二次函數(shù)—動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最值問題典型例題

1、.二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最值問題【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸為直線（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AE+CE最小時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PD+PC最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值FE解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，解得：，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3= ，該拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)

2、D的坐標(biāo)為（1，4）（2）點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B，則AE=BE，要使AE+CE最小，即BE+CE最小,則B、E、C三點(diǎn)共線如圖，連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，解法一：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，則,解得當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）解法二：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)FEFy軸，BEF=BCO，BFE=BOCBFEBOC ，, 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則C（0，-3），OC=3，如圖，連接CD交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則PC=P C，-CP要使PD+PC最小，即PD+P C最小,則D、P 、C三點(diǎn)共線設(shè)直線CD的解析式為y=

3、kx+n，則,解得當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）（4）點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B，則QB=QA，要使最大，即最大,則A、C 、Q三點(diǎn)共線如圖，連接AC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q，QF解法一：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，則,解得當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，6）解法二：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)FQFy軸，ACO=AQF，AOC =AFQAOCAFQ，, 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，6）即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，有最大值，最大值為【作業(yè)1】（2011菏澤）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷ABC

4、的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求m的值解：（1）點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=x2+bx2上，（1 ）2+b（1）2=0，解得b=-拋物線的解析式為y=x2x2y=x2x2=（ x23x4 ）=（x）2，E頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （，）（2）當(dāng)x=0時(shí)y=2，C（0，2），OC=2當(dāng)y=0時(shí)，x2x2=0，x1=1，x2=4，B （4，0）OA=1，OB=4，AB=5AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，則C（0，2），OC=2，連接CD交x軸

5、于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最小解法一：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)EEDy軸，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM ，, m=解法二：設(shè)直線CD的解析式為y=kx+n，則,解得n=2，當(dāng)y=0時(shí)，-【作業(yè)2】2011四川廣安）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD 90，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，0），B( 1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得PAPC若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由（3）設(shè)拋物線與x軸的另個(gè)交點(diǎn)為E點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值解：（1）由題意可得M（0，2），N（3，2）， 解得：（2）PAPC， P為AC的垂直平分線上，依題意，AC的垂直平分線經(jīng)過（1，2）、（1，0），其所在的直線為yx1根據(jù)題意可列方程組解得：P1（）、P2（）（3）如圖所示，延長DC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q，根據(jù)題意可知此時(shí)點(diǎn)Q滿足條件由題意可知C（1，2），D（