正弦定理、余弦定理在生活中的應用

1、正弦定理、余弦定理在生活中的應用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在經濟生活和工程測量中的重要應用，使高考考查的熱點和重點之一，本文將正弦定理、余弦定理在生活中的應用作以簡單介紹，供同學們學習時參考.一、在不可到達物體高度測量中的應用例1 如圖，在河的對岸有一電線鐵塔AB，某人在測量河對岸的塔高時，選與塔底在同一水平面內的兩個測量點與，現測得，并在點測得塔頂的仰角為，求塔高分析：本題是一個高度測量問題，在BCD中，先求出，用正弦定理求出BC，再在中求出塔高AB.解析：在中，=由正弦定理得=所以=在中，=.點評：對不可到達的物體的高度測量問題，可先在與物體底部在同一平面內找兩點，測

2、出這兩點間的距離，再測出這兩點分別與物體底部所在點連線和這兩點連線所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一點到物體底部的距離，在這一點測得物體頂部的仰角，通過解直角三角形，求得物體的高.二、在測量不可到達的兩點間距離中的應用例2某工程隊在修筑公路時，遇到一個小山包，需要打一條隧道，設山兩側隧道口分別為A、B，為了測得隧道的長度，在小山的一側選取相距km的C、D兩點高，測得ACB=750， BCD=450，ADC=300，ADC=450（A、B、C、D），試求隧道的長度.分析：根據題意作出平面示意圖，在四邊形ABCD中，需要由已知條件求出AB的長，由圖可知，在ACD和BCD中，利用正弦定理可求

3、得AC與BC，然后再在ABC中，由余弦定理求出AB.解析：在ACD中，ADC=300，ACD=1200，CAD=300，AC=CD=.在BCD中，CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，BC=在ABC中，由余弦定理，可得，=5AB=2.236km,即隧道長為2.236km.點評：本題涉及到解多個三角形問題，注意優(yōu)化解題過程.如為求AB的長，可以在ABD中，應用余弦定理求解，但必須先求出AD與BD長，但求AD不如求AC容易，另外。實際問題應求出近似值.三、在航行中的應用例3在海岸A處 ，發(fā)現北偏東450方向，距A處海里B處有一艘走私船，在A處北偏西750方向，距A處2海里的C處的

4、緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東方向航行，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需時間.分析：根據題意作出平面示意圖，設在D處追上走私船，由圖知，要求追截方向和時間即求DCB及CD長度，先用余弦定理求BC及CBA，從而求出ABD，列出關于追截時間的方程，求出時間，再用余弦定理求出DCB.解析：設在D處追上走私船，所需時間為小時，則CD=，BD=在中，=，AB=，BC=2，由余弦定理得 =6，=又0CBA，則CBA=450，則BC為正東西方向，在中，由余弦定理得，即，解得，或（舍），BD=，CD=，BD=BC，故緝私船沿東偏北300方向追截，所需時間為小時.點評：處理航行問題，一要理解方向角、方位角等概念，二要根據題意畫出示意圖，根據圖將問題轉化為三角形邊或角的計算問題，利用正余弦定理計算之.在利用正余弦定理解決實際問題時，一要熟悉仰角