知識講解 正態(tài)分布(理);

1、 正態(tài)分布 【學習目標】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質。【要點梳理】要點詮釋：要點一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1概念：對于連續(xù)型隨機變量，位于軸上方，落在任一區(qū)間（a，b內(nèi)的概率等于它與軸、直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分），這條概率曲線叫做的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù)叫做的概率密度函數(shù)。2、性質：概率密度函數(shù)所取的每個值均是非負的。夾于概率密度的曲線與軸之間的“平面圖形”的面積為1的值等于由直線，與概率密度曲線、軸所圍成的“平面圖形”的面積。要點二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達式為：，（

2、）其中x是隨機變量的取值；為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標準差.2正態(tài)分布（1）定義如果對于任何實數(shù)隨機變量滿足：，則稱隨機變量服從正態(tài)分布。記為。（2）正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，。要點詮釋：（1）正態(tài)分布由參數(shù)和確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計。是標準差，它是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計。（2）經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體

3、重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布 要點三、正態(tài)曲線及其性質：1. 正態(tài)曲線如果隨機變量x的概率密度函數(shù)為，其中實數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。2正態(tài)曲線的性質：曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線對稱；曲線在時達到峰值；當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.曲線與軸之間的面積為1；決定曲線的位置和

4、對稱性；當一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。確定曲線的形狀；當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。要點詮釋：性質說明了函數(shù)具有值域（函數(shù)值為正）及函數(shù)的漸近線（x軸）性質并且說明了函數(shù)具有對稱性；性質說明了函數(shù)在x=時取最值；性質說明越大，總體分布越分散，越小，總體分布越集中要點四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1. 隨機變量取值的概率與面積的關系 若隨機變量服從正態(tài)分布，那么對于任意實數(shù)a、b（ab），當隨機變量在區(qū)間（a，b上取值時，其取值的概率與正態(tài)曲線與直線x=a

5、，x=b以及x軸所圍成的圖形的面積相等如圖（1）中的陰影部分的面積就是隨機變量孝在區(qū)間（a，b上取值的概率 一般地，當隨機變量在區(qū)間（，a）上取值時，其取值的概率是正態(tài)曲線在x=a左側以及x軸圍成圖形的面積，如圖（2）隨機變量在（a，+）上取值的概率是正態(tài)曲線在x=a右側以及x軸圍成圖形的面積，如圖（3） 根據(jù)以上概率與面積的關系，在有關概率的計算中，可借助與面積的關系進行求解2、正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間的概率值：；。上述結果可用下圖表示：要點詮釋：若隨機變量服從正態(tài)分布，則落在內(nèi)的概率約為0.997，落在之外的概率約為0.003，一般稱后者為小概率事件，并認為在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能

6、發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布的隨機變量通常只取之間的值，簡稱為原則。3、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率方法（1）數(shù)形結合，利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與軸之間面積為1。正態(tài)曲線關于直線對稱，與對稱的區(qū)間上的概率相等。例如；若，則。(2)利用正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：；。【典型例題】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)例1. 下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（ ）a，（）都是實數(shù)b c d 【思路點撥】本題可對照正態(tài)密度函數(shù)的標準形式判斷【解析】 正態(tài)密度函數(shù)為：， 其中指數(shù)部分的應與系數(shù)的分母處的保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負數(shù) 選項a有兩處錯誤，分別是錯為，指數(shù)錯為正數(shù)選項c，從系數(shù)可得=2，而從

7、指數(shù)處可得，顯然不符選項d中指數(shù)為正，錯誤所以正確答案為b 【總結升華】注意函數(shù)的形式特點是解題的關鍵舉一反三：【變式1】設一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，則這個正態(tài)總體的均值與方差分別是（ ）a10與8 b10與4 c8與10 d2與10【答案】在該正態(tài)分布中，=10，=2，則e(x)=10，d(x)=4，故選b。【變式2】給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值和標準差 （）（）（）【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5 【變式3】正態(tài)總體為1概率密度函數(shù)是 （ ）a奇函數(shù) b偶函數(shù) c非奇非偶函數(shù) d既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】b。因為所以選b?！咀?/p>

8、式4】一臺機床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測10個，它們的尺寸分別如下（單位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1如果機床生產(chǎn)零件的尺寸x服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)和即可，而即樣本均值，即樣本標準差依題意得， 即，所以x的概率密度函數(shù)為類型二、正態(tài)曲線 例2. 如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差 【思路點撥】 由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對稱軸為x=20，最大值為，因此，=20，由可求得的值 【

9、解析】 從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x=20對稱，最大值是，所以=20 由，解得 于是概率密度函數(shù)的解析式是，x（，+）總體隨機變量的期望是=20，方差是【總結升華】 利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應抓住圖像的實質性兩點：一是對稱軸x=，一是最值這兩點確定以后，相應參數(shù)縱、便確定了，代入p（x）中便可求出相應的解析式舉一反三：【變式1】 關于正態(tài)密度曲線性質的敘述：曲線關于直線x=對稱，整條曲線在x軸上方；曲線對應的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)；曲線在x=時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；曲線的對稱位置由確定，曲線的形狀由確定，越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越

10、“高瘦” 其中敘述正確的有（ ） a b c d【答案】 b 根據(jù)曲線關于直線x=對稱，只有當=0時函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯利用排除法選b【變式2】如圖，兩個正態(tài)分布曲線圖：1為，2為，則 ， （填大于，小于）【答案】，。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。【變式3】如圖是三個正態(tài)分布xn（0，0.25），yn（0，1），zn（0，4）的密度曲線，則三個隨機變量x，y，z對應曲線分別是圖中的_、_、_?！敬鸢浮?。【變式4】已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是05，那么相應的正態(tài)曲線在 時達到最高點。【答案】0.2。由于正態(tài)曲線關于直線對稱，由題意知。類型三、正態(tài)分布的計算例3已知隨機變量服從正態(tài)分布n(2，

11、2)，p(4)0.84，則p(0)()a0.16b0.32c0.68 d0.84【思路點撥】可畫出正態(tài)曲線，利用正態(tài)曲線的對稱性解決?！窘馕觥縫(4)0.84，2，p(0)p(4)10.840.16，故選a.【總結升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用。舉一反三：【變式1】（1），和的值各是多少？（2），和的值各是多少？【答案】（1）比照（），時，=0，=1。（2）比照（），時，=1，所以 =1，=3?！咀兪?】在某次測量中，測量結果服從正態(tài)分布，若在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為_?！敬鸢浮?.8 服從正態(tài)分布，在（0，1）與（1，2）

12、內(nèi)取值的概率相同，均為0.4。在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8。【變式3】設隨機變量xn（0，1），（1）p(ax0)=p(0xa)(a0)；（2）p(x0)=0.5；（3）已知p(|x|1)=0.6826，則p(x1)=0.1587；（4）已知p(|x|2)=0.9544，則p(x2)=0.9772；（5）已知p(|x|3)=0.9974，則p(x3)=0.9987。其中正確的有（ ）a2個 b3個 c4個 d5個【答案】d；均正確，充分利用正態(tài)曲線的對稱性及其意義。 例4. 設n（1，22），試求： （1）p（13）； （2）p（35）； （3）p（5）【思路點撥】 要求隨

13、機變量在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質以及課本中所給的數(shù)據(jù)進行轉化求值【解析】 n（1，22），=1，=2，（1）p（13）=p（121+2）=p（）=0.683（2）p（35）=p（31），p（35）（3）p（5）=p（3），【總結升華】 在求隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率時，可以首先把隨機變量的取值轉化到區(qū)間、以及，然后利用在上的概率約為0.683，在上的概率約為0.954，在上的概率約為0.997舉一反三：【變式1】，求。【答案】時，=2，=5，【變式2】若n（5，1），求p（57）【答案】n（5，1），正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個參數(shù)為=5，=1，該正態(tài)密度曲線關于x=5對稱

14、 【變式3】設。（1）求p(11)；（2）求p(02)?！敬鸢浮浚?）時，。（2），正態(tài)曲線關于直線x=0對稱，。類型四、正態(tài)分布的應用例5. 某年級的一次數(shù)學測驗成績近似服從正態(tài)分布n（70，102），如果規(guī)定低于60分為不及格，那么 （1）成績不及格的人數(shù)占多少？ （2）成績在8090分內(nèi)的學生占多少？ 【思路點撥】 本題考查正態(tài)密度曲線對稱性及正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律因為正態(tài)密度曲線關于直線x=對稱，故本題可利用對稱性及特殊值求解 【解析】（1）設學生的得分情況為隨機變量x， 則xn（70，102），其中=70，=10 成績在6080分之間的學生人數(shù)的概率為 p（7010x7

15、0+10）=0.683， 不及格的人數(shù)占 （10.683）=0.1585 （2）p（7020x70+20）=0.954， 成績在8090分內(nèi)的學生占 p（50x90）p（60x80）=0.1355 【總結升華】 本題利用了正態(tài)密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用及正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律舉一反三：【變式1】工廠制造的某機械零件尺寸x服從正態(tài)分布n，問在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？【答案】xn，4，.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為p(x3)p(x5)1p(3x5)1p(41x41)1p(3x3)10.997 0.0

16、031 0000.0033(個)，即不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個【變式2】商場經(jīng)營的某種包裝的大米質量服從正態(tài)分布n（10，0.12）（單位：kg）。現(xiàn)進1000袋這種大米，質量不在9.710.3 kg的大米大約有多少袋？【答案】由正態(tài)分布n（10，0.12），知=10，=0.1，質量在9.710.3 kg的概率為p(1030.1x10+30.1)=0.997質量不在9.710.3 kg的概率為p=10.997=0.003。質量不在9.710.3 kg的大米大約有10000.003=3袋?！咀兪?】在某次數(shù)學考試中，考生的成績x服從一個正態(tài)分布，即xn(90，100)。（1）試求考試成績x位于區(qū)間（70，110）內(nèi)的概率是多少？（2）若這次考試共有2000