八年級數(shù)學(xué)-一元二次方程知識點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題

1、 金老師復(fù)習(xí)（2） 一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式（a0）；2正確識別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù) （1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。 （2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).3 一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二

2、次方程；3值得注意的幾個(gè)問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這

3、兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定的值；代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（4）因式分解法：因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二

4、次方程（）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。例：求證：方程無實(shí)數(shù)根。（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。（四）、一元二次方程的應(yīng)用1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2.幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗(yàn)。3.增長率問題（下降率）：在此類問題中，一

5、般有變化前的基數(shù)（），增長率（），變化的次數(shù)（），變化后的基數(shù)（）,這四者之間的關(guān)系可以用公式表示。4.其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長40米、寬10米的倉庫，但面積只有400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年

6、華屬周瑜？ (3) 已知：分別是的三邊長，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：是直角三角形。（4） 已知：分別是的三邊長，求證：方程沒有實(shí)數(shù)根。（5） 當(dāng)是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程與的根都是整數(shù)？（6） 已知關(guān)于的方程，其中為實(shí)數(shù)，（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？（2）當(dāng)為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：（1）（2）.（六）相關(guān)練習(xí)（一） 一元二次方程的概念1一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：（1） （2） 2應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值 (1) 為何值時(shí)，關(guān)于的方

7、程是一元二次方程。（2） 若分式，則 3由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則 (2) 已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為1，一個(gè)根為，則 ， （二）一元二次方程的解法1開平方法解下列方程：（1） (2) 2配方法解方程：（1） (2) 3公式法解下列方程：（1） （2） 4因式分解法解下列方程：（1） (2) （3） 5解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）：(1) (2) （三）一元二次方程的根的判別式1不解方程判別方程根的情況：（1）4 （2） (3) 2為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程（1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 （2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （3）無實(shí)數(shù)根 3.為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.（四）一元二次方程的應(yīng)用1已知直角三角形三邊長為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積. 2.某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？ 3 某商