,銷售不合格
10、品虧損,已知銷售一個(gè)零件的利潤(元)與零件內(nèi)徑的關(guān)系為問平均內(nèi)徑取何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大 解:令(mm) 即平均內(nèi)徑取10.9mm時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大第五次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填. 2應(yīng)填0.975. 二、選擇題1(B)2(D)三、計(jì)算題1某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠客戶中被盜索賠占20%,以表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠客戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).(1)寫出的概率分布;(2)利用德莫佛拉普拉斯定理,求被盜索賠客戶不少14戶且不多于30戶的概率的近似值解:(1)索賠戶為X,則,(2)由De Moivre-Laplace極限定理2.設(shè)某種元件使用壽命(單位:小時(shí))
11、服從參數(shù)為的指數(shù)分布,其平均使用壽命為40小時(shí),在使用中當(dāng)一個(gè)元件損壞后立即更換另一個(gè)新的元件,如此繼續(xù)下去.已知每個(gè)元件的進(jìn)價(jià)為元,試求在年計(jì)劃中應(yīng)為購買此種元件作多少預(yù)算,才可以有95%的把握保證一年夠用(假定一年按照2000個(gè)工作小時(shí)計(jì)算).解:假設(shè)一年需要個(gè)元件,則預(yù)算經(jīng)費(fèi)為元.設(shè)每個(gè)元件的壽命為則個(gè)元件使用壽命為由題意又由獨(dú)立同分布中心極限定理,故年預(yù)算至少應(yīng)為元.3一條生產(chǎn)線的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量時(shí)隨機(jī)的.假設(shè)平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.如果用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每量車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977,(.)解:設(shè)是裝運(yùn)的第
12、箱的重量,是箱數(shù),且解得,即最多可以裝98箱.第六次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填,2應(yīng)填,23應(yīng)填,4應(yīng)填5應(yīng)填二、選擇題1(B)2(C)3(D)4.(D). 5(A)三、計(jì)算題1從正態(tài)總體N (20, 3) 中分別抽取容量為10和15的兩個(gè)相互獨(dú)立樣本,求樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率解:設(shè)樣本均值為,則,2設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,試求k,使解:因?yàn)?所以,查表得,即3設(shè)是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本,樣本均值為,樣本方差為,解: 從而4設(shè)總體的概率密度為為總體的樣本,求樣本容量,使解:先求的分布函數(shù),代入有解得,故取4.5.已知二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,判斷服從的概率分布.解:由題意,且相互獨(dú)
13、立,從而,即,由F分布的定義第七次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填2應(yīng)填3應(yīng)填4應(yīng)填535 二、選擇題1(B)2(D)3(C)4(A)三、計(jì)算題1設(shè)總體具有概率分布123P其中是未知參數(shù),已知來自總體的樣本值為1,2,1.求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值解:,令,解得的矩估計(jì)值為.似然函數(shù)為,令,解得的最大似然值為.2設(shè)總體X的分布函數(shù)為其中參數(shù)是未知參數(shù),又為來自總體的隨機(jī)樣本,(1)求的概率密度函數(shù);(2)求參數(shù)的矩估計(jì)量;(3)求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.解:由題意 (1)(2).(3)設(shè)為一組樣本值,似然函數(shù)為當(dāng)時(shí),令,得的最大似然估計(jì)量為四、證明題1設(shè)總體的均值及方差都存在,與均未知,是的樣本,試證明不
14、論總體服從什么分布,樣本方差都是總體方差的無偏估計(jì)證明:教材145146頁.2設(shè)是總體的樣本,存在,證明估計(jì)量, , 都是總體的均值的無偏估計(jì)量;并判斷哪一個(gè)估計(jì)量更有效 證明:,因?yàn)樽钚?,所以更有?第八次作業(yè)一、填空題1應(yīng)填2應(yīng)填3應(yīng)填二、選擇題1(B)2(C)3(C)三、計(jì)算題1某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝葡萄糖的凈重(單位kg)是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布,當(dāng)機(jī)器工作正常時(shí),其均值為0.5kg,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知標(biāo)準(zhǔn)差為kg(保持不變),某日開工后,為檢驗(yàn)包裝機(jī)的工作是否正常,從包裝出的葡萄糖中隨機(jī)地抽取9袋,稱得凈重為0.4970.5060.5180.5240.4980.511
15、0.5200.5150.512試在顯著性水平下檢驗(yàn)機(jī)器工作是否正常解:按題意需要檢驗(yàn):,:,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域,經(jīng)計(jì)算,故拒絕原假設(shè),即認(rèn)為機(jī)器工作不正常.2設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取36位考生的成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分,問在顯著性水平下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過程解:設(shè)這次考試的考生成績?yōu)閄,則.:,:,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域,經(jīng)計(jì)算,故接受原假設(shè),即可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分.3設(shè)有甲,乙兩種零件,彼此可以代用,但乙種零件比甲種零件制造簡單,造價(jià)低,經(jīng)過試驗(yàn)獲得抗壓強(qiáng)度(單位:)為甲種零件:88, 8
16、7, 92, 90, 91,乙種零件:89, 89, 90, 84, 88.假設(shè)甲乙兩種零件的抗壓強(qiáng)度均服從正態(tài)分布,且方差相等,試問兩種零件的抗壓強(qiáng)度有無顯著差異(取)?解:本題是在顯著性水平下,檢驗(yàn)假設(shè):,:,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域,經(jīng)計(jì)算,故接受原假設(shè),即認(rèn)為兩種零件的抗壓強(qiáng)度無顯著差異.4某無線電廠生產(chǎn)的一種高頻管,其中一項(xiàng)指標(biāo)服從正態(tài)分布,從一批產(chǎn)品中抽取8只,測得該指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:66,43,70,65,55,56,60,72,(1)總體均值,檢驗(yàn)(?。?;(2)總體均值未知時(shí),檢驗(yàn)(取)解:本題是在顯著性水平下,檢驗(yàn)假設(shè):,:,(1)均值時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域:,經(jīng)計(jì)算,故接受原假設(shè),即
17、認(rèn)為.(2)均值未知時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域:,經(jīng)計(jì)算,故接受原假設(shè),即認(rèn)為.綜合練習(xí)一一、填空題1應(yīng)填2應(yīng)填 3應(yīng)填 4應(yīng)填 5應(yīng)填6應(yīng)填 二、選擇題1(D)2(C)3(D)4(A)三、解答下列各題1某倉庫有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品,其中有五箱、三箱、兩箱依次是由甲、乙、丙廠生產(chǎn)的,且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的次品率依次為,今從這十箱產(chǎn)品中任取一箱;再從中任取一件產(chǎn)品(1)求取到的產(chǎn)品是合格品的概率;(2)若已知抽取的產(chǎn)品是合格品,求它由甲廠生產(chǎn)的概率解:設(shè)A表示“取到的產(chǎn)品是合格品”,表示“產(chǎn)品分別是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的”,(1)(2)2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,求(1)常數(shù);(2)的分布函數(shù)解:(1
18、)由,得.(2)的分布函數(shù)3求總體的容量分別為10和15的兩個(gè)獨(dú)立樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率解:設(shè)樣本均值為,則,4設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù),又為取自總體的簡單隨機(jī)樣本,求的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量. 解:(1),令,得的矩估計(jì)量.(2)設(shè)為一組樣本值,則似然函數(shù)為,取對數(shù),令 得的最大似然估計(jì)量5一電子儀器由兩部件構(gòu)成,以和分別表示兩部件的壽命(單位:千小時(shí)),已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為問和是否相互獨(dú)立 解:關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為 因?yàn)?,所以和相互?dú)立6設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求:(1)關(guān)于和的邊緣概率密度和;(2)求.解:(1)關(guān)于X的邊緣概率密度為 關(guān)于的邊緣概率密度 (2).7設(shè)對某目標(biāo)連續(xù)射擊,直到命中次為止,每次射擊的命中率為,求子彈消耗量的數(shù)學(xué)期望解:設(shè)表示第次命中到第次命中之間消耗的子彈數(shù),則,且,從而.8.設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布,求的概率密度.方法1:, 方法2:綜合練習(xí)二一、填空題1應(yīng)填2應(yīng)填373應(yīng)填0.84應(yīng)填5應(yīng)填二、選擇題1(B)2(C)3(A)4(C)5.(D)
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